函数及方程零点问题

1、. . - 优选函数与方程1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0 成立的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0 有实数根 ? 函数yf(x)的图象与x轴有交点 ? 函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) f(b)0，那么函数yf(x)在区间 (a，b)有零点， 即存在c(a，b)，使得f(c) 0，这个c也就是方程f(x)0 的根探究 1.函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？是否任意函数

2、都有零点？提示： 函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点， 而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0 有根的函数yf(x)才有零点2假设函数yf(x)在区间 (a，b)有零点，那么yf(x)在区间 a，b上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)0)的图象与零点的关系0 00 二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)， (x2,0)(x1,0)无交点. . - 优选零点个数两个一个零个3二分法的定义对于在区间 a，b上连续不断且f(a) f(b)0 的函数yf(x)，通过不断地把

3、函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法自测牛刀小试 1(教材习题改编)以下函数图象与x轴均有交点， 其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 解析： 选 c 由图象可知， 选项 c 所对应零点左右两侧的函数值的符号是一样的，不能用二分法求解2(教材习题改编)假设函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)，那么以下命题中正确的选项是( ) a函数f(x)在区间 (0,1)有零点b函数f(x)在区间 (0,1)或(1,2)有零点c函数f(x)在区间 2,16)上无零点d函数f(x)在区间 (

4、1,16)无零点解析：选 c 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)，故一定不在2,16)3根据表格中的数据，可以判定方程exx20 的一个根所在的区间为( ) x 10123 ex0.3712.727.3920.09 x 212345 a.(1,0) b(0,1) c(1,2) d (2,3) 解析：选 c 令f(x) exx2，那么f(1)0.37 10，f(0)120，f(1)2.7230，. . - 优选f(3)20.0950，所以方程 exx20 的一个根所在的区间为(1,2)4假设函数f(x)x2axb的两个零点是2 和 3，那么函数g(x)bx2ax1 的零点是_

5、解析：函数f(x)x2axb的两个零点为2和 3，23a，2 3b，即a5，b 6. g(x)bx2ax1 6x25x1，令g(x)0，得x12或13. 答案：12，135函数f(x) 3ax12a在区间 (1,1)上存在零点，那么实数a的取值围是 _解析：f(x)3ax 12a在区间 (1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，f( 1) f(1)0，即 (15a)(1a)15或a15或a0，函数f(x)在 r 上单调递增 对于a 项，f(1)e 1( 1) 4 5e10，f(0) 30，a 不正确，同理可验证 b、d 不正确 对于 c 项，f(1)e14 e30，f(1)f(2)0. (2)

6、由条件可知f(1)f(2)0，即 (2 2a)(41a)0，即a(a3)0，解得 0a0，f12e12 4 123e12 10，因此函数f(x)ex4x3 的零点不在区间 34，12上； 对于 b， 注意到f120，f14e14 4 143 e14241420，. . - 优选因此在区间12，14上函数f(x)ex4x3 一定存在零点；对于c，注意到f140，f(0) 20，因此函数f(x)ex 4x3 的零点不在区间14，0 上；对于d，注意到f(0) 20，f14e14 4143e14 40，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，g(x0)x0 2.

7、答案： 2 判断函数零点个数例 2 (1)(2012高考)函数f(x)x1212x的零点个数为( ) a 0 b1 c2 d 3 (2)函数f(x)ln xx22xx0，4x1x0的零点个数为( ) a 0 b1 c2 d3 自主解答 (1)因为yx12在x0，) 上单调递增，y12x在xr 上单调递减，所以f(x)x1212x在x0，) 上单调递增，又f(0) 10，所以f(x)x12. . - 优选12x在定义域有唯一零点(2)当x0时，函数有零点x14；当x0 时，作出函数yln x，yx22x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图 )有 2 个交点， 即当x0 时函数f(x)有 2

8、个零点 故函数f(x)的零点的个数为3. 答案 (1)b (2)d 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，0，x0，1，x0，即x1 时，f(x)1ln x，令f(x)0 得xe1；当x10，即x1 时，f(x)0ln 10；当x10，即x1 时，f(x) 1 ln x，令f(x)0 得x1e1.因此，函数f(x)的零点个数为3. 根据函数零点的存在情况求参数. . - 优选例 3 定义域为 r 的偶函数f(x)满足对 ?xr，有f(x2)f

9、(x)f(1)，且当x2,3时，f(x) 2x212x18，假设函数yf(x)loga(x1)在(0，) 上至少有三个零点，那么a的取值围是 ( ) a. 0，33b. 0，22c. 0，55d. 0，66自主解答 在方程f(x2)f(x)f(1)中，令x 1 得f(1)f(1)f(1)，再根据函数f(x)是偶函数可得f(1)0，由此得f(x2)f(x)f(x)，由此可得函数f(x)是周期为 2 的周期函数，且其图象关于直线x1 对称，又当x0,1时，x 22,3，所以当x0,1时，f(x)f(x2) 2(x 2)212(x2)18 2x24x2 2(x1)2，根据对称性可知函数f(x)在1,

10、2上的解析式也是f(x) 2(x1)2，故函数f(x)在0,2上的解析式是f(x) 2(x1)2，根据其周期性画出函数f(x)在0，) 上的局部图象(如图 )，结合函数图象，只要实数a满足0a1 且 2loga(21)0 即可满足题意，故0a1 且 log3a12log333，即 0a0)(1)假设yg(x)m有零点，求m的取值围；. . - 优选(2)确定m的取值围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根解： (1)法一：g(x)xe2x2e22e，等号成立的条件是xe，g(x)的值域是 2e，) 因而只需m 2e，那么yg(x)m就有零点法二：作出g(x)xe2x(x0)的大致图象如图：可

11、知假设使yg(x)m有零点，那么只需m 2e.(2)假设g(x)f(x)0 有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)xe2x(x0)的大致图象f(x)x2 2exm1 (xe)2m1e2. 其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当m1e22e，即m e22e1 时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x) 0有两个相异实根m的取值围是 (e22e1，) 1 个口诀用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间， 找中点， 中值计算两边看同号去， 异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？准确度上来判断3 种方法判断函数零点所在

12、区间的方法判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进展判断；. . - 优选(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断4 个结论有关函数零点的结论(1)假设连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，那么f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一

13、个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决典例 (2012 高考 )对于实数a和b，定义运算“* ：a*ba2ab，ab，b2ab，ab.设f(x)(2x1)*(x 1)，且关于x的方程f(x)m(mr)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，那么x1x2x3的取值围是 _解析由定义可知，f(x)(2x1)*(x1)2x122x1x1，x 0，x122x1x1，x0，即f(x)2x2x，x

14、0，x2x，x0.作出函数f(x)的图象，如下图，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，那么 0m0 时，x2xm，即x2xm0，x2x31，. . - 优选0 x2x3x2x322，即 0 x2x314；当x0 时，由2x2x14，x0，得x134，134x10. 0 x13 14. 0 x1x2x33116. 1316x1x2x30，0，x0，1x，x0，那么方程f(x)g(x) 0在区间 5,5上的解的个数为( ) a 5 b7 c8 d10 . . - 优选解析：选 c 依题意得， 函数f(x)是以 2 为周期的函

15、数， 在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8 个，即方程f(x)g(x)0 在区间 5,5的解的个数是8. 2函数f(x)2x，x 2，x13，x1，那么函数f(x)的零点为 ( ) a.12，0 b 2,0 c.12d0 解析：选d 当x1 时，由f(x)2x10，解得x0；当x1 时，由f(x)1log2x0，解得x12，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0. 2 (2012 高考 )函数f(x)xcos x2在区间 0,4上的零点个数为( ) a 4 b5 . . - 优选c6 d7 解析：选 c x

16、0,4，x20,16x20，2，32，52，72，92，都是f(x)的零点，此时x有 6 个值f(x)的零点个数为6. 3函数f(x) exx2 的零点所在的一个区间是( ) a(2， 1) b(1,0) c(0,1) d (1,2) 解析：选c 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e 130，f(0) 10，f(2)e20，所以f(0) f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是 (0,1)4 (2013 模拟 )函数f(x)3sin 2xlog12x的零点的个数是( ) a 2 b3 c4 d5 解析：选 d 函数y3sin 2x的周期t224，由 log

17、12x3，可得x18，由 log12x 3，可得x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y 3sin 2x和ylog12x的图象 (如下图 )，易知f(x)有 5 个零点5 函数f(x)15xlog3x， 假设x0是函数yf(x)的零点，且 0 x1x0， 那么f(x1)的值 ( ) a恒为正值b等于 0 c恒为负值d不大于0 解析：选 a 注意到函数f(x)15xlog3x在(0，) 上是减函数，因此当 0 x1f(x0)，又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0) 0，所以f(x1)0，即此时f(x1)的值恒为正值，选 a. 6 (2013 模拟 )假设函数yf(x)(xr)满足f(x2)f

18、(x)，且x1,1时，f(x)|x| ，. . - 优选函数g(x)sin x，x0，1x，x0 时，f(x)2 012xlog2 012x，那么在r 上，函数f(x)零点的个数为 _解析：函数f(x)为 r 上的奇函数，因此f(0) 0，当x0 时，f(x) 2 012x log2 012x在区间0，12 012存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，) 有且仅有一个零点根据对称性可知函数在 (， 0)有且仅有一解，从而函数在r 上的零点的个数为3. 答案： 3 8函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)xx1 的零点分别为x1，x2，x3，那么x1，x2，x3的大小关系是_解

19、析：令x2x0，得 2xx，令xln x0，得 ln xx. 在同一坐标系画出y2x，yln x，yx，如图：x10 x21.所以x1x2x3. 答案：x1x20，所以假设存在实数a满足条件，那么只需f( 1) f(3) 0 即可，即f( 1) f(3)(1 3a2a 1) (99a6a1) 4(1a)(5a 1) 0.所以a15或a 1.检验：当f(1)0 时，a1. 所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x 0. 得x0 或x 1. 方程在 1,3上有两根，不合题意，故a 1.当f(3)0 时，a15，此时f(x)x2135x65，令f(x)0，即x2135x650，解得x25或x3. . . - 优选方程在 1,3上有两根，不合题意，故a15. 综上所述，a的取值围为，15(1，) 11假设函数f(x)|4xx2| a有 4 个零点，数a的取值围解：假设f(x)|4xx2| a有 4 个零点，即|4xx2| a0 有四个根，即|4xx2| a有四个根令g(x)|4xx2| ，h(x)a. 那么作出g(x)的图象，由图象可知要使|4xx2| a有四个根，那么需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，0a4，即 4a0，a的取值围为 ( 4,0)12关于x的二次方程x22mx2m10. (1)