高考数学一轮复习第6节 对数与对数函数

1、1 / 18 第第 6 节节 对数与对数函数对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数 ylogax 与指数函数 yax互为反函数(a0，且 a1). 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果 axn(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作 xlogan，其中 a 叫做对数的底数，n叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：alogann；loga

2、abb(a0，且 a1). (2)对数的运算性质 如果 a0且 a1，m0，n0，那么 loga(mn)logamlogan； logamnlogamlogan； logamnnlogam(nr). (3)换底公式：logbnloganlogab(a，b均大于零且不等于 1，n0). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，). 2 / 18 (2)对数函数的图象与性质 a1 0a1时，y0； 当 0 x1时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 ya

3、x(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称. 常用结论与微点提醒 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab1logba(a0，且 a1；b0，且 b1). (2)logambnnmlogab(a0，且 a1；b0；m，nr，且 m0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1 ，函数图象只在第一、四象限. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.( ) (2

4、)函数 ylog2(x1)是对数函数.( ) (3)函数 yln1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当 x1时，若 logaxlogbx，则 ab.( ) 3 / 18 解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如 ylogax(a0，且 a1)为对数函数，故(2)错. (4)若 0b1bc b.acb c.cba d.cab 解析 0a1，b1.cab. 答案 d 4.(2018 全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则( ) a.abab0 b.abab0 c.ab0ab d.ab00，1blog0.320. 01a1blo

5、g0.30.41，即 0abab0，b0，故 abab0，且 a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) a.a1，c1 b.a1，0c1 c.0a1 4 / 18 d.0a1，0c1 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a0，即 logac0，所以 0c1. 答案 d 6.(2020 河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，当x0，且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练 1】 (1)(2019 北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m152lge1e2，其中星等为

6、 mk的星的亮度为ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) a.1010.1 b.10.1 c.lg 10.1 d.1010.1 (2)(多填题)已知 ab1，若 logablogba52，abba，则 a_，b_. 解析 (1)依题意，m126.7，m21.45，代入所给公式得52lg e1e21.45(26.7)25.25. 所以 lg e1e225.252510.1，即e1e21010.1. (2)设 logb at，则 t1，因为 t1t52， 所以 t2，则 ab2.又 abba， 所以 b2bbb2，即 2bb2， 又

7、ab1，解得 b2，a4. 答案 (1)a (2)4 2 考点二 对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2020 济南调研)已知 lg alg b0，则函数 f(x)ax与函数 g(x)logbx 的图象可能是( ) 6 / 18 (2)已知函数 f(x)log2x，x0，3x，x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a的取值范围是_. 解析 (1)由 lg alg b0，得 ab1. f(x)ax1bxbx， 因此 f(x)bx与 g(x)logbx 单调性相同. a，b，d 中的函数单调性相反，只有 c 的函数单调性相同. (2)如图，在同一坐标系中分别作出

8、 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a表示直线 yxa在 y 轴上的截距. 由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 yf(x)只有一个交点. 答案 (1)c (2)(1，) 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练 2】 (1)若函数 f(x)log2(x1)，且 abc0，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小关系是( ) a.f（a）af（b）bf（c）c b.f（c）cf（b）bf（a）a c.f（b

9、）bf（a）af（c）c d.f（a）af（c）cf（b）b 7 / 18 (2)当 x(1，2)时，不等式(x1)2bc 时，f（c）cf（b）bf（a）a. (2)由题意，易知 a1. 如图，在同一坐标系内作出 y(x1)2，x(1，2)及 ylogax，x(1，2)的图象. 若 ylogax过点(2，1)，得 loga21，所以 a2. 根据题意，函数 ylogax，x(1，2)的图象恒在 y(x1)2，x(1，2)的上方. 结合图象，a的取值范围是(1，2. 答案 (1)b (2)c 考点三 解决与对数函数性质有关的问题多维探究 角度 1 比较大小 【例 31】 (1)已知 alog2

10、3log23，blog29log23，clog32，则 a，b，c 的大小关系是( ) a.abc c.abbc (2)(2019 天津卷)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) a.acb b.abc c.bca d.ca1，blog29log23log23 3a，clog32c. (2)因为 ylog5x 是增函数， 所以 alog52log0.50.51. 因为 y0.5x是减函数，所以 0.50.51c0.50.20.501， 即 0.5c1.所以 ac2的解集为( ) a.(2，) b.0，12(2，) c.0，22( 2，) d

11、.( 2，) (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数 a的取值范围是_. 解析 (1)因为偶函数 f(x)在(，0上是减函数，所以 f(x)在(0，)上是增函数，又 f(1)2，所以不等式 f(log2x)2，即|log2x|1，解得 0 x2. (2)当 a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由 f(x)1 在区间1，2上恒成立， 则 f(x)minf(2)loga(82a)1，且 82aa， 解得 1a83. 当 0a1在区间1，2上恒成立， 知 f(x)minf(1)loga(8a)1，且 82a0. 8a

12、0，此时解集为. 综上可知，实数 a的取值范围是1，83. 答案 (1)b (2)1，83 9 / 18 规律方法 形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1与 0a0恒成立. 即 a12x恒成立，由于12x(，0)， 故只要 a0，则 a的取值范围是0，). (3)由已知得函数 f(x)是减函数，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)log2(1a)，最小值是 f(1)log212a . 由题设得 log2(1a)log212a 2， 则 log2(1a)log2(4a2). 1a4a2，4a20，解得12a13. 故实

13、数 a的取值范围是12，13. 规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行. 2.解题注意几点：(1)由 f(0)0，得 a0，需验证 f(x)f(x).(2)f(x)的定义域为 r，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式. 10 / 18 【训练 3】 (1)(多选题)(角度 1)设不为 1的实数 a，b，c 满足 abc0，下列选项错误的是( ) a.logcblogab b.logablogac c.babc d.abcb (2)(角度 2)设 f(x)lg21xa是奇函数，则使 f(x)0，且

14、 a1)的图象恒过定点(m，n)，且函数 g(x)mx22bxn 在1，)上单调递减，则实数 b 的取值范围是_. 解析 (1)因为 b 为定值，当 ac1 时，logcblogab；当 1ac0 时，logcblogab，故 a 错误；因为底数 a，b 与 1 的大小关系不确定，故 b，c 错误；因为 yxb(b0)为(0，)上的增函数，而 ac0，故 abcb，故 d 正确，故选 abc. (2)由 f(x)是奇函数可得 a1， f(x)lg1x1x，定义域为(1，1). 由 f(x)0，可得 01x1x1，1x0，且 a1)的图象恒过定点(m，n)，令 x21，求得 x1，f(x)3，可

15、得函数的图象经过定点(1，3)，m1，n3. 函数 g(x)mx22bxnx22bx3， 在1，)上单调递减，2b21，即 b1， 所以实数 b的取值范围为1，). 答案 (1)abc (2)(1，0) (3)1，) 赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破 以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如 2017 全国卷 t15，2018 全国卷 t9，2019 全国卷 t11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用. 【典例】 (2020 淄博模拟)已知函数 f(x)ex，g(x)ln x212，对任意 ar，存11 / 18

16、在 b(0，)，使 f(a)g(b)，则 ba的最小值为( ) a.2 e1 b.e212 c.2ln 2 d.2ln 2 解析 存在 b(0，)，使 f(a)g(b)， 则 ealn b212，令 tealn b2120. aln t，b2et12，则 ba2et12ln t. 设 (t)2et12ln t，则 (t)2et121t(t0). 显然 (t)在(0，)上是增函数，当 t12时，120. (t)有唯一零点 t12. 故当 t12时，(t)取得最小值 122ln 2. 答案 d 思维升华 1.解题的关键：(1)由 f(a)g(b)，引入参数 t 表示 a，b 两个量.(2)构造函数

17、，转化为求函数的最值. 2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具. 【训练】 (2020 石家庄一中检测)函数 f(x)|2x1|，x2，x5，x2. 若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是( ) a.(16，32) b.(18，34) c.(17，35) d.(6，7) 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示. 不妨设 abc，则 a0. 12 / 18 由 f(a)f(b)，得 12a2b1，则 2a2b2. 又 f(a)f(b)f(c)， 结合图象，得 05c1，则 4c5. 162c32.故 182a2b2c3

18、4. 答案 b a级 基础巩固 一、选择题 1.已知函数 f(x)2x，x4，f（x1），x4，则 f(2log23)的值为( ) a.24 b.16 c.12 d.8 解析 因为 32log234，所以 f(2log23)f(3log23)23log2382log2324. 答案 a 2.(2020 湖南长郡中学联考)已知实数 a2ln 2，b22ln 2，c(ln 2)2，则 a，b，c 的大小关系是( ) a.cba b.acb c.bac d.cab 解析 由于 0ln 22，c(ln 2)2(0，1). 因此 bac. 答案 d 3.若函数 f(x)axax(a0 且 a1)在 r

19、上为减函数，则函数 yloga(|x|1)的图象可能是( ) 解析 由 f(x)在 r 上是减函数，知 0a1 时，yloga(x1)的图象由 ylogax 的图象向右平移一个单位得到.因13 / 18 此选项 d正确. 答案 d 4.(2020 潍坊调研)若函数 f(x)|x|x3，则 f(lg 2)flg 12f(lg 5)flg 15( ) a.2 b.4 c.6 d.8 解析 由于 f(x)|x|x3，得 f(x)f(x)2|x|. 又 lg 12lg 2，lg 15lg 5. 所以原式2|lg 2|2|lg 5|2(lg 2lg 5)2. 答案 a 5.若函数 f(x)logax23

20、2x (a0，且 a1)在区间12， 内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为( ) a.(0，) b.(2，) c.(1，) d.12， 解析 令 mx232x，当 x12， 时，m(1，)，恒有 f(x)0，所以a1，所以函数 ylogam 为增函数，又 mx342916， 因为 m 的单调递增区间为34， . 又 x232x0，所以 x0 或 x32， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，). 答案 a 二、填空题 6.(2020 肇庆统考)已知 23log4x27，则 x 的值为_. 解析 23log4x232log2xx32，又 2733(32)32932，所以 x329

21、32，所以 x9. 答案 9 7.(2019 全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0，x1，则满足 f(x)2的 x的取值范围是_. 解析 当 x1时，由 21x2，解得 x0，所以 0 x1； 当 x1 时，由 1log2x2，解得 x12，所以 x1. 综上可知，x0. 答案 0，) 三、解答题 9.已知函数 f(x)log21axx1(a 为常数)是奇函数. (1)求 a 的值与函数 f(x)的定义域； (2)若当 x(1，)时，f(x)log2(x1)m恒成立，求实数 m 的取值范围. 解 (1)因为函数 f(x)log21axx1是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 log

22、21axx1log21axx1， 即 log2ax1x1log2x11ax， 所以 a1，f(x)log21xx1， 令1xx10，解得 x1， 所以函数的定义域为x|x1. (2)f(x)log2(x1)log2(1x)， 当 x1 时，x12，所以 log2(1x)log221. 因为 x(1，)时，f(x)log2(x1)m恒成立， 所以 m1，所以 m 的取值范围是(，1. 15 / 18 10.已知函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log12x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)当 x0，则 f

23、(x)log12(x). 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)log12(x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)log12x，x0，0，x0，log12（x），x2， 所以不等式 f(x21)2转化为 f(|x21|)f(4). 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以|x21|4，解得 5x0，且a1)的图象可能是( ) 16 / 18 解析 若 a1，则 y1ax单调递减，a，b，d 不符合，且 ylogax12过定点12，0 ，c项不符合，因此 0a1. 当 0a1 时，函数 yax的图象过定点(0，1)，在 r 上单调递减，于是函数 y1ax的图象过定点(0，1)，在 r 上单调递增，函数 ylogax12的图象过定点12，0 ，在12， 上单调递减.因此， 选项 d中的两个图象符合. 答案 d 12.(2017 全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则( ) a.2x3y5z b.5z2x3y c.3y5z2x d.3y2x1. 则 xlog2tlg tlg 2，同理，ylg tlg 3，zlg tlg 5. 2x3y