高考数学一轮复习课时作业(十五)　变化率与导数、导数的计算

1、1 / 6 课时作业(十五) 变化率与导数、导数的计算 1(多选)下列计算正确的有( ) a(x2)2x b(sin x)cos x c(ex)ex d(ln (x2)1x2 abd 由导数的运算法则和常见函数的导数有 (x2)2x，(sin x)cos x，(ex)ex，(ln (x2)1x2 . 所以正确的有 abd.故选 abd. 2(多选)(2020 江苏淮安高三月考)若直线 y12 xb 是函数 f(x)图象的一条切线，则函数 f(x)可以是( ) af(x)1x bf(x)x4 cf(x)sin x df(x)ex bcd 直线 y12 xb 的斜率为 k12 ， 由 f(x)1x

2、 的导数为 f(x)1x2 ，即切线的斜率小于 0，故 a不正确； 由 f(x)x4 导数为 f(x)4x3，而 4x312 ，解得 x12 ，故 b 正确； 由 f(x)sin x的导数为 f(x)cos x，而 cos x12 有解，故 c 正确； 由 f(x)ex的导数为 f(x)ex，而 ex12 ，解得 xln 2，故 d正确，故选 bcd. 3已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为( ) aexy10 bexy10 cexy10 dexy10 a 令 x0，则 f(x)ex1，因为 f(x)为奇函数，所以当 x0 时，f(

3、x)f(x)ex1.所以 f(1)e1，f(x)ex，则 f(1)e，故切线方程为 y(1e)e(x1)，即 exy10.故选 a 4如图所示，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx3 是曲线 yf(x)在 x1 处的切线，令 h(x)f（x）x ，h(x)是 h(x)的导函数，则 h(1)的值是( ) 2 / 6 a2 b1 c1 d3 d 由题图可知直线 l 经过点(1，2)， 则 k32，k1，即 f(1)1，且 f(1)2. h(x)f（x）x ，h(x)f（x）xf（x）x2 ， 则 h(1)f(1)f(1)123，故选 d. 5(2020 湖北八校第一次联考)已知曲线 c：f(x)

4、x33x，直线 l：yax 3 a，则 a6 是直线 l与曲线 c 相切的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 a 因为曲线 c：f(x)x33x，所以 f(x)3x23.设直线 l 与曲线 c 相切，且切点的横坐标为 x0，则切线方程为 y(3x20 3)x2x30 ，所以3x20 3a，2x30 3a， 解得x0 3，a6， 或x032，a34， 所以 a6 是直线 l 与曲线 c 相切的充分不必要条件，故选 a 6已知函数 f(x)4exex和点 m(0，5)，则导数 f(x)_；yf(x)的图象在点m 处的切线的方程是_ 解析： 因为 f(x)

5、4exex， 所以 f(x)(4ex)(ex)4ex(1)ex4exex， 因为 f(0)4e0e03，m(0，5)， 所以 yf(x)的图象在点 m 处的切线的方程是 y53(x0)， 即 y3x5. 答案： 4exex；y3x5 7(2020 六校联盟第二次联考)若 f(x)13 x312 f(1)x2x12 ，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_ 解析： 因为 f(x)13 x312 f(1)x2x12 ，所以 f(x)x2f(1)x1，所以 f(1)13 / 6 f(1)1，所以 f(1)1，所以 f(1)13 12 112 43 ，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处

6、的切线方程是 y43 x1，即 3x3y10. 答案： 3x3y10 8若曲线 f(x)a cos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab_ 解析： 依题意得，f(x)a sin x，g(x)2xb，f(0)g(0)，即a sin 020b，得 b0.又 mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1. 答案： 1 9求下列函数的导数： (1)y(3x24x)(2x1)； (2)ysin x2 (12cos2x4 )； (3)yln xx21 . 解析： (1)因为 y(3x24x)(2x1) 6x33x28x24x6x35x24x， 所以 y18x210 x4.

7、(2)因为 ysin x2 (cos x2 )12 sin x， 所以 y(12 sin x)12 (sin x)12 cos x. (3)y（ln x）（x21）ln x（x21）（x21）2 1x（x21）2x ln x（x21）2 x212x2ln xx（x21）2 . 10已知曲线 yx3x2 在点 p0处的切线 l1平行于直线 4xy10，且点 p0在第三象限 (1)求 p0的坐标； (2)若直线 ll1，且 l 也过切点 p0，求直线 l 的方程 解析： (1)由 yx3x2，得 y3x21. 令 3x214，解得 x 1. 当 x1 时，y0；当 x1 时，y4. 又点 p0在第

8、三象限， 切点 p0的坐标为(1，4). (2)直线 ll1，l1的斜率为 4， 4 / 6 直线 l 的斜率为14 . l 过切点 p0，点 p0的坐标为(1，4)， 直线 l 的方程为 y414 (x1)，即 x4y170. 11.已知函数 f(x)在 r 上可导，其部分图象如图所示，设f（2）f（1）21 a，则下列不等式正确的是( ) af(1)f(2)a bf(1)af(2) cf(2)f(1)a daf(1)f(2) b 由图象可知，在(0，)上，函数 f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，f（2）f（1）21 a，易知 f(1)af(2). 12. (多选)已知函数 f(x

9、)及其导函数 f(x)，若存在 x0使得 f(x0)f(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是( ) af(x)x2 bf(x)ex cf(x)ln x df(x)tan x ac 若 f(x)x2，则 f(x)2x，令 x22x，得 x0 或 x2，方程显然有解，故 a 项符合要求；若 f(x)ex，则 f(x)ex，令 exex，此时方程无解，故 b 项不符合要求；若 f(x)ln x，则 f(x)1x ，令 ln x1x ，在同一个直角坐标系内作出函数 yln x 与 y1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程 f(x)f(x)存

10、在实数解，故 c项符合要求；若 f(x)tan x，则 f(x)sin xcos x 1cos2x ，令 tan x1cos2x ，化简得 sin x cos x1，变形可得 sin 2x2，无解，故 d项不符合要求故选 ac 项 13. 已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标 解析： (1)可判定点(2，6)在曲线 yf(x)上因为 f(x)3x21，所以 f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13.所以切线的方程为 y613(x2)，即 y13x32

11、. (2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x20 1，y0 x30 x016，所以直线 l 的方程为 y(3x20 1)(xx0)x30 x016.又因为直线 l 过原点(0，0)，所以 0(3x20 5 / 6 1) (x0)x30 x016，整理得 x30 8，所以 x02，所以 y0(2)3(2)1626，得切点坐标为(2，26)，k3(2)2113.所以直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26). 14已知函数 f(x)x2ln x. (1)求曲线 f(x)在点(1，f(1) 处的切线方程； (2)在函数 f(x)x2ln x 的图象上是否存在两

12、点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间12 ，1内？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由 解析： (1)由题意可得 f(1)1，且 f(x)2x1x ， 所以 f(1)211，则所求切线方程为 y11(x1)，即 yx. (2)假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x212 ，1，不妨设 x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x11x1 )(2x21x2 )1， 又函数 f(x)2x1x 在区间12 ，1上单调递增，函数的值域为1，1， 故12x11x1 0).所以2x24x1x a，即 2x2(4a)x10，所以当 a4 2 2 时有两个相等的正根