二次根式复习专题讲义(补课用)

1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1。二次根式： 形如a(a0）的式子叫做二次根式, “”称为二次根号。.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。. a（a0）是一个非负数。. （a)2a（a0）;2a=a(a0)2. 二次根式的乘：。一般的，有abab （a0,b0）. 反过来，有abab( a 0 ，b 0 ）3.二次根式的除：. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0)，. 反过来，ab=ab（a0，b0） 4。 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析 : 例 1。 下列式子 ,哪些是二次根

2、式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x(x0） 、0、42、-2、1xy、xy（x0,y?0） 分析 :二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ;第二，被开方数是正数或0。解： 二次根式有：2、x(x0） 、0、-2、xy（x0，y0）;不是二次根式的有：33、1x、42、1xy。例 2.当 x 是多少时 ,23x+11x在实数范围内有意义？分析： 要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的 0 和11x中的 x+10解： 依题意，得23010 xx由得： x-32由得： x-1 当 x-32且 x 1 时，23x+11x在实数范围内有意义. 变式题 1:当 x 是多

3、少时，31x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，?31x才能有意义解:由 3x10,得:x13当 x13时，31x在实数范围内有意义变式题 2：.当 x 是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义 ? 解： 依题意得：2300 xx，320 xx当 x-32且 x0时，23xxx2在实数范围内没有意义。若3x+3x有意义，则2x=_。.使式子2(5)x有意义的未知数x 有（）个。例 3. .已知 y=2x+2x+5，求xy的值 （答案：25) .若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值 （答案 : 2）.已知1xy+3x=0，

4、求 xy的值 (答案 :81）例 4。 计算1 （32）22 （35）23 （56）24 （72)2 分析 :我们可以直接利用（a）2=a（a0）的结论解题解： （32）2 =32,（35)2 =32 （5)2=325=45，（56）2=56,（72）2=22( 7)724例 5. 计算1 （1x)2(x0）2 （2a）23(221aa）24(24129xx）2分析： （1） 因为 x0， 所以 x+10 ；（2)a20； (3） a2+2a+1=（a+1）20；(4)4x2-12x+9= （2x)2-22x3+32=（2x3)20所以上面的4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题解

5、： （1）因为 x0,所以 x+10 （1x）2=x+1 (2） a20，（2a）2=a2 (3)a2+2a+1=（a+1)2 又 (a+1)20,a2+2a+10 ，221aa=a2+2a+1 (4） 4x212x+9=(2x)2-22x3+32=（2x3)2 又（ 2x3）20 4x2-12x+90，（24129xx）2=4x212x+9 变式题： 计算1。 （ 323)2 2.(2 33 2)(2 33 2)例 6.在实数范围内分解下列因式：（1)x2-3 （2）x44 (3） 2x2-3 例 7. 化简（1）9(2）2( 4)(3)25（4）2( 3)分析 :因为（ 1）9=32， （

6、2）(-4)2=42,（3）25=52，(4） （3）2=32，所以都可运用2a=a（a0)?去化简. 解:（1)9=23=3 （2）2( 4)=24=4 （3)25=25=5 (4）2( 3)=23=3 例8。 填 空 : 当 a 0 时 ,2a=_; 当a 0 时 ，2a=_，?并根据这一性质回答下列问题(1）若2a=a，则 a 可以是什么数？（2）若2a=a，则 a 可以是什么数 ? (3）2aa,则 a 可以是什么数 ? 分析： 2a=a（a0）,要填第一个空格可以根据这个结论 ,第二空格就不行,应变形 ,使“ （）2”中的数是正数,因为 ,当 a0 时，2a=2()a，那么 -a 0

7、（1)根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想； （3）根据 (1） 、(2）可知2a=a，而 a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a不存在；当a0 时，2a=a，要使2aa, 即使 -aa,a 0综上， a2，化简2(2)x2(12 )x例 10先化简再求值：当a=9 时，求 a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1a）=1;乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1 ）=2a-1=1 7两种解答中，_的解答是错误的,错误的原因是_变式题 1若 1995a+2000a=a，求 a- 19952的值（提示：先

8、由a20000，判断1995-a ?的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题 2若 3x2 时，试化简 x2+2(3)x+21025xx。 ( 答案： 10 x）例 11计算（1)57(2）139（3）927（4）126分析： 直接利用abab（a0，b0)计算即可解： （1）57=35（2）139=193=3（3）927=292793=93(4）126=162=3例 12 . 化简（1）9 16（2）16 81（3)81 100(4）229x y（5）54分析： 利用ab=ab（a0，b0）直接化简即可解： (1)9 16=916=34=12 （2）16 81=1681=49=36 （3）81

9、 100=81100=910=90 （4）229x y=2322x y=232x2y=3xy （5)54=9 6=236=36例 13 。 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正: （1）( 4)(9)49（2）1242525=4122525=4122525=412=83解:（1）不正确改正：( 4)( 9)=4949=23=6 （2）不正确改正：1242525=1122525=1122525=112=16 747变式题 1： 若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，?那么此直角三角形斜边长是（） 变式题 2：化简 a1a的结果是 ( ） 变式题 3：1014=_1696变式题

10、 4：一个底面为30cm30cm 长方体玻璃容器中装满水， ?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？设:底面正方形铁桶的底面边长为x，则 x210=303020，x2=30302，x=30 302=302变式题 5：探究过程：观察下列各式及其验证过程（1)223=223验证： 223=2223=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223（2）338=338验证： 338=2338=338=3233331=222223(31)33(31)3313131=338同理可得

11、 :4444151555552424，通过上述探究你能猜测出：a21aa=_（a0） ，并验证你的结论解： a21aa=21aaa验证： a21aa=322211aaaaa=33222111aaaaaaaaa=222(1)11aaaaa=21aaa.例 14计算：（1)123（2）3128（3)11416（4)648分析： 上面 4 小题利用ab=ab(a0，b0)便可直接得出答案解： （1）123=123=4=2 （2）3128=313834282=3=23(3)11416=111164164=4=2 （4）648=648=8=22例 15化简：（1）364（2）22649ba（3）2964

12、xy（4）25169xy分析 :直接利用ab=ab（a0，b0）就可以达到化简之目的解： （1）364=33864（2）22649ba=2264839bbaa(3）2964xy=293864xxyy（4）25169xy=25513169xxyy例 16 已知9966xxxx，且 x 为偶数，求(1+x)22541xxx的值分析： 式子ab=ab,只有 a0，b0 时才能成立因此得到 9-x 0 且 x6 0， 即 6x9, 又因为 x 为偶数 ,所以 x=8解:由题意得9060 xx，即96xx60）（2）-3222332mna（232mna）2amn（a0）解： （1）原式 -4252nnm

13、m32nm=432522nnmmmn=-3222nnnnnmmmm=-23nnm（2）原式 =22223()()2mn mnaaamnmn=2232a=-6a 例 17。把它们化成最简二次根式: (1)5312; （2）2442x yx y； （3）238x y点评 : 二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母; 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 18. 如图，在 rtabc中， c=90,ac=2。 5cm,bc=6cm,求 ab的长bac解： 因为 ab2=ac2+bc2 所以 ab=222.56=2516916913()362

14、424=6.5 （cm)因此 ab的长为 6。5cm例 19. 观察下列各式 , 通过分母有理数， 把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 (21)2121(21)( 21)=21,132=1(32)3232( 32)(32)=32，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001）(2002+1）的值分析： 由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此 , 分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式 = （2-1+32+43+ +20022001）(2002+1） =（20021) （2002+1) =2002-1=

15、2001 练习：一、选择题 1如果xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ) axy（y0） bxy（y0） cxyy(y 0) d以上都不对 2把（ a1)11a中根号外的(a 1) 移入根号内得（） a1a b1a c1a d1a3在下列各式中,化简正确的是（）a53=315b12=122c4a b=a2bd32xx=x1x4化简3 227的结果是 ( ) a23b-23c-63d2二、填空题 1化简422xx y=_ （x0) 2a21aa化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题 1已知 a 为实数 , 化简：3aa1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出

16、正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a 1aa=（a1）a 2若 x、y 为实数 , 且 y=224412xxx, 求xyxy的值答案：一、 1c 2 d 3 。c 4.c二、 1x22xy 2 1a三、 1不正确，正确解答：因为3010aa, 所以 a0,原 式 2a aa 2aa=a2aa2aa=-aa+a=(1 a) a2 224040 xxx4=0，x=2， 但 x+20， x=2，yyxyxy。例 20. 计算 (1)8+18（2)16x+64x分析： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解： （1）8+1

17、8=22+32=（2+3）2=52（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， ?再将被开方数相同的二次根式进行合并例 21计算（1）348-913+312（2） （48+20）+（125）解 ：（ 1 ） 348-913+312=123-33+63=（12-3+6)3=153（2） （48+20）+（12-5）=48+20+125 =43+25+23-5=63+5例 22已知 4x2+y2-4x 6y+10=0，求（293xx+y23xy)（ x21x5xyx）的值分析： 本题首先将已知等式进行变形, 把它配成完全平方式，得（

18、 2x1）2+（y3)2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值解： 4x2+y24x6y+10=0 4x24x+1+y26y+9=0 （ 2x-1 ）2+（y3）2=0 x=12,y=3 原式 =293xx+y23xy-x21x+5xyx =2xx+xyxx+5xy =xx+6xy当 x=12，y=3 时，原式 =1212+632=24+36练习：一、选择题 1以下二次根式： 12；22；23; 27中，与3是同类二次根式的是（） a和 b 和 c 和 d 和 2 下 列 各 式 ： 33+3=63; 177=1 ；

19、 2+6=8=22；243=22，其中错误的有（） a3 个 b2 个 c1 个 d0 个二、填空题 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、218中，与3a是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5a-3b7a+9b的最后结果是_三、综合提高题 1已知52。236，求 (80415）（135+4455）的值（结果精确到0.01 ） 2先化简，再求值（6xyx+33xyy） (4xxy+36xy） ，其中 x=32,y=27 答案：一、 1c 2 a 二、 11753a323aa 26b2a三、 1原式 =45-355-4551255=155152。2360。45 2原式 =6

20、xy+3xy-（4xy+6xy）= xy(3-4x/y)=12.5 2例 23如图所示的rtabc中， b=90，点 p 从点b 开始沿 ba边以 1 厘米 /? 秒的速度向点a移动；同时，点q也从点 b开始沿 bc边以 2 厘米 / 秒的速度向点c移动问：几秒后 pbq的面积为 35 平方厘米？ pq的距离是多少厘米?（结果用最简二次根式表示）bacqp分析：设 x 秒后 pbq的面积为 35 平方厘米， 那么 pb=x，bq=2x ，?根据三角形面积公式就可以求出x 的值解: 设 x 后 pbq的面积为 35 平方厘米则有 pb=x，bq=2x 依题意，得：12x2x=35 x2=35 x

21、=35所以35秒后 pbq的面积为 35 平方厘米 pq=2222245535pbbqxxx=57答：35秒后 pbq的面积为 35 平方厘米， pq的距离为57厘米例 23 要焊接如图所示的钢架， 大约需要多少米钢材 （精确到 0。1m ）？分析： 此框架是由ab 、bc 、bd 、ac 组成，所以要求钢架的钢材， ?只需知道这四段的长度bac2m1m4md解： 由勾股定理，得 ab=22224220adbd=25 bc=222221bdcd=5所需钢材长度为 ab+bc+ac+bd =25+5+5+2 =35+7 32。24+713。7（m)答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m

22、 的钢材例 24若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b 的值 （?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析 : 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 , 被开方数相同； ?事实上， 根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成 b26ab，才由同类二次根式的定义得3a?b=?2，2a-b+6=4a+3b 解： 首先把根式23226abbb化为最简二次根式：23226abbb=2(216)ba=b| 26ab由题意得432632ababab24632ababa=1，b=1 练习：一、选择题 1已知直角三角形的两条直角

23、边的长分别为5 和 5，那么斜边的长应为（ )(?结果用最简二次根式） a52 b50 c25 d以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和 20cm 的长方形的木框 ,? 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米 ( 结果同最简二次根式表示） a 13100 b1300 c 1013 d 513二、填空题 1某地有一长方形鱼塘, 已知鱼塘的长是宽的2 倍, 它的面积是1600m2，?鱼塘的宽是 _m （结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是_ （结果用最简二次根式）三、综合提高题 1若最简二次

24、根式22323m与212410nm是同类二次根式,求 m 、n 的值 2同学们， 我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab)2, 你一定熟练掌握了吧! 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（21）2=（2)2212+12=222+1=322反之， 322=222+1=(2-1 ）2 322=(21）2 322=2-1 求： （1）322； (2）42 3；（3）你会算412吗？（3 1）（4）若2ab=mn，则 m 、n 与 a、b 的关系是什么?并说明理由答案：一、 1a 2

25、 c 二、 1202 2 2+22三、 1依题意，得2223241012mmn ,2283mn，2 23mn所以223mn或2 23mn或2 23mn或2 23mn2 （1)32 2=2( 21)=2+1 (2 ）42 3=2( 31)=3+1 （3）412=2423(31)=31 （4）mnamnb理由 : 两边平方得a2b=m+n 2mn所以amnbmn例 25计算：（1） （6+8）3（2)(46-32） 22分析： 刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， ?所以直接可用整式的运算规律解： （1）(6+8）3=63+83 =18+24=32+26解： (4632） 22=4622

26、-3222 =2332例 26计算（1)（5+6） （35) （2）(10+7） （10-7）分析： 刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解： （1） （5+6）(3 5） =35-（5）2+1865 =13-35（2） （10+7） （107)=(10)2-(7）2 =10-7=3 例 27已知xba=2-xab, 其中 a、b 是实数，且a+b0，化简11xxxx+11xxxx，并求值。分析： 由于 (1x+x）(1xx）=1, 因此对代数式的化简 , 可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值 , 代入化简得结果即可解: 原式 =2(

27、1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx =(x+1)+x-2(1)x x+x+2(1)x x =4x+2 xba=2-xabb(x-b)=2ab-a（x-a ）bx-b2=2ab-ax+a2 （ a+b)x= a2+2ab+b2 （ a+b)x=(a+b)2 a+b0 x=a+b 原式 =4x+2=4(a+b ）+2 练习 : 一、选择题 1 （24315+2223）2的值是 ( ） a2033-330 b330233 c230233 d203330 2计算 (x+1x)(x1x）的值是（） a2 b3 c4 d1二、填空题 1 （12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_2 （123） （1+23）-（23-1 ）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若 x=21，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，b=3-22, 则 a2bab2=_三、综合提高题 1化简5710141521 2当 x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值 （结果用最简二次根式表