高中数学必修二第十章 微专题4

1、1 / 4 微专题微专题 4 古典概型的应用古典概型的应用 古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法(画树状图、列表).注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率. 一、“放回”与“不放回”问题 例 1 从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b1的 3件产品中每次任取 1件，连续取两次. (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. 解 (1)每次取一件，取后不

2、放回地连续取两次，样本空间 (a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产品，由 6 个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用 a 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则 a(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).事件 a由 4个样本点组成，所以 p(a)4623. (2)有放回地连续取出两次，样本空间 (a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2

3、)，(b1，b1)，共 9 个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用 b 表示“恰有一件次品”这一事件，则 b(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).事件 b由 4个样本点组成，因而 p(b)49. 反思感悟 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取. 二、概率模型的多角度构建 例 2 口袋里装有 2个白球和 2个黑球，这

4、 4个球除颜色外完全相同，4 个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 解 方法一 需要找出 4 个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可 2 / 4 能结果数. 解题过程如下：用 a 表示事件“第二个人摸到白球”，把 2 个白球编上序号 1,2；2 个黑球也编上序号 1,2.于是，4 个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示： 由上图可知，试验的所有可能结果数是 24，由于口袋内的 4 个球除颜色外完全相同，所以，这 24 种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有 12 种， 故第二个人摸到白球的概率

5、p(a)122412. 方法二 把 2 个白球编上序号 1,2，两个黑球也编上序号 1,2,4 个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示： 由图可知，试验的所有结果数是 12，由于口袋内的 4 个球除颜色外完全相同，所以这 12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有 6种， 故第二个人摸到白球的概率 p(a)61212. 反思感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助3 / 4 树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结

6、果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答. 三、“正难则反”思想，利用对立事件求概率 例 3 有 3个完全相同的小球 a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率. 解 a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为： 甲盒 a，b，c a，b a a，c b，c b c 空 乙盒 空 c b，c b a c，a a，b a，b，c 两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子 a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子 a，b，c，共 2个，故 p12834. 反思感悟 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式 p(

7、a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式 p(a)1p( a )求得. 四、古典概型的综合应用 例 4 甲、乙二人用 4张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； (2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由. 解 (1)方片 4 用 4表示，试验的样本空间为 (2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，则样本点的总数为 12. 4 / 4 (2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共 5 种，甲胜的概率为 p1512，乙胜的概率为 p2712，因为51271