高考数学一轮复习第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)

1、1 / 17 第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 考向预测 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 命题趋势 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现. 核心素养 直观想象、数学建模 1直线与圆的位置关系 设直线 l：axbyc0(a2b20)， 圆：(xa)2(yb)2r2(r0)， d 为圆心(a，b

2、)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr 0)， 圆 o2：(xa2)2(yb2)2r22(r20) 方法 位置关系 几何法：圆心距 d与 r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 dr1r2 无解 2 / 17 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含 0d|r1r2|(r1r2) 无解 常用结论 1圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 p(x0，y0)的

3、圆的切线方程为 x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2. 2两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆 c1：x2y2d1xe1yf10， 圆 c2：x2y2d2xe2yf20， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0. 3直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半12l 满足关系式 r2d212l2. 常见误区 1求圆的切线

4、方程时，易忽视切线斜率 k 不存在的情形 2对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论如当 0 时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当 0 时，还需要判断两圆是外切，还是内切 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切( ) 3 / 17 (3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( ) 答案：(1) (2) (3) 2直线 yx1 与圆 x2y21的位置关系为( ) a相

5、切 b相交但直线不过圆心 c直线过圆心 d相离 解析：选 b.圆心为(0，0)，到直线 yx1 即 xy10 的距离 d1222，而 0221，但是圆心不在直线 yx1 上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心 3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为( ) a内切 b相交 c外切 d外离 解析：选 b.两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距d 421 17.因为 32d0)相交于a，b两点若|ab|6，则 r 的值为_ 解析：依题意得，圆心(0，0)到直线 x 3y80 的距离 d824，因此r2d2(|ab|2)225，又 r0，所以 r5. 答

6、案：5 5(易错题)已知圆 c：x2y29，过点 p(3，1)作圆 c 的切线，则切线方程为_ 解析：由题意知 p 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为 x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为 k，所以切线方程为 y1k(x3)，所以kxy13k0，所以|k0013k|k2（1）23，所以 k43，所以切线方程为 4x3y150.综上，切线方程为 x3或 4x3y150. 答案：x3或 4x3y150 4 / 17 直线与圆的位置关系 题组练透 1已知点 m(a，b)在圆 o：x2y21 外， 则直线 axby1 与圆 o 的位置关系是( ) a相切 b相交 c相离 d不确定 解析：选

7、b.因为 m(a，b)在圆 o：x2y21外， 所以 a2b21，从而圆心 o 到直线 axby1 的距离 d|a 0b 01|a2b21a2b21， 所以直线与圆相交 2(2021 南充市第一次适应性考试)若过点 a(4，0)的直线 l 与圆(x2)2y21 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( ) a( 3， 3) b 3， 3 c.33，33 d.33，33 解 析 ： 选 d. 方 法 一 ： 设 直 线 l 的 方 程 为 y k(x 4) ， 联 立 得（x2）2y21，yk（x4），则(x2)2k2(x4)21，得(k21)x2(8k24)x16k230，根据题意知 (8k

8、24)24(k21)(16k23)033k33. 方法二：设直线 l 的方程为 yk(x4)，直线 l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线 l：kxy4k0 的距离 d|2k04k|k21|2k|k2114k2k213k2133k33. 3圆(x3)2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离等于 1 的点的个数为( ) 5 / 17 a1 b2 c3 d4 解析：选 c.如图所示，因为圆心到直线的距离为|91211|52，又因为圆的半径为 3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为 1 的点有 3个 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小

9、关系来判断 (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断 如果 0，那么直线与圆相交 直线与圆的综合问题 角度一 圆的切线问题 (1)(2021 山东济宁第一中学质量检测)过点 p(1，2)的直线与圆 x2y21 相切，且与直线 axy10 垂直，则实数 a 的值为( ) a0 b43 c0 或43 d.43 (2)(2020 山东烟台一模)设 p 为直线 3x4y40 上的动点，pa，pb 为圆c：(x2)2y21 的两条切线，a，b 为切点，则四边形 apbc 面积的最小值为( ) a. 3 b2 3

10、 c. 5 d2 5 【解析】 (1)当 a0时，直线 axy10 即直线 y1，此时过点 p(1，2)且与直线 y1 垂直的直线为 x1，并且 x1 与圆相切，满足题意，所以 a0成立当 a0 时，过点 p(1，2)且与直线 axy10 垂直的直线斜率为1a，则直线方程为 y21a(x1)，即 xay2a10，再6 / 17 根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为 1 可得|2a1|a211，解得 a43.故选c. (2)如图所示圆 c：(x2)2y21 的圆心为 c(2，0)，半径为 1，papb，则 s四边形apbc212 pb cb，又因为pcb 为直角三角形，所以 pbpc2cb2

11、pc21，因此 s四边形apbc pc21，要使四边形 apbc 的面积最小，则 pc 最小，当 cp 垂直于直线 3x4y40 时，cp 取最小值，即点 c到直线 3x4y40 的距离，|pc|min|32404|52，故四边形 apbc 面积的最小值为 221 3.故选 a. 【答案】 (1)c (2)a 圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为 yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 dr，进而求出 k； (2)代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0进而求得 k. 注意 求过

12、某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个 k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为 xx0) 角度二 圆的弦长问题 (1)(2020 高考全国卷)已知圆 x2y26x0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) a1 b2 c3 d4 (2)(2020 豫西南五校 3 月联考)已知圆 c：(x2)2y24，直线 l1：y 3x，l2：ykx1，若 l1，l2被圆 c 所截得的弦的长度之比为 12，则 k 的值为( ) 7 / 1

13、7 a. 3 b1 c.12 d.33 【解析】 (1)将圆的方程 x2y26x0 化为标准方程(x3)2y29，设圆心为 c，则 c(3，0)，半径 r3.设点(1，2)为点 a，过点 a(1，2)的直线为 l，因为(13)2220)截直线 xy0 所得线段的长度是2 2，则圆 m 与圆 n：(x1)2(y1)21的位置关系是( ) a内切 b相交 c外切 d相离 【解析】 (1)两圆方程相减，得直线 mn的方程为 x2y40，圆 x2y22x80 的标准形式为(x1)2y29，所以圆 x2y22x80 的圆心为(1，0)，半径为 3，圆心(1，0)到直线 mn 的距离 d35，所以线段 m

14、n 的9 / 17 长为 23235212 55.故选 d. (2)由题意得圆 m 的标准方程为 x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线 xy0的距离 da2，所以 2a2a222 2，解得 a2.圆 m 与圆 n 的圆心距|mn|2，小于两圆的半径之和 3，大于两圆的半径之差 1，故两圆相交故选 b. 【答案】 (1)d (2)b 圆与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由两圆的圆心距 d与半径 r，r(rr)的关系来判断drr外离；drr外切；rrdrr相交；drr内切；drr内含 (2)代数法：设圆 c1：x2y2d1xe1yf10，圆 c2：x2y2d2xe2yf20. 对于方程组

15、x2y2d1xe1yf10，x2y2d2xe2yf20， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交 注意 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|c1c2|与 rr，rr 的关系 1已知圆 c1：x2y22mx4ym250 与圆 c2：x2y22x2mym230，若圆 c1与圆 c2相外切，则实数 m_ 解析：对于圆 c1与圆 c2的方程，配方得圆 c1：(xm)2(y2)29，圆c2：(x1)2(ym)24，则圆 c1的圆心

16、c1(m，2)，半径 r13，圆 c2的圆心 c2(1，m)，半径 r22.因为圆 c1与圆 c2相外切，所以|c1c2|r1r2，即（m1）2（m2）25，m23m100，解得 m5 或 m2. 答案：5或 2 10 / 17 2在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 c 过点 a(0，8)，且与圆 x2y26x6y0 相切于原点，则圆 c 的方程为_ 解析：将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆 c 的圆心在直线 yx 上由于圆 c 过点(0，0)，(0，8)，所以圆心又在直线 y4 上联立 yx 和 y4，得圆

17、心 c 的坐标(4，4)又因为点(4，4)到原点的距离为 4 2，所以圆 c 的方程为(x4)2(y4)232，即 x2y28x8y0. 答案：x2y28x8y0 a级 基础练 1若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) a3，1 b1，3 c3，1 d(，31，) 解 析 ：选 c. 由 题 意 可 得 ， 圆 的 圆心 为 (a ，0) ， 半 径为2 ， 所 以|a01|12（1）2 2，即|a1|2，解得3a1. 2圆 x24xy20与圆 x2y24x30的公切线共有( ) a1条 b2条 c3 条 d4 条 解析：选 d.圆 x24xy20，即

18、(x2)2y24，其圆心坐标为(2，0)，半径为 2；圆 x2y24x30，即(x2)2y21，其圆心坐标为(2，0)，半径为 1，则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3，因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条，故选 d. 3(多选)已知直线 x2ya0 与圆 o：x2y22 相交于 a，b 两点(o 为坐标原点)，且aob 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为( ) a 6 b 5 c. 6 d. 5 解析：选 bd.因为直线 x2ya0 与圆 o：x2y22 相交于 a，b 两点(o 为坐标原点)，且aob 为等腰直角三角形，所以 o 到直线 ab 的距离为 1，

19、11 / 17 由点到直线的距离公式可得|a|12（2）21，所以 a 5. 4在平面直角坐标系 xoy 中，以点(0，1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) ax2(y1)24 bx2(y1)22 cx2(y1)28 dx2(y1)216 解析：选 b.直线 xby2b10过定点 p(1，2)，如图所以圆与直线xby2b10 相切于点 p 时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r 为 2，此时圆的标准方程为 x2(y1)22.故选 b. 5(2020 宁夏银川一中一模)与 3x4y0 垂直，且与圆(x1)2y24 相切的一条直线是( )

20、a4x3y6 b4x3y6 c4x3y6 d4x3y6 解析：选 b.设与直线 3x4y0 垂直的直线方程为 l：4x3ym0(mr)， 直线 l 与圆(x1)2y24 相切，则圆心(1，0)到直线 l 的距离为半径 2，即|4m|52， 所以 m6 或 m14，所以 4x3y60 或 4x3y140，结合选项可知 b正确，故选 b. 6圆 x2y24x0在点 p(1， 3)处的切线方程为_ 解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2，0)，半径为 2，点 p 在圆上，设切线方程为 y 3k(x1)，即 kxyk 30，所以|2kk 3|k212， 12 / 17 解得 k33.所以切线

21、方程为 y 333(x1)，即 x 3y20. 答案：x 3y20 7已知直线 l：xay10(ar)是圆 c：x2y24x2y10 的对称轴过点 a(4，a)作圆 c的一条切线，切点为 b，则|ab|_ 解析：由于直线 xay10 是圆 c：x2y24x2y10 的对称轴，所以圆心 c(2，1)在直线 xay10 上，所以 2a10，所以 a1，所以a(4，1) 所以|ac|236440.又 r2，所以|ab|240436.所以|ab|6. 答案：6 8(2020 武昌区高三调研)过动点 m 作圆 c：(x2)2(y2)21 的切线，n为切点若|mn|mo|(o为坐标原点)，则|mn|的最小

22、值为_ 解析：设 m(x，y)，因为|mn|mo|，所以(x2)2(y2)21x2y2，整理得 4x4y70，即动点 m 在直线 4x4y70 上，所以|mn|的最小值就是|mo|的最小值，为742427 28. 答案：7 28 9已知圆 c：x2y28y120，直线 l：axy2a0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 c相切； (2)当直线 l与圆 c相交于 a，b两点，且|ab|2 2时，求直线 l 的方程 解：(1)根据题意，圆 c：x2y28y120，则圆 c 的标准方程为 x2(y4)24，其圆心为(0，4)，半径 r2，若直线 l 与圆 c 相切，则有|42a|1a22，解

23、得 a34. (2)设圆心 c 到直线 l 的距离为 d，则|ab|22d2r2，即 2d24，解得 d 2，则有 d|42a|1a2 2，解得 a1 或7，则直线 l 的方程为 xy20 或 7xy140. 13 / 17 10圆 o1的方程为 x2(y1)24，圆 o2的圆心坐标为(2，1) (1)若圆 o1与圆 o2外切，求圆 o2的方程； (2)若圆 o1与圆 o2相交于 a，b两点，且|ab|2 2，求圆 o2的方程 解：(1)因为圆 o1的方程为 x2(y1)24，所以圆心 o1(0，1)，半径 r12. 设圆 o2的半径为 r2，由两圆外切知|o1o2|r1r2. 又|o1o2|

24、 （20）2（11）22 2， 所以 r2|o1o2|r12 22. 所以圆 o2的方程为(x2)2(y1)2128 2. (2)设圆 o2的方程为(x2)2(y1)2r22，.又圆 o1的方程为 x2(y1)24， 得 ab所在的直线方程为 4x4yr2280. 设线段 ab的中点为 h，因为 r12，所以|o1h| r21|ah|2 2. 又|o1h|404（1）r228|4242|r2212|4 2， 所以|r2212|4 2 2，解得 r224或 r2220.所以圆 o2的方程为(x2)2(y1)24 或(x2)2(y1)220. b级 综合练 11(多选)(2020 海南海口调研)设

25、有一组圆 ck：(xk1)2(y2k)21，下列说法正确的是( ) a这组圆的半径均为 1 b直线 2xy20 平分所有的圆 ck c存在无穷多条直线 l 被所有的圆 ck截得的弦长相等 d存在一个圆 ck与 x 轴与 y 轴均相切 解析：选 abc.对于选项 a：由圆 ck的方程可知，这组圆的半径均为 1，故 a 正确；对于选项 b：圆 ck的圆心坐标为(k1，2k)，因为 2(k1)2k20，所以直线 2xy20 过圆 ck的圆心，故 b 正确；对于选项 c：由 b知，直线 2xy20 平分所有的圆 ck，所以存在无数条与直线 2xy2014 / 17 平行或重合的直线(与直线 2xy20

26、的距离小于 1)被所有的圆 ck截得的弦长相等，故 c正确；对于选项 d：若圆 ck与 x轴和 y轴均相切，则|k1|1，|2k|1，无解，故 d错误故选 abc. 12(2020 四川五校联考)过直线 xy0 上一点 p 作圆(x1)2(y5)22的两条切线 l1，l2，a，b 为切点，当直线 l1，l2关于直线 xy0 对称时，apb( ) a30 b45 c60 d90 解析：选 c.如图，设圆(x1)2(y5)22 的圆心为c(1，5)，则点 c 不在直线 yx 上，要满足 l1，l2关于直线 yx 对称，则 pc 必然垂直于直线 yx，所以 kpc1，则 lpc：y5x1，即 yx6

27、，与 yx 联立，得p(3，3)所以|pc|（13）2（53）222，设apc，则apb2， sin |ac|pc|22 212，故 30，所以apb260.故选 c. 13已知点 p(2，2)，圆 c：x2y28y0，过点 p 的动直线 l 与圆 c交于a，b两点，线段 ab的中点为 m，o为坐标原点 (1)求 m 的轨迹方程； (2)当|op|om|时，求 l 的方程及pom 的面积 解：(1)圆 c的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 c(0，4)，半径为 4. 设 m(x，y)，则cm(x，y4)，mp(2x，2y) 由题设知cm mp0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(

28、x1)2(y3)22. 由于点 p在圆 c的内部， 所以 m 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 m 的轨迹是以点 n(1，3)为圆心， 2为半径的圆由于|op|om|， 故 o在线段 pm 的垂直平分线上， 又 p在圆 n上，从而 onpm. 15 / 17 因为 on的斜率为 3，所以 l 的斜率为13， 故 l 的方程为 x3y80. 又|om|op|2 2，o 到 l 的距离为4 105， 所以|pm|4 105，spom124 1054 105165，故pom 的面积为165. 14已知圆 c 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心 c 在直线 xy10 上，过点

29、 a(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 c相交于 m，n两点 (1)求圆 c的方程； (2)请问am an是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； 若om on12(o为坐标原点)，求直线 l 的方程 解：(1)设圆 c的方程为(xa)2(yb)2r2， 依题意，得（2a）2（4b）2r2，（1a）2（3b）2r2，ab10， 解得a2，b3，r1，所以圆 c的方程为(x2)2(y3)21. (2)am an为定值 过点 a(0，1)作直线 at与圆 c相切， 切点为 t，易得|at|27， 所以am an|am| |an|cos 0|at|27. 所以am an为定值，且定值为 7. 依题意可知，直线 l 的方程为 ykx1