曲线的凹向与拐点PPT学习教案

1、会计学1曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点2定义定义 1 1 若在某区间若在某区间()a,b内曲线段总位于其上任意内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在一点处切线的上方，则称曲线段在 ()a,b内是向上凹的内是向上凹的（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处（简称上凹， 也称凹的） ； 若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段切线的下方，则称该曲线段),(ba内是向下凹的（简称下内是向下凹的（简称下凹，也称凸的） 凹，也称凸的） 从图可以看出曲线段从图可以看出曲线段AB是下凹是下凹的；曲线段的；曲线段 BC是上凹的是上凹的 定理定理 1 1 设函数设函数

2、y= =)(xf在开在开区间区间()a,b内具有二阶导数内具有二阶导数 ( (1)1)若在若在()a,b内内0)( xf, ,则曲则曲线线)(xfy 在在),(ba内是向上凹的；内是向上凹的； yOx ABCabc 第1页/共22页3(2)(2)若在若在),(ba内内0)( xf, ,则曲线则曲线)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. . 若把定理若把定理1 1中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立 例例 1 1 判定曲线判定曲线xyln的凹向的凹向 解解 函数函数xyln的定义域为的定义域为), 0( , , xy1, , 21xy , ,当当

3、0 x时，时，0 y， 故曲线， 故曲线xyln在在), 0( 内内是向下凹的是向下凹的 第2页/共22页4定义定义 2 2 若连续曲线若连续曲线 y= =)(xf上的点上的点 P是曲线向是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称上凹与向下凹的分界点，则称 P是曲线是曲线)(xfy 的拐的拐点点 由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧近旁近旁)(xf 必然异号因此，曲线拐点的横坐标必然异号因此，曲线拐点的横坐标 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的点或的点或)(xf 不存在的点从而可不存在的点从而可得求得求),(ba内连续函数内连续函数 y=

4、 =)(xf拐点的步骤：拐点的步骤： (1) (1) 先求出先求出)(xf ，找出在，找出在),(ba内使内使0)( xf的点的点和和)(xf 不存在的点；不存在的点； (2) (2) 用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间, ,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号； 第3页/共22页5(3) (3) 若若)(xf 在某点在某点 ix两侧近旁异号， 则两侧近旁异号， 则(,()iixf x是曲线是曲线y= =)(xf的拐点，否则不是的拐点，否则不是 例例 2 2 曲线曲线3xy 的定义域为的定义域为),(，画其草图，画

5、其草图 解解 因为因为3xy 的定义域为的定义域为),(，且，且23xy , , xy6 , , 令令0 y，得，得0 x 用用0 x将将),(分成两个分成两个 小区间：小区间：)0 ,( 和和), 0( . . 当当)0 ,(x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 下凹下凹 当当), 0( x时，时，0 y, , 曲线曲线3xy 上凹上凹 所以，点所以，点)0 , 0(为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 yxO11-1-1第4页/共22页64xy 的凹凸性的凹凸性. .解解: :,34xy 212xy 时，时，当当0 x;0 y,时时0 x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上

6、是向上凹的. .说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, , 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下: :若曲线)(xfy ,连续连续在点在点0 x00 )(xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyo第5页/共22页73xy 的拐点的拐点. 解解: :,3231xy3592 xyxy y0),(0),(0不存在0因此点因此点

7、 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 . .oxy凹凹凸第6页/共22页8xxy24362 )(3632xx14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求求:拐点可能点坐标拐点可能点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向下凹下凹, 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132第7页/共22页9定义定义 3 3 若曲线若曲线C上动

8、点上动点 P沿着曲线无限地远离沿着曲线无限地远离原点时，点原点时，点 P与某一固定直线与某一固定直线 L的距离趋于零，的距离趋于零， 则称直线则称直线 L为曲线为曲线 C的渐近线的渐近线 1 1斜渐近线斜渐近线 定理定理 2 2 若若)(xf满足：满足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (2) (2) bkxxfx)(lim, , 则曲线则曲线y= =)(xf有斜渐近线有斜渐近线bkxy yOxCMNPLaykx b( )yf x第8页/共22页102 2铅直渐近线铅直渐近线 定义定义 4 4 若 当若 当Cx 时（有时仅当时（有时仅当Cx或或Cx） ，） ，)(xf则称直线则称直

9、线Cx 为曲线为曲线)(xfy 的铅的铅直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中直渐近线（也叫垂直渐近线） （其中 C为常数）为常数） 所以当所以当3x和和1x时时 ，有，有y，所以曲线，所以曲线3223xxxy有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 第9页/共22页113223xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xy第10页/共22页12例例 当当

10、x时，有时，有2e0 x, ,所以所以0y为曲线为曲线2exy的水平渐近线的水平渐近线. . y O x 3 3水平渐近线水平渐近线 定义定义 5 5 若当若当x时，时，Cxf)(则称曲线则称曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线Cy . . 第11页/共22页13步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图像最后，根据上面几方

11、面的讨论画出函数的图像 第12页/共22页14例例 7 7 描绘函数描绘函数xyx1e的图像的图像 解解 函数函数xxfy1e)(x的定义域为的定义域为1x的全的全体实数，且当体实数，且当1x时，有时，有0)(xf，即，即1x时，图时，图像在像在x轴下方，当轴下方，当1x时，有时，有0)(xf, ,即即1x时，时，图像在图像在x轴上方轴上方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x为曲线为曲线)(xfy 的的铅直渐近线铅直渐近线 又因为又因为01elimxxx，所以，所以，0y为该曲线的水为该曲线的水平渐近线平渐近线 第13页/共22页15因为因为 2)1 (exxyx, , 32)1 ()

12、 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x时，时，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x将定义区间分开， 并进行讨论如将定义区间分开， 并进行讨论如下：下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 极小值 注注：符号：符号 表示曲线单减且下凹；表示曲线单减且下凹； 表示单增且上表示单增且上凹，其余类推凹，其余类推 第14页/共22页16极小值极小值0e(0)11 0f. .根据如上讨论，画出图像根据如上讨论，画出图像 y O x 1 2 1 2 -1 第15页/共22页1722331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2)

13、,22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点)32(极小)4)xy1332201231第16页/共22页1821y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)第17页/共22页19(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21第18页/共22页201 1 若 若)(,(00 xfx为连续曲线弧为连续曲线弧)(xfy 的拐点， 问：的拐点， 问： (1) (1) )(0 xf有无可能为有无可能为)(xf的极值，为什么？的极值，为什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？为什么？画图说明是否一定存在？为什么？画图说明 2. 2. 根据下列条件，画曲线：根据下列条件，画曲线： (1) (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；处为正； (2) (2) 画出一条曲线，使得它的二阶