高中数学必修一第三章 3.2.1 第2课时

1、1 / 12 第第 2 课时课时 函数的最大函数的最大(小小)值值 学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法 知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 对于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函数 yf(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 对于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函数 yf(x)图象上最低点的纵坐标 思考 函数 f(x)x211总成立，f(x)的最小值是1 吗？ 答案 f(x)的最小值不是1，因为 f(x)取不到1. 知识点二 求函数最值的

2、常用方法 1图象法：作出 yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值 2运用已学函数的值域 3运用函数的单调性： (1)若 yf(x)在区间a，b上是增函数，则 ymaxf(b)，yminf(a) (2)若 yf(x)在区间a，b上是减函数，则 ymaxf(a)，yminf(b) 4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个 预习小测 自我检验 1.函数 f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值为_，最大值为_ 答案 1 2 2函数 yx1在区间12，2 上的最大值为_ 2 / 12 答案 12 3函数 y2x22，xr 的

3、最小值是_ 答案 2 4函数 y2x在2,4上的最大值与最小值之和等于_ 答案 32 一、图象法求函数的最值 例 1 已知函数 f(x) x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函数 f(x)的图象(如图) 由图象可知，当 x 1 时，f(x)取最大值为 f(1)f(1)1. 当 x0 时，f(x)取最小值为 f(0)0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练 1 已知函数 y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域 解 y|x1|2 3x，x1，x1，x1， 图象如图所示， 3 / 12 由图象知

4、，函数 y|x1|2 的最大值为 2，没有最小值， 所以其值域为(，2 二、利用函数的单调性求最值 例 2 已知函数 f(x)x1x2，x3,5 (1)判断函数 f(x)的单调性并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 解 (1)f(x)是增函数，证明如下： 任取 x1，x23,5且 x1x2， f(x1)f(x2)x11x12x21x223(x1x2)(x12)(x22)， 因为 3x1x25， 所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在3,5上为增函数 (2)由(1)知，f(x)在3,5上为增函数， 则 f(x)maxf(5)47，

5、 f(x)minf(3)25. 反思感悟 (1)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)的最大值为 f(b)，最小值为f(a) (2)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b) (3)若函数 yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值 (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势 跟踪训练 2 已知函数 f(x)61x3(x2,4)，求函数 f(x)的最大值和最小值 解 设 x1，

6、x2是2,4上任意两个实数，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2)61x1361x23 61x161x26(1x2)6(1x1)(1x1)(1x2) 6(x1x2)(1x1)(1x2)， 因为 2x1x24， 4 / 12 所以 x1x20,1x10,1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得 g(x)2.8x， 所以 f(x)r(x)g(x) 0.4x23.2x2.8

7、，xn，0 x5，8.2x，xn，x5. (2)当 x5时，因为函数 f(x)单调递减， 所以 f(x)f(5)3.2(万元)， 当 0 x5 时，函数 f(x)0.4(x4)23.6， 当 x4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4百台产品时，可使盈利最大为 3.6 万元 反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围 (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决 跟踪训练

8、3 将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解 设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x50)元，销量减少 10(x50)个，销量为 50010(x50)(1 00010 x)个，则 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 0009 000. 故当 x70 时，ymax9 000. 即售价为 70元时，利润最大值为 9 000元 5 / 12 二次函数最值分类讨论问题 典例 已知函数 f(x)x22x3，若 xt，t2，求函数 f(x)的最

9、小值 解 对称轴 x1， (1)当 1t2即 t1时，f(x)在t，t2上为减函数， f(x)minf(t2) (t2)22(t2)3t22t3. (2)当 t1t2，即1t1时， f(x)minf(1)4. (3)当 11时，f(x)在t，t2上为增函数， f(x)minf(t)t22t3. 设函数 f(x)的最小值为 g(t)，则有 g(t) t22t3，t1，4，11. 素养提升 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论 1函数 f(x)1x在1，)上( ) a有最大值无最小值 b有最小值无最大值 c有最大

10、值也有最小值 d无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义 题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 a 2函数 yx22x2 在区间2,3上的最大值、最小值分别是( ) a10,5 b10,1 c5,1 d以上都不对 答案 b 解析 因为 yx22x2(x1)21，且 x2,3， 所以当 x1 时，ymin1， 6 / 12 当 x2时，ymax(21)2110.故选 b. 3已知函数 f(x) x7，1x1，2x6，1x2，则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) a10,6 b10,8 c8,6 d以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值 答案 a 4已知

11、函数 f(x)2x3，当 x1 时，恒有 f(x)m成立，则实数 m的取值范围是( ) ar b(，1 c1，) d 答案 b 解析 因为 f(x)2x3在 x1，)上为增函数， 所以 f(x)min1，故满足 f(x)1. 又因为在 x1时，f(x)m恒成立， 所以 m1，故 m(，1 5已知函数 f(x) x，1x0，x2，0 x1，x，10时，由题意得 2a1(a1)2，即 a2；当 a0时，a1(2a1)2，所以 a2. 综上 a 2. 4某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为 l1x221x和 l22x.若该公司在两地共销售 15 辆，则

12、能获得的最大利润为( ) a90万元 b60万元 c120万元 d120.25万元 答案 c 解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15x)辆，xn， 8 / 12 公司获利为 lx221x2(15x) x219x30 x1922301924， 当 x9或 10时，l 最大为 120 万元 5已知函数 f(x)x24xa，x0,1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为( ) a1 b0 c1 d2 答案 c 解析 因为 f(x)(x24x4)a4 (x2)24a， 所以函数 f(x)图象的对称轴为 x2. 所以 f(x)在0,1上单调递增 又因为 f(x)min2，所以 f(

13、0)2， 即 a2. 所以 f(x)maxf(1)1421. 6函数 yf(x)的定义域为4,6，若函数 f(x)在区间4，2上单调递减，在区间(2,6上单调递增，且 f(4)f(6)，则函数 f(x)的最小值是_，最大值是_ 答案 f(2) f(6) 解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知 f(x)minf(2)，f(x)maxf(6) 7函数 y3x2(x2)在区间0,5上的最大值与最小值的和为_ 答案 2714 解析 因为函数 y3x2在区间0,5上单调递减， 所以当 x0 时，ymax32， 当 x5 时，ymin37. 所以 ymaxymin32372714. 8当 0 x2时

14、，ax22x恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，0) 解析 令 f(x)x22x， 则 f(x)x22x(x1)21. 又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0. a0的图象如图所示 (1)f(x)在，12和(0，)上是增函数， 在12，0 上是减函数， 因此 f(x)的单调递增区间为，12，(0，)； 单调递减区间为12，0 . (2)因为 f 1214，f 1234， 所以 f(x)在区间1，12上的最大值为34. 10某商场经营一批进价是每件 30 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价 x(不低于进价，单位：元)与日销售量 y(单位：件)之间有如下关系： x 45 5

15、0 y 27 12 (1)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 yf(x)(注明函数定义域)； (2)若日销售利润为 p 元，根据(1)中的关系式写出 p 关于 x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解 (1)因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)， 10 / 12 由表格得方程组 45ab27，50ab12，解得 a3，b162， 所以 yf(x)3x162. 又 y0，所以 30 x54， 故所求函数关系式为 y3x162，x30,54 (2)由题意得， p(x30)y(x30)(1623x) 3x2252x4 860 3(x42)243

16、2，x30,54 当 x42 时，最大的日销售利润 p432，即当销售单价为 42 元时，获得最大的日销售利润 11若函数 f(x)kx在区间2,4上的最小值为 5，则 k 的值为( ) a10 b10或 20 c20 d无法确定 答案 c 解析 当 k0时，不满足 当 k0时，yf(x)kx在2,4上是减函数， f(x)minf(4)k45， k20满足条件， k0 时，yf(x)kx在2,4上是增函数， f(x)minf(2)k25， k10， 又k0，k10 舍去， 综上有 k20. 12已知函数 f(x)4x2kx8 在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数 k 的取值范围

17、是( ) a160，) b(，40 c(，40160，) d(，2080，) 11 / 12 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 c 解析 由于二次函数 f(x)4x2kx8 在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)4x2kx8 在区间(5,20)上是单调函数二次函数 f(x)4x2kx8 图象的对称轴方程为 xk8，因此k85 或k820，所以 k40 或 k160. 13已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是_ 答案 m|1m2 解析 yf(x)(x1)22， f(x)min2，f(x)max3，

18、 且 f(1)2，f(0)f(2)3， 利用图象(图略)得 1m2. 14函数 yx 2x1的最小值为_ 答案 12 解析 令 t 2x1，t0，xt212， yt212t12(t22t1)12(t1)2， t0，当 t0时，ymin12. 15已知 f(x)x，g(x)x22x，f(x) g(x)，f(x)g(x)，f(x)，f(x)g(x)，则 f(x)的最值情况是( ) a最大值为 3，最小值为1 b最小值为1，无最大值 c最大值为 3，无最小值 d既无最大值，又无最小值 答案 d 解析 由 f(x)g(x)得 0 x3； 由 f(x)g(x)，得 x3， 所以 f(x) x22x，0 x3，x，x3. 12 / 12 作出函数 f(x)的图象(图略)，可得 f(x)无最大值，无最小值 16已知函数 f(x)对任意 x，yr，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)23. (1)求证：f(x)是 r 上的单调减函数； (2