高中数学讲义微专题52证明等差等比数列

1、- 1 - / 10 微专题 52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1nnaad+=（等差），1nnaqa+=（等比） （2）通项公式：naknm=+（等差），()0nnak qq=（等比） （3）前n项和：2nsanbn=+（等差），nnskqk=（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公

2、差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即nn ，均有： 122nnnaaa+=+ （等差） 212nnnaaa+= （等比） 二、典型例题： 例 1：已知数列 na的首项1133,521nnnaaanna+=+ 求证：数列11na为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213nnnnnnaaaaaa+=+ 即112133nnaa+=+，在考虑构造“1”：112111111333nnnaaa+ =+ = 即数列11na是公比为13的等比数列 思路二：代入法：将所证数列视为一个整

3、体，用nb表示：11nnba=，则只需证明 nb是等比数列即可，那么需要关于nb的条件（首项，递推公式），所以用nb将na表示出来，并- 2 - / 10 代换到na的递推公式中，进而可从nb的递推公式出发，进行证明 解：令11nnba=，则11nnab=+ 递推公式变为：11311311113211nnnnnbbbbb+=+ 1113333nnnnbbbb+=+= nb是公比为13的等比数列。即数列11na为等比数列 小炼有话说： （1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例 1 中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的

4、变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用 （2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元表示代入化简”即可，说两点：一是代换11nnba=体现了两个数列 ,nnab的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n项对应第n项）；二是经过代换，得到 nb的递推公式，而所证nb是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。 例 2 ： 数 列 na 的 前 n 项 和 为ns

5、，2131(*)22nnsannnn+= +（ * ） 设nnban=+，证明：数列 nb是等比数列，并求出 na的通项公式 思路：本题所给等式,nns a混合在一起，可考虑将其转变为只含na或只含ns的等式，题目中nnban=+倾向于项的关系，故考虑消掉ns，再进行求解 解：213122nnsann+= + ()()()211131112,22nnsannnnn+= + 可得：112121nnnnaanaan= = ()()()1112112nnnnanananan+=+=+ 即112nnbb= - 3 - / 10 nb是公比为12的等比数列 111ba=+ 令1n = 代入（*）可得：

6、11131122sa+= + = 112a= 112b= 111122nnnbb= 12nnnabnn= 小炼有话说：（1）遇到,nns a混合在一起的等式，通常转化为纯na（项的递推公式）或者纯ns（前n项和的递推公式），变形的方法如下： 消去ns：向下再写一个关于1ns的式子（如例 2），然后两式相减（注意n取值范围变化） 消去na：只需1nnnass=代换即可（2,nnn） （2）,nns a混合在一起的等式可求出1a，令1n =即可（因为11sa=） （3）这里体现出nnban=+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，

7、而通过nnban=+也可将na的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来将通项一并求出来 例 3：已知数列 na满足：1116,690,nnnaaaann=+=且2n ，求证：13na为等差数列 解：设13nnba=，则13nnab=+代入11690nnna

8、aa+=可得： 11111336390nnnbbb+ += 111133691890nnnnnbbbbb+ += 111330nnnnbbbb+=113nnbb= - 4 - / 10 nb为等差数列，即13na为等差数列 例 4：已知曲线:1c xy =，过c上一点(),nnnaxy作一斜率为12nnkx= +的直线交曲线c于另一点()111,nnnaxy+（1nnxx+且0nx ，点列na的横坐标构成数列 nx，其中1117x =. （1）求nx与1nx+的关系式； （2）令1123nnbx=+，求证：数列 nb是等比数列； 解：（1）曲线1:c yx= ()1:2nnnl yyxxx=

9、+ ()11111121nnnnnnnnnyxyyxxxyx+= += 12nnnx xx+=+ （2）11121233nnnnbxxb=+=+，代入到递推公式中可得： 11112222111333nnnbbb+ +=+ 11111112211111133422=411133333333nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb+=+()()11111211444439339nnnnnnnnnb bbbbb bbb+=+ ()()1112433nnnnnbbbbb+=+ 12nnbb+= nb是公比为2的等比数列 小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出nb的形式，所以考虑用代入法直接

10、- 5 - / 10 求解 例 5：已知数列 na满足()()1146410,21nnnanaa annn+=+，判断数列221nan+是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出na 解：设()221221nnnnabanbn+=+ 代入到()14641021nnnanan+=+可得： ()() ()14621241023221nnnnbnnbn+=+ ()()()()12321422 2321812410nnnnbnnnbnn+=+ ()()()()123212 2321nnnnbnnb+=+ 12nnbb+= 而112233aab+= 2a = 时，10b =， nb不是等比数列 2

11、a 时， nb是等比数列，即221nan+为等比数列 11222213nnaan+=+ ()()1221223nnana+= 例 6：（2015 山东日照 3 月考）已知数列 na中，111,1,33 ,nnnan naaan n+=为奇数为偶数 ，求证：数列232na是等比数列 思路：所证数列为232na，可发现要寻找的是 na偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2na与()21na之间的关系，再进行构造证明即可 - 6 - / 10 证明：由11,33 ,nnnan naan n+=为奇数为偶数可得： ()2211213nnaan=+ ()2122322nnaan= ()22213

12、22213nnaann=+ 22222112221133nnnaanna=+ =+ 222223111323232nnnaaa= 数列232na是公比为13的等比数列 例 7：（2015 湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列 na满足11a =，且对任意非负整数(),m n mn均有： ()22112m nm nmnaamnaa+ =+ （1）求02,a a （2 2）求证：数列）求证：数列1mmaa+是等差数列是等差数列，并求出并求出na的通项公式的通项公式 解：（1）令mn=可得： 202011mmaaaa+ = 再令0n =可得： ()201212mmamaa+ =+ 2423mmaam=+

13、 21413aa= = 021,3aa= （2）思路：考虑证明数列1mmaa+是等差数列，则要寻找1mmaa+，1mmaa的关系 ， 即 所 涉 及 项 为11,mmmaaa+， 结 合 已 知 等 式 令1n =， 利 用 （ 1 ） 中 的2423mmaam=+，将2ma代换为ma即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112m nm nmnaamnaa+ =+中令1n =得： - 7 - / 10 ()1122122mmmaamaa+=+ 11222224mmmaamaa+=+ 由（1）得22423,3mmaama=+=代入可得： 11222442mmmaamam+=+ () ()1

14、111222mmmmmmmaaaaaaa+= 数列1mmaa+是公差为2的等差数列 ()()121212mmaaaamm+=+= ()121mmaam= ()-1222mmaam= 212aa= ()()12 1211maamm m=+= ()11mam m=+ 例 8：（2010 安徽，20）设数列12,na aa中的每一项都不为 0，求证： na是等差数列的充分必要条件是：对nn 都有1223111111nnnna aa aa aa a+= 思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等 差 数 列 证 明 恒 等 式 。 观 察 所 证 等 式 可 联

15、 想 到 求 和 中 的 裂 项 相 消 。 所 以 考 虑11111111111nnnnnnnna aaaaadaa+=，然后恒等式左边进行求和即可证明。再证明充分性，即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减，进而左边消去大量的项，可得：12121111nnnnnnaaa aa a+=，通过化简可得：211nnnnaaaa+=，从而利用等差中项完成等差数列的证明 证明：先证必要性： na是等差数列 当0d =时 121nnaaaa= - 8 - / 10 左边22211111naaa=+= 右边21na= 当0d 时，考虑11111111111nnnnn

16、nnna aaaaadaa+= 左边1112231111111111111111nnnnnaadaaaaaadaada a+=+= 11111nnndnd a aa a+=右边 所证恒等式成立 再证必要性： 1223111111nnnna aa aa aa a+= 12231121211111nnnnnna aa aa aaaa a+= 可得： 12121111nnnnnnaaa aa a+= 两边同时乘以112nna aa+得： ()1121nnanana+=+ 同理：()111nnanana+= -可得：()121222nnnnnnnan aaaaa+=+=+ na为等差数列 小炼有话说：

17、（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用 （2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。 例 9 ：若数列 na的各项均为正数 ，212,nnnnnaa at+ =+（t为常数 ）， 且3242aaa=+ - 9 - / 10 （1）求132aaa+的值 （2）求证：数列 na为等差数列 解：（1）令1n =，则有2213aa at=+ 令2n =，则有2324aa at=

18、+ 可得： ()()2222231324224313224313aaa aa aaa aaa aaaaaaa=+=+=+ 1324232aaaaaa+= （2）思路：所给的递推公式中含有t，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。 解：212nnnaa at+=+ 2213nnnaaat+=+ 可得： 22221221311322nnnnnnnnnnnnaaa aaaaaaaa a+=+=+ ()()11322nnnnnnaaaaaa+=+ 13221nnnnnnaaaaaa+= 从nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa+= 221122nnnnnnaaaaaa+=+= 1+21nnnnaaaa+= 数列 na为等差数列 例 10：在数列 na中，10a =，且对任意kn，21221,kkkaaa+成等差数列，其公差为kd，若2kdk=，求证：22122,kkkaaa+成等比数列 思路：由21221,kkkaaa+的公差为2kdk=，而2121,kkaa+表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即21214kkaak+=，从而可以求出 na奇数项的通项公式，再利用2121,kkaa+可求