高考数学一轮复习课时过关检测（二十七）解三角形应用举例

1、1 / 8 课时过关检测（二十七）课时过关检测（二十七） 解三角形应用举例解三角形应用举例 a 级级基础达标基础达标 1.(2021 宁波市镇海中学高三适应性考试宁波市镇海中学高三适应性考试)两座灯塔两座灯塔 a 和和 b 与海岸观与海岸观察站察站 c 的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔 a 在观察站南偏西在观察站南偏西 40 ，灯塔，灯塔 b 在观察站南偏在观察站南偏东东 60 ，则灯塔，则灯塔 a 在灯塔在灯塔 b 的的( ) a北偏东北偏东 10 b北偏西北偏西 10 c南偏东南偏东 80 d南偏西南偏西 80 解析：解析：选选 d 由条件及题图可知，由条件及题图可知，ab40 ，又，又b

2、cd60 ，所以，所以cbd30 ，所以，所以dba10 ，因此灯塔，因此灯塔 a 在灯塔在灯塔 b 南偏西南偏西 80 . 2已知已知 a 船在灯塔船在灯塔 c 的北偏东的北偏东 85 方向且方向且 a 到到 c 的距离为的距离为 2 km，b 船在灯塔船在灯塔 c 的西的西偏北偏北 25 方向且方向且 b 到到 c 的距离为的距离为 3km，则，则 a，b 两船的距离为两船的距离为( ) a 13 km b 15 km c2 3 km d3 2 km 解析：解析：选选 a 画出图形如图所示，由题意可得画出图形如图所示，由题意可得acb(90 25 )85 150 ，又，又 ac2，bc 3

3、.在在abc 中，由余弦定理可中，由余弦定理可得得 ab2ac2bc22ac bc cos 150 13，所以，所以 ab 13，即，即 a，b 两船的距离为两船的距离为 13 km. 3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点某人在喷水柱正西方向的点 a 处测得水柱顶端的仰角为处测得水柱顶端的仰角为 45 ，从点，从点 a 沿北偏东沿北偏东 30 方向前方向前进进 100 m 到达点到达点 b，在，在 b 点测得水柱顶端的仰角为点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高

4、度是，则水柱的高度是( ) a50 m b100 m c120 m d150 m 解析：解析：选选 a 设水柱高度是设水柱高度是 h，水柱底端为，水柱底端为 c， 则在则在abc 中，中，bac60 ，ach，ab100， bc 3h，根据余弦定理，根据余弦定理得，得， ( 3h)2h210022 h 100 cos 60 ， 即即 h250h5 0000，即即(h50)(h100)0， 解得解得 h50(负值舍去负值舍去)，故水柱的高度是，故水柱的高度是 50 m. 4(多选多选)(2021 重庆市高三第三次质量调研重庆市高三第三次质量调研)一艘轮船航行到一艘轮船航行到 a 处时看灯塔处时看

5、灯塔 b 在在 a 的的北偏东北偏东 75 ，距离，距离 12 6 海里，灯塔海里，灯塔 c 在在 a 的北偏西的北偏西 30 ，距离为，距离为 12 3海里，该轮船由海里，该轮船由 a沿正北方向继续航行到沿正北方向继续航行到 d 处时再看灯塔处时再看灯塔 b 在其南偏东在其南偏东 60 方向下列选项正确的有方向下列选项正确的有( ) aad24 2 / 8 bcd12 ccda60 或或cda120 dcda60 解析：解析：选选 abd 如图，在如图，在abd 中，中，b45，由，由adsin 45absin 6012 63224 2，ad24，a 正确；在正确；在acd 中，由余弦定理得

6、中，由余弦定理得cd2ac2ad22acadcos 30(12 3)2242212 32432144，cd12，b 正确；由正弦定理得正确；由正弦定理得cdsin 30acsincda，sincda32，故，故cda60 或或cda120 ，因为，因为 adac，故，故cda 为锐角，所以为锐角，所以cda60 ，d 正确，正确，c 错误错误 5(多选多选)在在abc 中，中，a，b，c 分别是角分别是角 a，b，c 的对边，的对边，c 为钝角，且为钝角，且 cb2bcos a，则下列结论中正确的是，则下列结论中正确的是( ) aa2b(bc) ba2b c0cos a12 d0sin b12

7、 解析：解析：选选 abd 因为因为 cb2bcos a，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得 cb2bb2c2a22bc，因此，因此c(cb)b2c2a2，整理得，整理得 a2b(bc)，故，故 a 选项正确；因为选项正确；因为 cb2bcos a，所以由正，所以由正弦定理得弦定理得 sin csin b2sin bcos a，即，即 sin(ab)sin b2sin bcos a，所以，所以 sin acos bsin bcos asin b，所以，所以 sin(ab)sin b，由于，由于 c 是钝角，所以是钝角，所以 abb，即，即 a2b，故，故 b 选项正确；由于选项正确；由于 a2

8、b，且，且 c90 ，所以，所以 0 a60 ，0 b30 ，因此，因此 1cos a12，0sin b12，故，故 c 选项错误，选项错误，d 选项正确选项正确 6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即即 a，b 两点间的距离两点间的距离)，现取两点，现取两点c，d，测得，测得 cd80，adb135 ，bdcdca15 ，acb120 ，则图中海

9、洋，则图中海洋蓝洞的口径大小为蓝洞的口径大小为 解析：解析：由已知得，在由已知得，在acd 中，中，acd15 ，adc150 ，所以，所以dac15 ， 由正弦定理得由正弦定理得 ac80sin 150sin 15406 2440( 6 2) 在在bcd 中，中，bdc15 ，bcd135 ， 所以所以dbc30 ， 3 / 8 由正弦定理由正弦定理cdsincbdbcsinbdc， 得得 bccdsinbdcsincbd80sin 151240( 6 2) 在在abc 中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 ab21 600(84 3)1 600(84 3)21 600( 6 2)( 6 2

10、)121 600161 60041 6002032 000， 解解得得 ab80 5. 故图中海洋蓝洞的口径为故图中海洋蓝洞的口径为 80 5. 答案：答案：80 5 7.如图所示，一艘海轮从如图所示，一艘海轮从 a 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与海轮相距方向，与海轮相距 20 n mile 的的 b 处，海轮按北偏西处，海轮按北偏西 60 的方向航行了的方向航行了30 min 后到达后到达 c 处，又测得灯塔在海轮的北偏东处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75 的方向上，则海轮的方向上，则海轮的速度为的速度为 n mile/min. 解析：解析：由已知

11、得由已知得acb45 ，b60 ， 由正弦定理得由正弦定理得acsinbabsinacb， 所以所以 acab sinbsinacb20sin 60sin 4510 6(n mile)， 所以海轮航行的速度为所以海轮航行的速度为10 63063(n mile/min) 答案：答案：63 8已知已知abc 的内角的内角 a，b，c 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，且，且 cos 2acos 2b2cos 2c，则，则 cos c 的最小值为的最小值为 解析：解析：因为因为 cos 2acos 2b2cos 2c，所以，所以 12sin2 a12sin2b24sin2c，得，得 a2b22c

12、2，所以，所以 cos ca2b2c22aba2b24ab2ab4ab12，当且仅当，当且仅当 ab 时等号成立时等号成立 答案：答案：12 9在在abc 中，中，abc90 ，ab4，bc3，点，点 d 在线段在线段 ac 上若上若bdc45 ，则，则 bd . 解析：解析：如图，易知如图，易知 sinc45， cos c35. 在在bdc 中，由正弦定理可得中，由正弦定理可得 4 / 8 bdsincbcsinbdc， bdbc sincsinbdc3452212 25. 答案：答案：12 25 10已知已知abc 中，中，ac4，bc2 7，bac60 ，adbc 于点于点 d，则，则b

13、dcd的值的值为为 解析：解析：在在abc 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 bc2ac2ab22ac ab cosbac，即，即 2816ab24ab，解得，解得 ab6(ab2 舍去舍去)，则，则 cosabc28361622 762 77，bdab cosabc62 7712 77，cdbcbd2 712 772 77，所以，所以bdcd6. 答案：答案：6 11在在abc 中，内角中，内角 a，b，c 的对边的对边 a，b，c 成公差为成公差为 2 的等差数列，的等差数列，c120 . (1)求边长求边长 a； (2)求求 ab 边上的高边上的高 cd的长的长 解：解：(1)由题意

14、得，由题意得，ba2，ca4， 由余弦定理由余弦定理 cos ca2b2c22ab， 得得 cos 120 a2( (a2) )2( (a4) )22a( (a2) )，即，即 a2a60，所以，所以 a3 或或 a2(舍去舍去)所所以以 a3. (2)法一：法一：由由(1)知知 a3，b5，c7， 由三角形的面积公式得由三角形的面积公式得 12absinacb12ccd， 所以所以 cdabsinacbc3532715 314， 即即 ab 边上的高边上的高 cd15 314. 法二：法二：由由(1)知知 a3，b5，c7， 由正弦定理得由正弦定理得3sina7sinacb7sin 120.

15、 5 / 8 即即 sina3 314， 在在 rtacd 中，中，cdacsina53 31415 314. 即即 ab 边上的高边上的高 cd15 314. 12(2021 唐山市高三第二次模考唐山市高三第二次模考)某海域的东西方向上分别某海域的东西方向上分别有有 a，b 两个观测点两个观测点(如图如图)，它们相距，它们相距 5(3 3)海里现有一艘海里现有一艘轮船在轮船在 d 点发出求救信号，经探测得知点发出求救信号，经探测得知 d 点位于点位于 a 点北偏东点北偏东45 ，b 点北偏西点北偏西 60 ，这时，位于，这时，位于 b 点南偏西点南偏西 60 且与且与 b 点相距点相距20

16、3海里的海里的 c 点有一救援船，其航行速度为点有一救援船，其航行速度为 30 海里海里/小时小时 (1)求求 b 点到点到 d 点的距离点的距离 bd； (2)若命令若命令 c 处的救援船立即前往处的救援船立即前往 d点营救，求该救援船到达点营救，求该救援船到达 d 点需要的时间点需要的时间 解：解：(1)由题意知由题意知 ab5(3 3)(海里海里)， dba90 60 30 ，dab90 45 45 ， 所以所以adb180 (45 30 )105 ， 在在dab 中，由正弦定理得中，由正弦定理得dbsindababsinadb， 所以所以 dbab sindabsinadb5( (3

17、3) ) sin 45sin 105 5( (3 3) ) sin 45sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 5 3( ( 31) )31210 3(海里海里) (2)在在dbc 中，中，dbcdbaabc30 (90 60 )60 ，bc20 3(海海里里)，由余弦定理得，由余弦定理得 cd2bd2bc22bd bc cos dbc3001 200210 320 312900， 所以所以 cd30(海里海里)，则需要的时间，则需要的时间 t30301(小时小时) 因此救援船到达因此救援船到达 d 点需要点需要 1 小时小时 b 级级综合应用综合应用 13在在abc 中，内角

18、中，内角 a，b，c 对应的边分别为对应的边分别为 a，b，c，a2，sin csin(ba)6 / 8 2sin 2a，则角，则角 a 的取值范围为的取值范围为( ) a 0，6 b 0，4 c 6，4 d 6，3 解析：解析：选选 b 在在abc 中，中，c(ab)，所以，所以 sin(ab)sin(ba) 2sin 2a，即即 2sin bcos a2 2sin acos a，因为，因为 a2，所以，所以 cos a0，所以，所以 sin b 2sin a，由正弦，由正弦定理得，定理得，b 2a，所以，所以 a 为锐角又因为为锐角又因为 sin b 2sin a(0,1，所以，所以 si

19、n a 0，22，所以所以 a 0，4. 14(多选多选)已已知四边形知四边形 abcd 内接于圆内接于圆 o，abcd5，ad3，bcd60 ，下列，下列结论正确的有结论正确的有( ) a四边形四边形 abcd 为梯形为梯形 b圆圆 o 的直径为的直径为 7 c四边形四边形 abcd 的面积为的面积为55 34 dabd 三边的长度可以构成一个等差数列三边的长度可以构成一个等差数列 解析：解析：选选 acd abcd5，ad3，bcd60 ，bad120 ，可证，可证badcda，badcda120 ，bcdcda180 ，bcda，显然，显然ab 不平行于不平行于 cd，故四边形，故四边形

20、 abcd 为梯形，为梯形，a 正确；在正确；在bad 中，由余中，由余弦定理可得弦定理可得 bd2ab2ad22ab adcos bad5232253cos 120 49，bd7，圆圆 o 的的直径不可能是直径不可能是 7，故，故 b 错误；在错误；在bcd 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得 bd2cb2cd22cb cd cos bcd，72cb25225cbcos 60 ，解得，解得 cb8 或或 cb3(舍舍去去)，sbad12ab ad sin 12012533215 34，sbcd12cb cd sin 6012583210 3，s四边形四边形abcdsbcdsbad15 34

21、10 355 34，故，故 c 正确；在正确；在abd 中，中，ad3，ab5，bd7，满足，满足 adbd2ab，abd 三边的长度可以构三边的长度可以构成一个等差数列，故成一个等差数列，故 d 正确故选正确故选 a、c、d. 15(2021 福州市质量检测福州市质量检测)在在cdad，sinbac3 2114，ac8 77这三个条这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答件中任选一个，补充在下列问题中并解答 已知四边形已知四边形 abcd 为圆的内接四边形，为圆的内接四边形， ，ab1，bd 7，ad2，求，求 bc 的的长长 7 / 8 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：

22、若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：解：由题意作出图形，如图所示，由题意作出图形，如图所示， ab1，bd 7，ad2， 由余弦定理得由余弦定理得 cosbadab2ad2bd22ab ad 147412， 又又0bad，bad23， 四边形四边形 abcd 为圆的内接四边形，为圆的内接四边形， badbcd，bcd3， 选择条件选择条件：cdad， cd2，则，则 cosbcdcd2bc2bd22cd bc4bc274bc12， 解得解得 bc3 或或 bc1(舍舍) 选择条件选择条件：sinbac3 2114， 四边形四边形 abcd 为圆的内接四边形，为圆的内接四边形， bac

23、bdc 在在bcd 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 bcsinbdcbdsinbcd7322 213， bc2 213sinbdc2 213sinbac3. 选择条件选择条件：ac8 77， 四边形四边形 abcd 为圆的内接四边形，为圆的内接四边形，bdabca， ad2，ab1，bd 7， 由余弦定理可得由余弦定理可得 cos bdaad2bd2ab22ad bd47122 75 714， cos bcacos bda5 714， 在在abc 中，中，ab1，ac8 77， 8 / 8 由余弦定理得由余弦定理得 cos bcaac2bc2ab22ac bc， 即即647bc2116 77 bc5 714， 解得解得 bc3 或或 bc197. c 级级迁移创新迁移创新 16(2021 武汉模拟武汉模拟)刘徽是我国魏晋时期著名