高考数学一轮复习课时作业(二十)　利用导数探究函数的零点问题

1、1 / 5 课时作业(二十) 利用导数探究函数的零点问题 1已知函数 f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表： x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示当 1a2 时，函数 yf(x)a 的零点的个数为( ) a1 b2 c3 d4 d 根据导函数图象，知 2 是函数的极小值点，函数 yf(x)的大致图象如图所示由于 f(0)f(3)2，1a2，所以 yf(x)a的零点个数为 4. 2若函数 f(x)axaex 1(a0)没有零点，则实数 a 的取值范围为_ 解析： f(x)aex（axa）exe2x a（x2）ex (a0). 当

2、x2 时，f(x)2 时，f(x)0， 当 x2 时，f(x)有极小值 f(2)ae2 1. 若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2)ae2 10， 解之得 ae2，因此e2a0，解得 xe2； 2 / 5 令 f(x)0，解得 0 x2e 时，f(x)0，无零点； 当 a2e 时，f(x)0，有 1 个零点 当 a2e 时，f(x)0，得 x2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，). (2)由(1)知 f(x)极大值f(1)13 12 2256 ，f(x)极小值f(2)83 242163 ， 由数形结合，可知要使函数 g(x)f(x)2m3 有三个零点， 则163 2

3、m356 ，解得76 m0. (1)若曲线 yf(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程； (2)若 f(x)g(x)m在0，)上有解，求实数 m的取值范围 解析： (1)因为 yf(x)经过坐标原点，所以 f(0)a10，a1，此时 f(x)exex1. 3 / 5 所以 f(x)exe，f(0)1e. 所以曲线 yf(x)在原点处的切线方程为 y(1e)x. (2)因为 f(x)aexaex1， 所以 f(x)aexaea(exe). 当 x1 时，f(x)0；当 0 x1 时，f(x)1 时，h(x)0；当 0 x0. 所以 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 所

4、以当 x0，)时，h(x)maxh(1)72 m. 要使 f(x)g(x)m在0，)上有解， 则72 m1，即 m92 . 所以实数 m的取值范围为92 ，). 6(2019 全国卷)已知函数 f(x)(x1)ln xx1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 证明： (1)f(x)的定义域为(0，). f(x)x1x ln x1ln x1x . 因为 yln x在(0，)上单调递增，y1x 在(0，)上单调递减，所以 f(x)在(0，)上单调递增 又 f(1)10，故存在唯一 x0(1，2)，使得 f(x0)0. 又当 xx0时，f

5、(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增 因此，f(x)存在唯一的极值点 (2)由(1)知 f(x0)0，所以 f(x)0 在(x0，)内存在唯一根x. 由 x01 得1 1x0. 4 / 5 又 f1 11 ln 1 1 1f（） 0，故1 是 f(x)0 在(0，x0)的唯一根 综上，f(x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 7已知函数 f(x)ln xax2(ab1)xb1(a，br). (1)若 a0，试讨论 f(x)的单调性； (2)若 0a42a 解析： (1)依题意知 x0，当 a0 时， f(x)ln x(b1)xb1.f(x)1x (b1). 当 b1时，f(x)0恒成立，此时 f(x)在定义域上单调递增； 当 b1 时，x(0，1b1 )时，f(x)0；x(1b1 ，)时，f(x)0，则 g(x1)g(x2)m， 依题意有 ln x1(a2)x1ln x2(a2)x2， a2ln x2x1x1x2 ， 要证1x1 1x2 42a，只需证x1x2x1x2 2(2a)2ln x2x1x1x2 (不妨设 x1x2)，即证x1x2 x2x1 2ln x2x1 ，即证 2