高考数学一轮复习第6章 第3节 等比数列及其前n项和

1、1 / 14 等比数列及其前 n 项和 考试要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系 1等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的数学表达式为an1anq(nn*，q为非零常数) (2)等比中项：如果 a，g，b成等比数列，那么 g叫做 a 与 b的等比中项即 g 是 a 与 b的等比中项a，g，b

2、 成等比数列g2ab. 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1amqnm. (2)前 n 项和公式： sn na1(q1)，a1(1qn)1qa1anq1q(q1). 常用结论 等比数列的常用性质 (1)在等比数列an中，若 mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则 am anap aqa2k. (2)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，an bn，anbn仍然是等比数列 2 / 14 (3)等比数列an的前 n 项和为 sn，则 sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为 qn，q1 且 n为偶数时除外 一、易错易误辨析(正确的打“

3、”，错误的打“”) (1)满足 an1qan(nn*，q 为常数)的数列an为等比数列( ) (2)g为 a，b的等比中项g2ab.( ) (3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( ) (4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n项和为 sna(1an)1a.( ) (5)数列an为等比数列，则 s4，s8s4，s12s8成等比数列( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材习题衍生 1在等比数列an中，a32，a78，则 a5等于( ) a5 b 5 c4 d 4 c a25a3a72816，a5 4. 又a5a3q20，a54. 2在等比数

4、列an中，a332，s392，则 a2的值为( ) a32 b3 c32 d3或32 d 由 s3a1a2a3a3(q2q11)，得 q2q113，即 2q2q10， 解得 q1或 q12. a2a3q32或3.故选 d. 3在数列an中，a12，an12an，sn为an的前 n项和若 sn126，则 n_. 6 a12，an12an， 3 / 14 数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又sn126，2(12n)12126， 解得 n6. 4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 mb，然后每 3 秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_秒，该病毒占据内存

5、8 gb(1 gb210 mb) 39 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an， 且 a12，q2，an2n， 则 2n8210213，n13. 即病毒共复制了 13次 所需时间为 13 339(秒) 考点一 等比数列基本量的运算 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，q，n，sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”) (2)运用等比数列的前 n项和公式时，注意分 q1和 q1两类分别讨论 1(2020 成都模拟)设正项等比数列an的前 n 项和为 sn，若 s23，s415，则公比 q等于( ) a2

6、b3 c4 d5 a s23，s415，q1， 由 a1(1q2)1q3， a1(1q4)1q15， 得 q24，又 q0，q2.故选 a. 2(2020 全国卷)记 sn为等比数列an的前 n项和，若 a5a312，a64 / 14 a424，则snan( ) a2n1 b221n c22n1 d21n1 b 法一：设等比数列an的公比为 q，则由 a5a3a1q4a1q212，a6a4a1q5a1q324， 解得 a11，q2， 所以 sna1(1qn)1q2n1，ana1qn12n1，所以snan2n12n1221n，故选 b. 法二：设等比数列an的公比为 q，因为a6a4a5a3a4

7、(1q2)a3(1q2)a4a324122，所以 q2，所以snana1(1qn)1qa1qn12n12n1221n，故选 b. 3(2018 全国卷)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 sn为an的前 n 项和，若 sm63，求 m. 解 (1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1. 由已知得 q44q2， 解得 q0(舍去)，q2或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1(nn*) (2)若 an(2)n1，则 sn1(2)n3. 由 sm63得(2)m188， 此方程没有正整数解 若 an2n1，则 sn2n1. 由 sm63得 2m64，解得

8、 m6. 综上，m6. 点评：抓住基本量 a1，q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，在套用等比数列求和公式解题时，务必注意讨论公比 q是否为 1. 5 / 14 考点二 等比数列的判定与证明 判定一个数列为等比数列的常见方法 典例 1 (2020 南昌模拟)已知数列an，bn满足 a11，b112，2an1an12bn,2bn112anbn. (1)证明：数列anb n，anbn为等比数列； (2)记 sn为数列an的前 n 项和，证明：sn103. 证明 (1)依题意，有 2an1an12bn，2bn112anbn， 两式相加，得 an1bn134(anbn) 又a1b1320， an

9、bn是首项为32，公比为34的等比数列， 两式相减，得 an1bn114(anbn) 又a1b1120， anbn是首项为12，公比为14的等比数列 (2)由(1)得，anbn3234n1， 6 / 14 anbn1214n1， 得，an14n34n， 故 sn14114n1143413n4n134103134n3n14n103. 点评：本例以数列的递推关系为载体，在考查等比数列判定方式的同时考查方程思想，学会从结论入手寻找解题思路是该问题的一个思维亮点 跟进训练 1(2020 河北唐山一中模拟)记 sn为数列an的前 n项和，sn1an，记tna1a3a3a5a2n1a2n1，则 an_，t

10、n_. 12n 1151116n 由题意得 a11a1，故 a112.当 n2 时，由 sn1an，sn11an1得 ananan1，则anan112，故数列an是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列an的通项公式为 an12n.由等比数列的性质可得 a1a3a22，a3a5a24，a2n1a2n1a22n，所以数列a2n1a2n1是以 a22116为首项，116为公比的等比数列，则 tna22a24a22n1161116n11161151116n. 2(2021 全国统一考试模拟演练)已知各项都为正数的数列an满足 an2 2an13an. (1)证明：数列anan1为等比数列； (2

11、)若 a112，a232，求an的通项公式 (1)证明：因为 an22an13an， 所以 an2an13(an1an)，因为an中各项均为正数，所以 an1an0， 所以an2an1an1an3， 7 / 14 所以数列anan1是公比为 3的等比数列 (2)解：由题意及(1)知，anan1(a1a2)3n123n1， 因为 an22an13an， 所以 an23an1(an13an)，a23a1， 所以 a23a10，所以 an13an0，故 an13an， 所以 4an23n1，即 an123n1. 考点三 等比数列性质的应用 应用等比数列性质的两个关注点 (1)转化意识：在等比数列中，

12、两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质 (2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关 sm，s2m，s3m的问题可利用 sm，s2msm，s3ms2m(sm0)成等比数列求解 典例 2 (1)已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10等于( ) a7 b5 c5 d7 (2)设 sn是等比数列an的前 n项和，若s4s23，则s6s4( ) a2 b73 c310 d1或 2 (3)已知等比数列an共有 2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_. (1)d (2)b (3)2 (1)法一：(基本量法)设数列

13、an的公比为 q， 则由题意得 a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98， 所以 q32，a11或 q312，a18， 所以 a1a10a1(1q9)7. 8 / 14 法二：(性质法)由 a4a72，a5a6a4a78， 解得 a42，a74或 a44，a72. 所以 q32，a11或 q312，a18， 所以 a1a10a1(1q9)7. (2)设 s2k，s43k，数列an为等比数列，s2，s4s2，s6s4也为等比数列，又 s2k，s4s22k， s6s44k， s67k，s6s47k3k73，故选 b. (3)由题意，得 s奇s偶240，s奇s偶80， 解得

14、s奇80，s偶160， 所以 qs偶s奇160802. 点评：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和 sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度 跟进训练 1已知数列an是等比数列，若 a21，a518，则 a1a2a2a3anan1(nn*)的最小值为( ) a83 b1 c2 d3 c 由已知得数列an的公比满足 q3a5a218， 解得 q12，a12，a312，故数列anan1是以 2为首项，公比为a2a3a1a2149 / 14 的等比数列， a1a2a2a3anan12114n114 83114n2，83，故选 c. 2等比数列an

15、满足 an0，且 a2a84，则 log2a1log2a2log2a3log2a9_. 9 由题意可得 a2a8a254，a50，所以 a52，则原式log2(a1a2a9)9log2a59. 数学文化 1 数列与数学文化 纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养. 等差数列中的数学文化 典型案例1 (2020 葫芦岛一模)我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤”意

16、思是：“现有一根金锤，长度为 5 尺，头部的 1尺，重 4斤；尾部的 1尺，重 2斤；且从头到尾，每一尺的质量构成等差数列”则下列说法正确的是( ) a该金锤中间一尺重 3.5 斤 b中间三尺的质量和是头尾两尺质量和的 3 倍 c该金锤的质量为 15斤 d该金锤相邻两尺的质量之差为 1.5斤 c 设该等差数列为an，公差为 d，a52，a14，则 44d2，解得 d12. an412(n1)9n2. a33，s55(24)215， 10 / 14 a2a3a4723529，a5a16，故选 c. 评析 以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型

17、，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前 n项和等 跟进训练 (2020 湖南六校联考)程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统宗中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”(注六升六：6.6升次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( ) a3.4升 b2.4 升 c2.3升 d3.6升 a 设从下至上各节容积分别为 a1，a2，a9，则an为等差数列，公差为 d，

18、则由题意可知， a1a2a36.6，a6a7a8a94.4，故 3a13d6.6，4a126d4.4，解得，d0.2，a12.4， 所以中间节 a4a51.81.63.4.故选 a. 等比数列中的数学文化 典型案例2 (2020 荆州一模)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的十二平均律的数学意义是：在 1和 2之间插入 11 个正数，使包含 1 和 2 的这 13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( ) b 根据题意，设这个等比数列为an，设其公比为 q，又由 a11，a132，则 q12a13a12， 插入的第四个数应为 a5a1q4q4213，故选 b.

19、11 / 14 评析 以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前 n 项和等 跟进训练 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高 42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高 168 万元，并要求每个实验室改建费用不能超过 1 700 万元则该研究所改建这十个

20、实验室投入的总费用最多需要( ) a3 233万元 b4 706 万元 c4 709万元 d4 808万元 c 设每个实验室的装修费用为 x 万元，设备费为 an万元，n1,2,3，10， 则 a5a2a1q4a1q42，a7a4a1q6a1q3168， 解得 a13，q2，a103291 536， 依题意：x1 5361 700，解得 x164. 该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要： 10 xa1a2a1010 x3(1210)12 10 x3 0694 709.故选 c. 递推数列中的数学文化 典型案例3 九连环是一种广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移

21、动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用 an表示解下 n(n9，nn*)个圆环所需的最少移动次数，数列an满足a11，且 an 2an11，n为偶数，2an12，n为奇数，则解下 5个圆环所需的最少移动次数为12 / 14 ( ) a7 b10 c16 d22 c 数列an满足 a11，且 an 2an11，n为偶数，2an12，n为奇数，所以 a21，a34，a47，a516.故选 c. 评析 以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题意，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本

22、题，剥去数学文化背景，实质就是已知 a11，且 an 2an11，n为偶数，2an12，n为奇数，求 a5的问题 跟进训练 (2020 邯郸二模)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640年提出了 fn22n1(n0,1,2，) 是质数的猜想，直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出 f5=6416 700 417，不是质数现设 an=log4(fn-1)(n=1,2,)，sn表示数列an的前 n项和若 32sn=63an，则 n= ( ) a5 b6 c7 d8 b 因为 fn22n1(n0,1,2，)，所以 anlog4(fn1)log4(22n11)log422n2n

23、1， 所以an是等比数列，首项为 1，公比为 2，所以 sn1(12n)122n1. 所以 32(2n1)632n1，解得 n6，故选 b. 周期数列中的数学文化 典型案例4 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，即 f(1)f(2)1，f(n)f(n1)f(n2)(n3，nn*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2 021 项的和为( ) a672 b673 13 / 14 c1 348 d2 021 c 由于an是数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55