高考数学一轮复习第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)

1、1 / 10 空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1四个公理 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 拓展：公理 2的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公

2、共直线 (4)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 o作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b所成的角(或夹角) 范围：(0 ，90 拓展：异面直线判定的一个定理 2 / 10 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况 (2)平面与平

3、面的位置关系有平行、相交两种情况 4等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 常用结论 唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个平面 ， 有一个公共点 a，就说 ， 相交于过 a点的任意一条直线( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( ) (4)若直线 a不平行于平面 ，

4、且 a，则 内的所有直线与 a 异面( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知 a，b是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) a一定是异面直线 b一定是相交直线 c不可能是平行直线 d不可能是相交直线 c 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a，b为异面直线相矛盾 3 / 10 2如图所示，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线 b1c与 ef所成角的大小为( ) a30 b45 c60 d90 c 连接 b1d1，d1c(图略)，

5、 则 b1d1ef， 故d1b1c为所求的角， 又 b1d1b1cd1c， d1b1c60 . 3下列命题正确的是( ) a两个平面如果有公共点，那么一定相交 b两个平面的公共点一定共线 c两个平面有 3个公共点一定重合 d过空间任意三点，一定有一个平面 d 如果两个平面重合，则排除 a，b 两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除 c 项；而 d 项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点 4.如图，在三棱锥 a- bcd中，e，f，g，h分别是棱ab，bc，cd，da的中点，则 (1)当 ac，bd满足条件_时，四边形 efgh为菱形

6、； (2)当 ac，bd满足条件_时，四边形 efgh为正方形 (1)acbd (2)acbd且 acbd (1)四边形 efgh为菱形，efeh，acbd. (2)四边形 efgh为正方形，efeh且 efeh， efac，ehbd，且 ef12ac，eh12bd， acbd 且 acbd. 考点一 平面基本性质的应用 4 / 10 共面、共线、共点问题的证明 典例 1 如图所示，正方体 abcd- a1b1c1d1中，e，f分别是 ab和 aa1的中点求证： (1)e，c，d1，f四点共面； (2)ce，d1f，da三线共点 证明 (1)如图，连接 ef，cd1，a1b. e，f分别是 a

7、b，aa1的中点， efba1. 又a1bd1c，efcd1， e，c，d1，f四点共面 (2)efcd1，efcd1， ce与 d1f必相交，设交点为 p， 则由 p直线 ce，ce平面 abcd， 得 p平面 abcd. 同理 p平面 add1a1. 又平面 abcd平面 add1a1da， p直线 da，ce，d1f，da三线共点 点评： 本例第(1)问的证明应用了公理 2 的推论，采用线线共面，则线上的点必共面的思想；本例第(2)问的证明应用了公理 3，采用先证明 ce与 d1f相交，再证明交点在直线 da上 跟进训练 1有下列四个命题： 空间四点共面，则其中必有三点共线； 5 / 1

8、0 空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 空间四点中有三点共线，则此四点共面； 空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 其中真命题的所有序号有_ 中，对于平面四边形来说不成立，故是假命题；中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故是真命题；由的分析可知是真命题；中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故是假命题 2.如图所示，空间四边形 abcd中，e，f分别是 ab，ad的中点，g，h分别在 bc，cd上，且 bggcdhhc12. (1)求证：e，f，g，h四点共面； (2)设 eg与 fh交于点 p，求证：p，a，

9、c 三点共线 证明 (1)因为 e，f分别为 ab，ad的中点， 所以 efbd. 在bcd中，bggcdhhc12， 所以 ghbd， 所以 efgh. 所以 e，f，g，h四点共面 (2)因为 egfhp，peg，eg平面 abc， 所以 p平面 abc.同理 p平面 adc. 所以 p为平面 abc与平面 adc 的公共点 又平面 abc平面 adcac， 所以 pac， 所以 p，a，c三点共线 考点二 判断空间两直线的位置关系 空间中两直线位置关系的判定方法 6 / 10 典例 2 (1)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下

10、列命题正确的是( ) al 与 l1，l2都不相交 bl 与 l1，l2都相交 cl 至多与 l1，l2中的一条相交 dl 至少与 l1，l2中的一条相交 (2)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： abef；ab 与 cm 所成的角为 60 ；ef 与 mn 是异面直线；mncd. 以上四个命题中，正确命题的序号是_ (1)d (2) (1)法一：(反证法) 由于 l与直线 l1，l2分别共面，故直线l 与 l1，l2要么都不相交，要么至少与 l1，l2中的一条相交若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1，l2中的一条相交 法

11、二：(模型法)如图，l1与 l2是异面直线，l1与 l 平行，l2与 l相交，故a，b不正确；如图，l1与 l2是异面直线，l1，l2都与 l相交，故 c不正确 图 图 (2)如图，abef，正确；显然 abcm，所以不正确；ef与 mn是异面直线，所以正确；mn与 cd异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是. 7 / 10 点评：在直接判断不好处理的情况下，反证法、模型法(如构造几何体：正方体、空间四边形等)和特例排除法等是解决此类问题的三种常用便捷方法 跟进训练 如图，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c 的中点，有以下四个结论： 直线 am 与 cc1

12、是相交直线； 直线 am 与 bn是平行直线； 直线 bn 与 mb1是异面直线； 直线 am 与 dd1是异面直线 其中正确结论的序号为_ 直线 am 与 cc1是异面直线，直线 am 与 bn也是异面直线，所以错误点 b，b1，n在平面 bb1c1c中，点 m 在此平面外，所以 bn，mb1是异面直线同理 am，dd1也是异面直线 考点三 异面直线所成的角 1.平移法求异面直线所成角的一般步骤 提醒：异面直线所成的角 0，2. 2坐标法求异面直线所成的角 当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法 提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的

13、角是钝角，则它的补角才是要求的角 典例 3 (1)(2018 全国卷)在长方体 abcd- a1b1c1d1中，abbc1，aa1 3，则异面直线 ad1与 db1所成角的余弦值为( ) a15 b56 8 / 10 c55 d22 (2)四面体 abcd中，e，f分别是 ab，cd的中点若 bd，ac所成的角为 60 ，且 bdac1，则 ef 的长为_ (1)c (2)12或32 (1)法一：(平移法)如图，连接bd1，交 db1于 o，取 ab的中点 m，连接 dm，om.易知o为 bd1的中点，所以 ad1om，则mod为异面直线ad1与 db1所成角因为在长方体 abcd- a1b1

14、c1d1中，abbc1，aa1 3，ad1ad2dd212， dmad212ab252， db1 ab2ad2dd21 5，所以 om12ad11，od12db152，于是在dmo中，由余弦定理， 得 cosmod12522522215255， 即异面直线 ad1与 db1所成角的余弦值为55. 故选 c. 法二：(补体法)如图，在长方体 abcd- a1b1c1d1的一侧补上一个相同的长方体 abba- a1b1b1a1.连接b1b，由长方体性质可知，b1bad1，所以db1b为异面直线 ad1与 db1所成的角或其补角连接 db，由题意，得 db 12(11)2 5，bb112( 3)22

15、，db11212( 3)2 5. 在dbb1中，由余弦定理，得 db2bb21db212bb1 db1 cosdb1b， 即 54522 5cosdb1b， 9 / 10 cosdb1b55.故选 c. 法三：(坐标法)以 d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知 d(0,0,0)，a(1,0,0)，d1(0,0， 3)，b1(1,1， 3)，所以ad1(1,0， 3)，db1(1,1， 3)， 则由向量夹角公式，得 cosad1，db1ad1 db1|ad1| |db1|22 555，即异面直线 ad1与 db1所成角的余弦

16、值为55，故选 c. (2)如图，取 bc的中点 o，连接 oe，of， 因为 oeac，ofbd， 所以 oe与 of所成的锐角(或直角)即为 ac与 bd所成的角，而 ac，bd所成角为 60 ，所以eof60 或eof120 .当eof60 时，efoeof12. 当eof120 时，取 ef 的中点 m，则 omef， ef2em23432. 点评：(1)平移法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的两种常用方法，其实质是平行移动直线，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，体现了化归思想 (2)要明确直线所成角的范围，防止概念不清导致解析不全，如本例(2) 跟进训练 1.如图，在正方体 abcd- a1b1c1d1中，异面直线 ac 与a1b所成的角为( ) a30 b45 c60 d90 10 / 10 c 如图，连接 cd1，ad1，则 a1bcd1，所以acd1是异面直线 ac 与 a1b所成的角或其补角易知acd1是等边三角形所以acd160 ，所以异面直线ac与 a1b 所成的角为 60 .故选 c. 2(2017 全国卷)已知直三棱柱 abc- a1b1c1中，abc120 ，ab2，bccc11，则异面直线 ab1与 bc1所成角的余弦