高中数学必修二高中数学必修二人A新教材课时素养评价十三

1、- 1 - / 14 温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 wordword 版，请按住版，请按住 ctrl,ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭看比例，答案解析附后。关闭 wordword 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价课时素养评价十三十三 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例距离问题距离问题 (15 分钟 30 分) 1.轮船 a 和轮船 b 在中午 12 时同时离开海港 o,两船航行方向的夹角为 120,两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则 14 时两船之间的距离是

2、( ) a.50 n mile b.70 n mile c.90 n mile d.110 n mile 【解析】选 b.到 14 时,轮船 a 和轮船 b 分别走了 50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为 l= =70(n mile). 【补偿训练】 已知 a、b 两地的距离为 10 km,b、c 两地的距离为 20 km,现测得abc=120,则 a、c 两地的距离为 ( ) a.10 km b. km c.10 km d.10 km 【解析】选 d.在abc 中,ab=10 km,bc=20 km,abc=120,则由余弦定理,得ac2=ab2+bc2-2a

3、bbccos abc=100+400-21020cos 120 =100+400-21020=700, - 2 - / 14 所以 ac=10 km, 即 a、c 两地的距离为 10km. 2.如图所示为起重机装置示意图.支杆 bc=10 m,吊杆 ac=15 m,吊索 ab=5 m,起吊的货物与岸的距离 ad 为 ( ) a.30 m b. m c.15 m d.45 m 【解析】选 b.在abc 中, cos abc=, abc(0,), 所以 sin abc=, 所以在 rtabd 中,ad=absin abc =5=(m). 3.已知 a 船在灯塔 c 北偏东 80,且 a 到 c 的

4、距离为 2 km,b 船在灯塔 c 北偏西40,a,b 两船的距离为 3 km,则 b 到 c 的距离为 . 【解析】如图所示,在abc 中,acb=40+80=120,ab=3 km,ac=2 km. - 3 - / 14 设 bc=a km.由余弦定理的推论, 得 cos acb=, 即 cos 120=, 解得 a=-1 或 a=-1(舍去), 即 b 到 c 的距离为 a=(-1)千米. 答案:(-1)千米 4.有一个长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 75,现要将其倾斜角改为 30,则坡底要伸长 千米. 【解析】如图,bao=75,c=30,ab=1 千米, 所以abc=bao-bc

5、a=75-30=45. 在abc 中,=, 所以 ac=(千米). 答案: - 4 - / 14 5.如图,甲船以每小时 30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 a1处时,乙船位于甲船的南偏西 75方向的 b1处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 a2处时,乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 b2处,此时两船相距 10海里.问:乙船每小时航行多少海里? 【解析】如图, 连接 a1b2,由已知 a2b2=10 海里, a1a2=30=10 (海里), 所以 a1a2=a2b2. 又a1a2b2=60,所以a1a2b2是等边三角形,所以 a1b2=a

6、1a2=10 海里. 由已知,a1b1=20 海里,b1a1b2=180-75-60=45, 在a1b2b1中,由余弦定理得 b1=a1+a1-2a1b1a1b2cos 45=202+(10)2-22010=200, 所以 b1b2=10 海里. 因此,乙船的速度为60=30(海里/时). - 5 - / 14 所以乙船每小时航行 30海里. (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.某人从 a 处出发,沿北偏东 60行走 3 km 到 b 处,再沿正东方向行走 2 km到 c 处,则 a,c 两地的距离为 ( ) a.4 km b.6 km c.7 km d.

7、9 km 【解析】选 c.如图所示,由题意可知 ab=3 km,bc=2 km,abc=150, 由余弦定理得 ac2=27+4-232cos 150=49, 所以 ac=7 km,所以 a,c 两地的距离为 7 km. 2.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 p 的南偏西 75距灯塔 68海里的 m 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 n 处,则这只船的航行速度为 ( ) a.海里/小时 b.34海里/小时 c.海里/小时 d.34海里/小时 【解析】选 a.如图所示, 在pmn 中,=. - 6 - / 14 所以 mn=34(海里), 所以 v=(海里/小时). 3.

8、已知甲船位于小岛 a 的南偏西 30的 b 处,乙船位于小岛 a 处,ab=20 千米,甲船沿的方向以每小时 6 千米的速度行驶,同时乙船以每小时 8 千米的速度 沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为 ( ) a. 小时 b. 小时 c. 小时 d. 小时 【解析】选 c.设当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为 t 小时,此时甲船位于 c 处,乙船位于 d 处,则 ac=(20-6t)千米,ad=8t 千米, 由余弦定理可得,cd2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos 120=52t2-80t+400,故当cd 取最小值时,t=. 4.如图,某炮兵

9、阵地位于 a 点,两观察所分别位于 c,d 两点.已知acd 为正三角形,且 dc= km,当目标出现在 b 点时,测得cdb=45,bcd=75,则炮兵阵地与目标的距离是(精确到 0.1) ( ) - 7 - / 14 a.1.1 km b.2.2 km c.2.9 km d.3.5 km 【解析】选 c.cbd=180-bcd-cdb=60. 在bcd 中,由正弦定理, 得 bd=. 在abd 中,adb=45+60=105, 由余弦定理, 得 ab2=ad2+bd2-2adbdcos 105 =3+2 =5+2. 所以 ab=2.9(km). 所以炮兵阵地与目标的距离约是 2.9 km.

10、 【误区警示】解题时,要分清不同的三角形,在不同的三角形中,根据条件分别选用正弦定理和余弦定理. 5.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150,向新的方向走了 3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么 x 的值为 ( ) a.或 2 b.2 - 8 - / 14 c.3 d.3 【解析】选 a.如图,在abc 中由余弦定理得 3=9+x2-6xcos 30,即 x2-3x+6=0, 解之得 x=2或. 6.甲船在湖中 b 岛的正南 a 处,ab=3km,甲船以 8km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船从 b 岛出发,以 12km/h 的速度向北偏东 60方向驶去,则行驶 15

11、min 时,两船的距离是 ( ) a. km b. km c. km d. km 【解析】选 b.由题意知 am=8=2(km),bn=12=3(km),mb=ab-am=3-2=1(km),所以由余弦定理得 mn2=mb2+bn2-2mbbncos 120=1+9-213=13,所以 mn= km. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,2019 年第 1 号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示,没有完全断开),树干与地面成 75角,折断部分与地- 9 - / 14 面成 45角

12、,树干底部与树尖着地处相距 10 米,则大树原来的高度是 米(结果保留根号). 【解题指南】根据题意,画出示意图,大树原来的高度分为两部分,利用正弦定理或余弦定理分别求出两部分的长度,求和即为大树原来的高度. 【解析】如图所示,设树干底部为 o,树尖着地处为 b,折断点为 a,则aob=75,abo=45, 所以oab=60. 由正弦定理知,=, 所以 oa=米,ab=米, 所以 oa+ab=(5+5)米. 答案:(5+5) 8.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 a,b.灯塔 b 位于灯塔 a 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 a 的北偏西 75,与 a 相距 3海里的 d

13、 处;乙船位于灯塔 b 的北偏西 60方向,与 b 相距 5 海里的 c 处,此时乙船与灯塔 a之间的距离为 海里,两艘轮船之间的距离为 海里. - 10 - / 14 【解析】连接 ac,由题意可知 ab=bc=5 海里,abc=acb=bac=60,cad= 45, 可得:ac=5 海里,根据余弦定理可得 cd2=ac2+ad2-2acadcoscad=25+18- 253=13,故乙船与灯塔 a 之间的距离为 5 海里,两艘轮船之间的距离为海里. 答案:5 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图,游客从某旅游景区的景点 a 处下山至 c 处有两种路径.一种是从 a 沿直线

14、步行到 c,另一种是先从 a 沿索道乘缆车到 b,然后从 b 沿直线步行到 c.山路ac 长为 1 260 m,经测量,cos a=,cos c= .求索道 ab 的长. 【解析】在abc 中,因为 cos a=,cos c= , - 11 - / 14 所以 sin a=,sin c= . 从而 sin b=sin-(a+c)=sin(a+c) =sin acos c+cos asin c= + =. 由=得 ab=sin c= =1 040(m).所以索道 ab 的长为 1 040 m. 10.如图,一人在 c 地看到建筑物 a 在正北方向,另一建筑物 b 在北偏西 45方向,此人向北偏西

15、 75方向前进 km 到达 d 处,看到 a 在他的北偏东 45方向,b 在北偏东 75方向,试求这两座建筑物之间的距离. 【解析】依题意得,cd= km, adb=bcd=30=bdc, dbc=120,adc=60,dac=45. 在bdc 中,由正弦定理得 bc=(km). 在adc 中,由正弦定理得 ac=3(km). 在abc 中,由余弦定理得 ab2=ac2+bc2-2acbccos acb - 12 - / 14 =(3)2+()2-23cos 45=25. 所以 ab=5 km, 故这两座建筑物之间的距离为 5 km. 1.某观测站 c 在 a 城的南偏西 20的方向,由 a

16、城出发有一条公路,公路走向是南偏东 40,在公路上测得距离 c 31 km 的 b 处有一人正沿公路向 a 城走去,走了 20 km 后到达 d 处,此时 c,d 之间相距 21 km,问此人还要走 km 才能到达 a 城. 【解析】如图,cab=60,bd=20 km, cb=31 km,cd=21 km. 在bcd 中,由余弦定理的推论, 得 cos bdc= =- , 则 sin bdc=. 在acd 中,acd=bdc-cad=bdc-60. 由正弦定理,得 ad=. 因为 sin acd=sin(bdc-60) - 13 - / 14 =sin bdccos 60-cos bdcsi

17、n 60=, 所以 ad=15(km). 答案:15 【补偿训练】 如图,为了测量 a,c 两点间的距离,选取同一平面上 b,d 两点,测出四边形abcd 各边的长度(单位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,a,b,c,d 四点共圆,则 ac 的长为 km. 【解析】因为 a,b,c,d 四点共圆, 所以 d+b=. 在abc 和adc 中, 由余弦定理可得 82+52-285cos(-d)=32+52-235cos d, 整理得 cos d=- , 代入得 ac2=32+52-235=49,故 ac=7 km. 答案:7 - 14 - / 14 2.一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由 a 点开始做匀速直线运动,到达点b 时,发现足球在点 d 处正以自己速度的 2 倍向点 a 做匀速直线滚动,如图所示,已知 ab=4 dm,ad=17 dm,bad=45,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球? 【解