高考数学二轮复习专题02 导数及其应用（原卷版）

1、1 / 8 专题专题 02 导数及其应用导数及其应用 1、（2019 年江苏高考卷）在平面直角坐标系xoy中，点 a在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 a处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 a 的坐标是_. 2、【2019 年高考全国卷文数】曲线23()exyxx=+在点(0 )0，处的切线方程为_ 3、【2019 年高考天津文数】曲线cos2xyx=在点(0,1)处的切线方程为_ 4、【2018 年高考天津文数】已知函数 f(x)=exlnx，f(x)为 f(x)的导函数，则 f（1）的值为_ 5、【2018 年高考全国卷文数】曲线2lnyx=在点(1, 0)处的切

2、线方程为_ 6、【2017 年高考全国卷文数】曲线21yxx=+在点（1，2）处的切线方程为_ 7、【2017 年高考天津文数】已知ar，设函数( )lnf xaxx=的图象在点（1，(1)f）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_ 一、常见函数的导数以及运算法则 1、基本初等函数的导数公式 (1)(x)x1 ( 为常数)； (2)(ax)axln_a(a0且 a1)； (3)(logax)1xlogae1xln a (a0，且 a1)； (4)(ex)ex； (5)(ln x)1x 2 / 8 (6)(sin x)cos_x； (7)(cos x)sin_x. 备注：求导之前，应利用

3、代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量； 2、常见函数的导数及导数的运算法则 （1）f(x) g(x)f(x) g(x)； （2）f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； （3）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x) (g(x)0). 二、导数几何意义的应用，需注意以下两点： 1、函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x

4、0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 2、函数f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数. (1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0； (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 3、方法与技巧 （1

5、）f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0)0. （2）对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 3 / 8 三、利用导数研究函数的单调性 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性； (2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题； (3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上f(

6、x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. 四、导数的极值 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. 五、利用导数研究函数的最值 1、函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小

7、值. (3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求 f(x)在区间(a，b)内的极值； 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2、求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0 的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得. 3、可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况. 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题： 第一步：求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：求f(x)在给定区间上

8、的单调性和极值； 第三步：求f(x)在给定区间上的端点值； 4 / 8 第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范. 4、方法与技巧 (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分. (2)求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. (3)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 5、失误与防范 (1)注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数

9、的定义域内进行. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (3)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点. 题型一、利用导数研究函数的切线问题题型一、利用导数研究函数的切线问题 导数的几何意义就是求在该点的切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。 例 1、(2019 苏锡常镇调研）已知点 p在曲线 c：212yx=上，曲线 c 在点 p处的切线为 l，过点 p且与直线 l垂直的直线与曲线 c的另一交

10、点为 q，o为坐标原点，若 opoq，则点 p 的纵坐标为 例 2、（2018 年泰州期末）若函数32( )f xxaxbx=+为奇函数，其图象的一条切线方程为34 2yx=，则b的值为 题型二、利用导演研究函数的单调性题型二、利用导演研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性主要是通过多函数求导，研究导函数的正负的问题，这里要特别注意若函数5 / 8 在给定区间为增函数（减函数）则对应的)0)(0)(/xxff。由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数 f(x)的图像进行求解 例 3、(2019 南

11、京学情调研）已知函数 f(x)lnx，g(x)x2. (1) 求过原点(0，0)，且与函数 f(x)的图像相切的直线 l 的方程； (2) 若 a0，求函数 (x)|g(x)2a2f(x)|在区间 题型三、利用导数研究函数的极值题型三、利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的极值首先要求函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值。要特别注意函数在xx0=与0)(/=xf之间的关系，不是充要条件，解题时要注意验证。 例 4、(2019 南京学情调研） 若函数 f(x)12ax2ex1 在 xx1和 xx2两处取到极值，且x2x12，则实数 a的取值范围是_ 题型四题型四 利用导数研究函数的最

12、值利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的最值是导数的一个最重要的应用，求函数的最值往往给出具体的区间，若是填空题要特别注意技巧，把端点和在区间内的极值点代入即可。 例 5、(2019 扬州期末） 若存在正实数 x，y，z 满足 3y23z210yz，且 lnxlnzeyz，则xy的最小值为_ 例 6、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知 a 为常数，函数 f(x)xax2 1x2的最小值为23，则 a 的所有值为_ 6 / 8 一、填空 1、(2019 苏州期末） 曲线 yx2ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_ 2、(2017 苏州暑假测试）曲线

13、yex在 x0处的切线方程是_ 3、(2017 南通一调） 已知两曲线 f(x)2sinx，g(x)acosx，x0，2相交于点 p.若两曲线在点 p 处的切线互相垂直，则实数 a的值为_ 4、（2017 无锡期末）在曲线 yx1x(x0)上一点 p(x0，y0)处的切线分别与 x 轴，y 轴交于点 a，b，o是坐标原点，若oab的面积为13，则 x0_. 5、（2017 南通一调）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 与曲线 yx2(x0)和 yx3(x0)均相切，切点分别为 a(x1，y1)和 b(x2，y2)，则x1x2的值为_ 6、(2017 南京学情调研）已知函数 f(x)13x3

14、x22ax1，若函数 f(x)在(1,2)上有极值，则实数 a 的取值范围为_ 7、（2018 年高考江苏）若函数() = 23 2+ 1( )在(0,+)内有且只有一个零点，则()在1,1上的最大值与最小值的和为_ 8、(2017 南京三模）若函数 f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数 a 的最大值为 9、(2017 苏锡常镇调研）若函数 f(x) 12x1，x1，lnxx2，x1，)则函数 y|f(x)|18的零点个数为_ 7 / 8 10、(2017 苏州期末）已知函数 f(x) x24，x0，ex5，x0，)若关于 x 的方程|f(x)|ax50 恰有三个不同的实

15、数解，则满足条件的所有实数 a 的取值集合为_ 11、（2017 年高考江苏）已知函数31( )2eexxf xxx=+，其中 e 是自然对数的底数若(1)f a+2(2)0fa，则实数a的取值范围是 12、(2019 南京、盐城二模）已知函数 f(x)|x3|，x0，x212x3，x0.设 g(x)kx1，且函数 yf(x)g(x)的图像经过四个象限，则实数 k 的取值范围为_ 二、解答题 13、(2018 扬州期末）已知函数 f(x)ex，g(x)axb，a，br. (1) 若 g(1)0，且函数 g(x)的图像是函数 f(x)图像的一条切线，求实数 a的值； (2) 若不等式 f(x)x2m对任意 x(0，)恒成立，求实数 m的取值范围； (3) 若对任意实数 a，函数 f(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点，求实数 b的取值范围 14、(2018 苏北四市期末）已知函数 f(x)x2ax1，g(x)lnxa(ar) 8 / 8 (1) 当 a1时，求函数 h(x)f(x)g(x)的极值； (2) 若存在与函数 f(x)，g(x)的图像都相切的直线，求实数 a 的取值范围 15、(2018 南京学情调研）已知函数 f(x)2x33(a1)x26ax，ar. (1) 曲线 yf(x)在 x0处的切线的斜率为 3，求 a的值； (2) 若对于任意 x(0，)，f(