高考数学一轮复习第2节　等差数列

1、1 / 15 第 2节 等差数列 知 识 梳 理 1等差数列的定义 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 (2)等差中项：如果 a，a，b 成等差数列，那么 a叫做 a与 b 的等差中项 2等差数列的通项公式及求和公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d，其前 n 项和是 snn（a1an）2或 snna1n（n1）2d 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*) (2)若an为等差数列，且

2、 klmn(k，l，m，nn*)，则 akalaman 特别地，当 kl2m(k，l，mn*)时，则 akal2am (3)若an为等差数列，sn为前 n 项和，则 sn，s2nsn，s3ns2n，也成等差数列，公差为 n2d. (4)若等差数列an的前 n 项和为 sn，则snn也是等差数列 4等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系 (1)通项公式：ana1(n1)ddn(a1d)，当 d0 时，等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数；当 d0时，等差数列的通项公式是常数函数 (2)求和公式：snd2n2a1d2n，当 d0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为

3、 0；当 d0时，等差数列的前 n项和公式为 snna1. 1用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1and(n2)时，应注意验证 a2a1是否等于 d，若 a2a1d，则数列an不为等差数列 2利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时，一定要注意自变量 n 是正整2 / 15 数 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)若一个数列从第二项起每一项和它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( ) (2)等差数列an的单调性是由公差 d决定的( ) (3)等差数列的前 n项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nn*

4、，都有 2an1anan2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 对(1)由定义知，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则此数列是等差数列，(1)错误；对(3)，当等差数列的公差为零时，此结论不正确 2一个等差数列的首项为125，从第 10 项开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d的取值范围是( ) ad875 bd325 c.875d325 d.8751，a91，即1259d1，1258d1， 所以8750，a7a100，所以 3a80，即 a80，又 a7a100，所以 a8a90，则 a94 时有 s820， s2n1s2n9116，则 an( )

5、a6 b.172 c39 d78 (2)(2020 浙江卷)已知等差数列an的前 n 项和为 sn，公差 d0，且a1d1.记 b1s2，bn1s2n2s2n，nn*，下列等式不可能成立的是( ) a2a4a2a6 b2b4b2b6 ca24a2a8 db24b2b8 答案 (1)b (2)d 解析 (1)由题知 a1a2a820，且 s2n1s2n9a2n8a2n7a2n1116，故知 a1a2n1201168172an，所以 an172. (2)由 bn1s2n2s2n，得 b2a3a42a15d，b4a7a82a113d，b6a11a12，b8a15a162a129d.由等差数列的性质易

6、知 a 成立；若 2b4b2b6，则 2(a7a8)a3a4a11a122a72a8，故 b 成立；若 a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，则 a1d，故 c 可能成立；若 b24b2b8，即(2a113d)2(2a15d)(2a129d)，则a1d32，与已知矛盾，故 d不可能成立 感悟升华 利用等差数列项的性质、等差数列前 n项和的性质能简化运算 【训练 2】 (1)已知等差数列an的前 n项和为 sn，且s4s813，则s8s16( ) a.310 b.37 c.13 d.12 (2)已知数列an，bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 sn和 tn，若sntn3n2

7、n1，则a5b5等于( ) a.295 b.2910 c.285 d.2810 答案 (1)a (2)b 解析 (1)因为数列an是等差数列，所以 s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差6 / 15 数列，因为s4s813，所以不妨设 s41，则 s83，所以 s8s42，所以 s16123410，所以s8s16310. (2)根据等差数列的性质和前 n 项和公式，有a5b52a52b59（a1a9）29（b1b9）2s9t9392912910.故选 b. 考点三 等差数列的判定与证明 【例 3】 (2021 台州模拟)已知数列an满足 a12，an12an1an. (1)求证：数列1

8、an1是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由1an1112an1an1anan11an11，得1an111an11， 又 a12，1a111， 数列1an1是以 1为首项，1为公差的等差数列 (2)解 由(1)知，1an1n，ann1n， 数列an的通项公式为 ann1n. 感悟升华 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于任意自然数 n(n2)，anan1(n2，nn*)为同一常数an是等差数列 解答题中证明问题 等差中项法 2an1anan2(n3，nn*)成立an是等差数列 通项公式anpnq(p，q为常数)对任意的正整数 n都选择、填空题中的判7

9、/ 15 法 成立an是等差数列 定问题 前 n项和公式法 验证 snan2bn(a，b是常数)对任意的正整数 n 都成立an是等差数列 【训练 3】 已知数列an的前 n项和为 sn，a11，an0，anan1sn1，其中 为常数 (1)证明：an2an； (2)是否存在 ，使得an为等差数列？并说明理由 (1)证明 由题设知，anan1sn1，an1an2sn11. 两式相减得 an1(an2an)an1. 由于 an10，所以 an2an. (2)解 由题设知，a11，a1a2s11，可得 a21. 由(1)知，a31. 由 2a2a1a3，解得 4. 故 an2an4， 由此可得a2n

10、1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n32(2n1)1； a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n 4n12 2n1. 所以 an2n1，an1an2. 因此存在 4，使得数列an为等差数列 考点四 等差数列最值问题 【例 4】 (1)(一题多解)设等差数列an的前 n项和为 sn，已知 a113，s3s11，当 sn最大时，n 的值是( ) a5 b6 c7 d8 (2)已知等差数列 16，14，12，的前 n 项和为 sn，且 sn0，则 n 的最大值为_ 答案 (1)c (2)16 8 / 15 解析 (1)法一 由 s3s11，得 a4a5a110，根据等差数列

11、的性质，可得a7a80.根据首项等于 13 可推知这个数列递减，从而得到 a70，a80，即n217n0，解得 0n0 且a6a5911，则当 sn取最大值时，n 的值为( ) a9 b10 c11 d12 (2)已知数列an是等差数列，sn是其前 n 项和，若 sn存在最大值，则在 s1，s22，s33，s20212 021中最大的数是( ) as1 b.s20142 014 c.s20212 021 d无法确定 答案 (1)b (2)a 解析 (1)由a6a5911，得 s11s9，即 a10a110，根据首项 a10 可推知这个数列递减，从而 a100，a110，故 n10 时，sn最大

12、 (2)由题意可知数列an是等差数列，且前 n 项和 sn存在最大值，公差 d0，s140，s140，a1a14a7a80，a80，所以 sn取最大值时 n的值为 7，故选 b. 6在等差数列an中，若a9a80 时，n的最小值为( ) a14 b15 c16 d17 答案 c 解析 数列an是等差数列，它的前 n 项和 sn有最小值，公差 d0，首项a10，an为递增数列，a9a81，a8 a90，由等差数列的性质知2a8a1a150.sn（a1an）n2，当 sn0 时，n 的最小值为 16. 二、填空题 7(2018 上海卷)记等差数列an的前 n 项和为 sn，若 a30，a6a714

13、，则 s7_ 答案 14 解析 a6a72a111d14，a3a12d0，d2，a42，s77a414. 8(2021 名校仿真训练三)等差数列an的前 n 项和为 sn，若 a35，s312，则公差 d_，通项公式 an_ 答案 1 n2 解析 由 s312，得 3a212，即 a24，又 a35，则 da3a21，故通项公11 / 15 式 ana2(n2)dn2. 9(2019 北京卷)设等差数列an的前 n项和为 sn，若 a23，s510，则 a5_，sn的最小值为_ 答案 0 10 解析 设首项为 a1, 公差为 d， a2a1d3，s55a110d10， a14，d1，a5a14

14、d0， ana1(n1)dn5. 令 an0，则 n5，即数列an中前 4项为负，a50，第 6项及以后为正 sn的最小值为 s4s510. 10已知等差数列an中，a1a37，设其前 n项和为 sn，且 s4s6，则其公差d_，其前 n 项和 sn取得最大值时 n_ 答案 1 5 解析 由 s4s6，知 a5a60，则有a1a12d7，a14da15d0， 解得a192，d1，所以 an92(n1)(1)112n.由112n0，得 n112，又nn*，所以当 n5 时，sn取得最大值 三、解答题 11已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n项和为 sn，且 sk110. (1)求 a

15、 及 k的值； (2)设数列bn的通项公式 bnsnn，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和tn. (1)解 设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a， 由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422， 所以 skka1k（k1）2 d2kk（k1）22k2k， 由 sk110，得 k2k1100， 解得 k10或 k11(舍去)，故 a2，k10. 12 / 15 (2)证明 由(1)得 snn（22n）2n(n1)， 则 bnsnnn1， 故 bn1bn(n2)(n1)1， 即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 tnn（2n1）2n（n3）2. 12设a

16、n是等差数列，a110，且 a210，a38，a46 成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)记an的前 n 项和为 sn，求 sn的最小值 解 (1)设an的公差为 d. 因为 a110， 所以 a210d，a3102d，a4103d. 因为 a210，a38，a46成等比数列， 所以(a38)2(a210)(a46) 所以(22d)2d(43d) 解得 d2. 所以an的通项公式为 ana1(n1)d2n12. (2)由(1)知，an2n12. 则当 n7 时，an0； 当 n6 时，an0；当 n6时，an0； 所以 sn的最小值为 s5s630. 能力提升题组 13(2021 山水

17、联盟考试)已知an为等差数列，且 ln a22a1a3，则( ) a|a1|a2|且|a3|a4| b|a1|a4| c|a1|a2|且|a3|a2|且|a3|a4| 答案 c 13 / 15 解析 因为数列an是等差数列，设公差为 d，且 ln a22a1a3，所以 3a2dln a2a21，则 d2a21.因为 a20，所以 d0，所以 0a3a4，所以有|a3|a2|，故选 c. 14如图，点列an，bn分别在某锐角的两边上，且|anan1|an1an2|，anan2，nn*，|bnbn1|bn1bn2|，bnbn2，nn*(pq 表示点 p 与 q 不重合)若dn|anbn|，sn为a

18、nbnbn1的面积，则( ) asn是等差数列 bs2n是等差数列 cdn是等差数列 dd2n是等差数列 答案 a 解析 sn表示点 an到对面直线的距离(设为 hn)乘以|bnbn1|长度的一半，即 sn12hn|bnbn1|，由题目中条件可知|bnbn1|的长度为定值，过 a1作垂线得到初始距离h1，那么 a1，an和相应两个垂足构成直角梯形，则 hnh1|a1an|sin (其中 为两条线所成的锐角，为定值)， 从而 sn12(h1|a1an|sin )|bnbn1|， sn112(h1|a1an1|sin )|bnbn1|， 则 sn1sn12|anan1|bnbn1|sin 为定值， 所以 sn1sn为定值，故选 a. 15(2021 湖州中学质检一)已知等差数列an的前 n项和为