高中数学必修二答案 (2)

1、1 / 16 全品学练考|高中数学 必修第二册 新教材（rja） 第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.a 解析 只有的说法正确,其余都不正确.故选 a. 2.c 3.b 解析 复数a+bi 是纯虚数a=0,b0,则“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要不充分条件. 4.ab 解析 对于 a,当a=0,且b0 时,a+bi 为纯虚数,故 a 中结论错误.对于 b,两个复数相等,则实部和虚部分别相等,所以a=3,b=-2,故 b 中结论错误.由复数的概念知选项 c,d 中的结论都正确.故选 ab. 5.c 解析 复数z=a+(2-b)i 的实部和虚部分别

2、是 2 和 3, = 2,2- = 3,解得 = 2, = -1,故选 c. 6.d 解析 由复数相等的充要条件知 + = 0,-1 = 0,解得 = 1, = -1,x+y=0,2x+y=20=1. 7.a 解析 由题意知b2+4b+4+(a+b)i=0,2+ 4 + 4 = 0, + = 0,解得 = -2, = 2,则z=2-2i. 8.b 解析 由题意得3-4sin2 = 0,1 + 2cos 0,则sin = 32,cos -12,又(0,),=3. 9.5 解析 因为x+3i=(y-2)i,所以 = 0,-2 = 3,解得 = 0, = 5,所以x+y=5. 10.(-,-1)(3

3、,+) 解析 由已知可得a22a+3,即a2-2a-30,解得a3 或a-1, 所以 log12(m+n)-(m2-3m)i 是实数, 从而有2-3 = 0,log12( + ) -1, 由得m=0 或m=3.当m=0 时,代入得n0,所以n=1; 当m=3 时,代入得n-1,与n是自然数矛盾. 综上可得,m=0,n=1. 7.1.2 复数的几何意义 1.b 解析 z=i+2i2=-2+i,实部小于 0,虚部大于 0,复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 2.d 解析 z=1+i,=1-i,则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),在第四象限. 3.b 解析 由复数(a2-3a+

4、2)+(a-2)i 是纯虚数,得2-3 + 2 = 0,-2 0,解得a=1,所以z=-i,=i,故选 b. 4.a 解析 z=3-4i,a=|z|=32+ (-4)2=5,b=-4,a+b=1. 5.d 解析 对于任意复数z=a+bi(a,br),满足它的模|z|=2+ 20 总成立,故 a 为真命题;z=a+bi=0 = 0, = 0|z|=0,故 b 为真命题;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2r),若z1=z2,则a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|.反之由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,故 c 为真命题;不全为实数的两个复数不能比较大小,

5、但任意两个复数的模总能比较大小,故 d 为假命题.故选 d. 6.a 解析 由题意知(x-1)2+(2x-1)210,解得-45x1 时,p在第一象限;当m23时,p在第三象限;当23m1 时,p在第四象限;当m=23时,p在虚轴上;当m=1 时,p在实轴上.故选 b. 9.23 解析 由|z|=(3)2+ (-6)2=40,得a=23. 4 / 16 10.2+3i 2-3i 解析 因为z1=2-3i 在复平面内对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,所以z2在复平面内对应的点的坐标为(2,3),所以z2=2+3i,所以2=2-3i. 11.2k6或-6

6、k-2 解析 复数在复平面内所对应的点位于第三象限,2-6 0,4-2 0,解得2k6或-6k 0,2-9 0,解得m3, 所以m的取值范围是m3. (2)因为z=(m-2)+(m2-9)i,所以=m-2+(9-m2)i, 因为与复数8+5i 相等,所以-2 =8,9-2= 5,解得m=-2. 15.b 解析 z*=|+|2 =22+22=( + )2-2 ,z*9-2 94=322,当且仅当a=b=32时取等号.故选 b. 16.解:(1)z=(m-1)+(2m+1)i(mr)为纯虚数, m-1=0 且 2m+10,解得m=1. (2)z在复平面内对应的点的坐标为(m-1,2m+1), 5

7、/ 16 由题意得-1 0.-12m1, 即实数m的取值范围是-12,1. |z|=(-1)2+ (2 + 1)2=5( +15) 2+95, 当m=-15-12,1 时,|z|取得最小值,且|z|min=95=355. 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 1.a 解析 原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+i. 2.b 解析 由题意得z=-1+i,则z-1=-2+i,故 a,b 错误;z-i=-1,为实数,故 c 正确;z+i=-1+2i,不是纯虚数,故 d 错误.故选 c. 3.b 解析 由题意得2-3 = 4,2= 5 + 6,解得m=-1,故选 b.

8、 4.c 解析 z2-z1=(1+3i)-(1+i)=2i,则|z2-z1|=2,故选 c. 5.a 解析 由图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1 所对应的向量的坐标为(-1,1),故选 a. 6.b 解析 z=m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,复数z在复平面内对应点的坐标为(3m-2,m-1),则由题意得3-2 0,-1 0,解得m 0,2+ -2 0,解得-2m-12, 故当-2m-12时,复数z对应的点位于第四象限. 14.解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dr), |z1|=|z2|=|z1-z2|=1,a2+b2=c2+d

9、2=1, (a-c)2+(b-d)2=1. 由得 2ac+2bd=1, |z1+z2|=( + )2+ ( + )2=2+ 2+ 2+ 2+ 2 + 2=3. 7 / 16 方法二:设o为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为a,b,c. |z1|=|z2|=|z1-z2|=1, oab是边长为 1 的正三角形, 四边形oacb是一个内角为 60,边长为 1 的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线oc的长, |z1+z2|=|oc|=|2+ |2-2|cos120=3. 15.c 解析 设z=x+yi,x,yr,则由|z+1|=|z-i|得( + 1)2+ 2=2+ (

10、-1)2,整理得y=-x,则点z在复平面内对应的点的轨迹为第二、四象限角平分线. 16.解:(1)由z1=z2,得-1 = ,3- = 2-1,解得 = 2, = 1. (2)证明:z=m-2+(1-m)i,mr, |z+a+bi|=|m-2+(1-m)i+2+i|=|m+(2-m)i|=2+ (2-)2=22-4 + 4=2(-1)2+ 22, 当且仅当m=1 时取等号. |z+a+bi|2. 7.2.2 复数的乘、除运算 1.b 解析 z=1+i1-i-2i=(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)-2i=2i2-2i=-i,则|z|=1. 2.a 解析 z=(2+i)i1+i=-+2i1

11、+i=(-+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-2+22i,因为z为纯虚数,所以2-2=0 且+220,解得a=2,所以z=2i.故选 a. 3.c 解析 由(1+i)z=|3+4i|=32+ 42=5,得z=51+i=5(1-i)(1+i)(1-i)=52-52i,z的虚部为-52.故选 c. 4.b 解析 由题意得=3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+4i2=1+2i,则复数z=1-2i.故选 b. 5.b 解析 +3i1-3i=(+3i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-34+3(+1)4i 为实数,a+1=0,即a=-1.故选 b. 8 / 16 6

12、.c 解析 由题意可得-3 0,z,即 1m3 且mz,故m=2,则z=-1+i,则1=1-1+i=-1-i(-1+i)(-1-i)=-1-i2=22.故选 c. 7.c 解析 (1-i)z=2i,z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i2=-1+i,|z|=2,=-1-i,z=(-1+i)(-1-i)=1+1=2,复数z在复平面内对应的点在第二象限.故选 c. 8.b 解析 z1=i1+i=1+i2,z2=z1i=-1+i2, =12,12, = -12,12, =0,故选 b. 9.2 解析 由题知z=1+3i1+i,则|z|=1+3i1+i=(1+3i)(1-i)(

13、1+i)(1-i)=1+3+(3-1)i2=(1+32)2+ (3-12)2=2. 10.1+32i 解析 依题意z=1-2i,故原式=3-2i-2i=(3-2i)(2i)(-2i)(2i)=4+6i4=1+32i. 11.-12i 解析 由x2+2x+5=0 得(x+1)2=-4,所以x=-12i. 12.5 解析 z1(1-i)=3-i,z1=3-i1-i=(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+i.a与b关于x轴对称,z1与z2互为共轭复数,z2=1=2-i,|z2|=5. 13.解:(1)z=5(2+i)(2-i)(2+i)=5(2+i)5=2+i, 所以z的实部为 2,虚部为

14、1. (2)把z=2+i 代入z2+m+n=1-i, 得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i, 所以2 + + 3 = 1,4- = -1,解得 = 5, = -12. 14.解:由题意得z1(1+2i)=4+3i,z1=4+3i1+2i =2-i, z=52-i+|-i|=3+i. 若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根=3-i. 9 / 16 z+=6,z=10, 所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0. 15.d 解析 依题意得1-1i=zi+z=4+2i,z=4+2i1+i=(4+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=6-2i2=3-i,则复数z在复平面内对应

15、的点的坐标为(3,-1),位于第四象限.故选 d. 16.解:设x=a+bi(a,br),则原方程可化为(a+bi)2-52+ 2+6=a2-b2-52+ 2+6+2abi=0, 则2-2-52+ 2+ 6 = 0,2 = 0,解得 = 2, = 0或 = 3, = 0或 = 0, = 1. 综上,原方程的解为x=2,x=3,x=i. 滚动习题(四) 1.a 解析 由题意可得=1-i,所以其虚部为-1,故选 a. 2.c 解析 z=1-2i1+i=(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=-12-3i2.故选 c. 3.d 解析 |ab|=| |=|z1-z2|=|(5-i)-(1+2i)|

16、=|(5-1)+(-1-2)i|=(5-1)2+ (-1-2)2=5. 4.a 解析 由x-3i=(8x-y)i,得 = 0,8- = -3,则x=0 且y=3.故选 a. 5.a 解析 复数z1=3-4i,且在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,z2=-3-4i,则z1z2=(3-4i)(-3-4i)=-25.故选 a. 6.d 解析 当23m1 时,复数z的实部 3m-2(0,1),虚部m-1-13,0 ,则复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点(3m-2,m-1)位于第四象限.故选 d. 7.b 解析 z=(1-i)3(1+i)2+i=-2i(1-i)2i+i=-

17、1+i+i=-1+2i,则|z|=(-1)2+ 22=5,故选 b. 8.d 解析 z=1-2i+bi=(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=5+25+bi.由题意可得5=-25+b,即 3a+5b=0. 9.-2 解析 (1+bi)(2-i)=2+b+(2b-1)i,由(1+bi)(2-i)是纯虚数,得 + 2 = 0,2-1 0,解得b=-2. 10 / 16 10.-1-5i 解析 因为 , 对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以 =(-1,2), =(-2,-3),又 = - =(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以 对应的复数为-1-5i. 11. -,23

18、解析 由题知z=(3m-2)+(m-1)i,其在复平面内对应的点为(3m-2,m-1),又z在复平面内对应的点在第三象限,3m-20 且m-10,m23. 12.3 解析 如图所示,|z+2-2i|=1 表示图中的圆,|z-2-2i|表示圆上的点到点 (2,2)的距离.由图可知|z-2-2i|的最小值为 3. 13.解:(1)z=-i1+i=(-i)(1-i)2=-12-+12i. z为纯虚数,-12=0,且-+120,解得a=1. (2)=-12+12i,对应的点位于第二象限,-12 0,-1a1, a的取值范围为(-1,1). 14.解:(1)复数z=1+2i(i 为虚数单位),zz0=2

19、z+z0,z0(z-1)=2z, z0=2-1=2(1+2i)2i=2-i, 复数z0的共轭复数0=2+i. (2)复数z=1+2i 是关于 x 的方程x2-mx+5=0 一个虚根, (1+2i)2-(1+2i)m+5=0,整理得 2-m+(4-2m)i=0, 则2- = 0,4-2 = 0,解得m=2. 11 / 16 15.解:(1)设z=a+bi(a,br), 由已知可得2+ 2= 2,2 = 2,即2+ 2= 2, = 1, 解得 = 1, = 1 或 = -1, = -1,z=1+i 或z=-1-i. (2)当z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i, 则a(1,1),b(0,2

20、),c(1,-1), 故abc的面积s=1221=1. 当z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 则a(-1,-1),b(0,2),c(-1,-3), 故abc的面积s=1221=1. 综上,abc的面积为 1. 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 1.d 解析 -i=cos32+isin32,故选 d. 2.a 解析 因为 1-3i=212-32i=2 cos53+isin53 ,所以 1-3i 的辐角的主值为53. 3.c 解析 -10=10(cos +isin ),故选 c. 4.b 解析 -12cos3+isin3=12cos43+isin43,故选

21、b. 5.a 解析 -2 sin54+icos54=(-2)-22-22i=2+2i,故选 a. 12 / 16 6.c 解析 2-cos5+isin5=2 cos45+isin45,则其辐角的主值为45,故选 c. 7.d 解析 因为 cos +isin =sin +icos ,所以 cos =sin ,即 tan =1,所以=4+k(kz).故选 d. 8.b 解析 因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=32,所以2-1 = 0, 0,sin 0,复数z=cos +isin 对应的点在第四象限. 6.d 解析 由复数的几何意义可知z=cos +isin 在复平面内对应的点

22、在单位圆上,而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数 2+2i 对应的点z的距离,如图,由图可知,|z-2-2i|的最小值应为点a到z的距离,因为|oz|=22+ 22=22,圆的半径为 1,故|z-2-2i|的最小值为 22-1,故选 d. 7.c 解析 z1z2=(cos 2-isin 2)(cos -isin )=cos(-2)+isin(-2)cos(-)+isin(-)=cos(-2-)+isin(-2-)=cos 3-isin 3,故选 c. 15 / 16 8.d 解析 (-1+3i)10=2 cos23+sin23i10=210cos203+isin203=210-12+32

23、i=-512+5123i. 9.-4 解析 z2=4(cos +isin )=-4. 10.712 解析 因为z1z2=2 cos3+isin312cos4+isin4=cos3+4+isin3+4=cos712+isin712,所以z1z2的辐角的主值为712. 11.22+22i 解析 8i2(cos 45+isin 45)=8(cos 90+isin 90)2(cos 45+isin 45)=4cos(90-45)+isin(90-45)=4(cos 45+isin 45)=22+22i. 12.3-i 解析 z1=-2+23i=4-12+32i=4(cos 120+isin 120),根据题设条件得z2=4(