初一数学.秋.直升班.教师版.第3讲绝对值的化简和几何意义

1、第3讲绝对值的化简和几何意义初一数学.秋 第3讲 目标名校直升班教师版1模块一绝对值的基本概念（1）非负性：Ial 0 （补充：a20 )对应题型：绝对值的化简.（2）双解性：|a |b(b 0)，则 ab 方法：判断“II”里面整体的正负性.a(a0)易错点：求一个多项式的相反数.（3）绝对值的代数意义|a|0(a0)对应策略：求一个多项式的相反数即a(a0)求多项式中每个单项式的相反数.a(a 0)a (a0)a b的相反数是 a b ;（常用）Ia |(ac、或 Iala (a0)a0)a b c的相反数是 a b c ；变式结论：若|a|a ,贝U a 0 ；1 1a -b 3的相反数

2、 a -b 3.若Ia |a ,贝U a 02 2模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）零点：使绝对值为0的未知数值即为零点. 方法： 寻找所有零点，并在数轴上表示； 依据零点将数轴进行分段； 分别根据每段未知数的范围去绝对值. 易错点：分类不明确，不会去绝对值.化简：Ix 1I Ix 2I . 零点为1, 2 ,故将数轴分为3个部分， 即 X 1 , 1 X 2 , X 2. 当X 1时，原式2x 3 ；当 1 X 2 时，原式（X 1） （X 2）1 ;当X 2时，原式 2x 3 .模块三几何意义I XI的几何意义：数轴上表示数X的点与原点 的距离；I X a I的几何意义：

3、数轴上表示数X的点与 数a的点之间的距离；I X a I I X bI的几何意义：数轴上表示数X 的点与数a、b两点的距离之和.举例： Ix 1I=I X （ 1）I表示X至U 1的距离. Ix 1I Ix 2I表示X到1和X到2 的距离之和. Ix 1I Ix 2I表示X到1和X到2 的距离之差.基本结论：令a a? a3 an,Ix a1I Ix a2 I Ix a3 I +Ix anI. 方法：直接套用几何意义画数轴. 当n为奇数时，当X aH时取最小值；2 当n为偶数时，当an x aLl时取最小2 2值.常见变形： Ix 1I 2Ix 3I 3I X 4丨在 3 X 4 时取得最小值

4、.111 一X 1-X 1- 3I X 2I 2Ix 3I236在X 2时取得最小值. Ix 1I Ix 2I既有最小值也有最大 值.模块绝对值的基本概念2初一数学.秋 第1讲 目标名校直升班教师版Fl 例 i(1) 已知(X 3)2 Iy 2|=0 ,则 Xy .(2) 若x y 3|与|x y 1999 |互为相反数，求的值是.X y(3) 已知(a b)2 Ib 5| b 5 ,且 |2a b 1| O,那么 ab .齣孵析2 1 (1 )(X 3)2 Iy 2| 0, X 3, y 2 .二原式 .9(2) 原式 磬.3(3) (a b)2 |b 5| b 5, b 5 O, a b

5、O11 1 又T2a b 1| O, 2a b 1 O ,解得 a 1 , b 1 , ab -.339【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性.Fj 例 2(1) 若 |X| 3 , |y| 2 ,且 X y ,求 X y 的值是.(2) 已知 | a | 5 , |b | 3 ,且 | a b | b a,求 a b 的值是.(3) 若 a, b, C 为整数，且 |a b |2016 |c a |2016 1 ,则 |c a | |a b| | b c| 的值(1) 5 或 1;(2) 8或 2 ;(3) a、b、C均为整数, | ab|, |ac|均I为非负整数,

6、只能有|a b|O ,|a c|1或者| ab|1,|ac| O .当|ab|O ,|ac|1时，a b, |bc|ac|1 ,此时，|ab|bc|c a| O 1 12 .当|ab|1 , |ac|O时，a C, |bc|ba|1,此时，|ab|bc|c a| 1 1 O2 .故总有|a b | b C | C a |2【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性.11002(2)若 X 2 2015 ,则 IX I 2016|X 1| Ix 2| |x 3| |x 4| |x 5|（3） a , b , C在数轴上的位置如图所示，化简:|a|b| |c| |b a| |c a| |b c|

7、.（4）已知数a, b, C的大小关系如图所示，则下列各式： b a （ C） 0 :（a） b C 0 ； A A Ca b C a b c b t解析（1）原式二丄20031 : bea c120042b .其中正确的有12002120031100211003110021200412004（2）由于 2x3 ,故原式 xx1x23x 4x5x9 .（3）原式 3a 3b C .（ 4）.【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值.模块二 零点分段法分列4化简：(1) Ix 1|IX 2I(2) Ix 5II2X 3I(3) Ix1IIx 2I Ix 3I(4) IIx1I2I I

8、x 1I'：範解析（1）零点为1, 2 ,故将数轴分为3个部分，即X 1 , 1 X 2 , X 2 . 当 X 1 时，原式 （X 1） （X 2） 2x 3;当1X 2时，原式(X1)(X 2)1 ；当X2时，原式 （X1)(X2) 2x 32x 3,X 1即原式=1,1X2 .2x 3, X2初一数学.秋 第3讲 目标名校直升班教师版3(2)零点为5 , 3 ,故将数轴分为3个部分，即X 5,5 x 3 , X 32 2 2当X5时，原式(X5)(2X 3) X 8;当5X 3时，原式(X5)(2x 3) 3x 2 ;2当X3-时，原式2(X5)(2x3)X 8 .(3)零点为1

9、, 2, 3当X1时，原式(X1)(X2) (X 3) 3x 6;当1X 2时，原式(X1)(X2)(X3) X 4 ;当2X 3时，原式(X1)(X2)(X3) X ;当X3时，原式 (X1)(X2)(X3)3x 6 .(4)先找零点.由X 10得X1 ;由IX 1| 20 得 X1或X3;由X 1 0得X1 .所以零点共有 1 , 1 , 3三个，故将数轴分为 4个部分.当 X1 时，原式 I(X 1) 2(X 1) x 1 x 1 2x 2 ;当 1 X 1 时，原式|(X 1) 21 (X 1) X 1 X 1 2x 2 ;当 1X 3时，原式 |(x 1) 2| (X 1)3X X1

10、4 ;当 X3时，原式 |(x 1) 2| (X 1) X3X 12x 2.【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值.求y |x 1| |x 5|的最大值和最小值.零点为5 , 1.当 X5 时，y (X 1) (X 5) 6;当 5 X 1 时，y (X 1) (X 5) 2x 4 ,有 6 y 6 ;当 X 1 时，y (X 1) (X 5)6 .故最大值为6 ,最小值为 6 .【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值.模块三绝对值的几何意义规律探究和应用：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ;表示 3和2两点之间的距离是; 一般地，数轴上表示数 m和数

11、n的两点之间的距离等于 如果表示数a和2的之间的距离是 3 ,那么a .4初一数学.秋 第1讲 目标名校直升班教师版(2) 若数轴上表示数 a的点位于 4与2之间，求Ia 4| Ia 2|的值.(3) 当a取何值时，|a 5| |a 1| |a 4|的值最小，最小值是多少？(4) 求| a 1| |a 2|+| a 100 |的最小值，并求出此时 a的取值范围Ef)解析(1) 3; 5; |m n |;5或 1 .(2) |a4|a 2|6.(3) |a5|a 1|a4|最小值为9,在a 1时取得最小值.(4) 当50 a 51时，原式有最小值，代数式的值为2500.y 例 7 D已知5 X

12、I-,求X取何值时|x 1| |x 3|取最大值与最小值.9解析| X 1| X 3|表示X到点1和3的距离差，画出数轴，可得当 X I-时两者的距离差最小为32 ,即(|X 1| |X 3)min 3999当5 X 3时，两者的距离差最大为4,即(|X 1| |X 3)max 4 .例 8初一数学.秋 第3讲 目标名校直升班教师版7(1)求2|X 1| |X 2|的最小值及此时X的取值.(2) 求 3| X 1| 2 |X 4|Ix 2|的最小值及此时X的取值.(3) 求 |x 1|2x 3|3x4|的最小值及此时X的取值.(4)求 1 1|211|-x 2|-X 3|的最小值及此时X的取值

13、.34(1)中位项为|X 1| ,故X 1 ,最小值为1.(2)中位项为Ix1|和 2| ,故1 X 2 ,最小值为13.(3)原式 | X1|32 -43| X -| ,中位项为4X _42,故X ,最小值为233133III(4) 原式|x 2 | -|x 6| -|x 1212341-(6|X 2| 4|x 6| 3| X 12 |),12括号里的中位项为IX 6| ,故X 6 ,最小值为-2【教师备课提示】例6例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想.6初一数学.秋 第1讲 目标名校直升班教师版初一数学.秋 第3讲 目标名校直升班教师版11模块一绝对值的基本概念»>

14、(1)已知 IX (2) Iy 3| IZl O ,则 X(2) |a 1| Ib 2| 0,求(a b)2016 (a b)2015 L (a b)2 a b(1) 1 .(2) |a 1 |b 2 0 , a 1 , b2, a b 1,则原式(3)由 a 0，a20 可知，X11， X22Lx20162016，1 1则丄丄KX1X2X2X31X2015X201612015 2016201620152016(3)已知lX11l(x22)2|x33l(X44)220151 (x2016)2 =0 ,求11 11的值.X1X2X2X3X3X4x2015x2016(1)已知|X| 4，|y|6

15、,则x y|的值为2(2)已知 |a| 1，|b| 2，|c| 3，a b C ,则(a b C)蓟解折(1) 2 或 10.(1)(树德半期)a, 化简：Iallbl |c|(2) 由a b C知只能有a 1, b 2 , C3 ,故原式 0或4 .b, C在数轴上的位置如图 3-1所示,Ib a 1I Ic a 2 Ib Cl.(2)已知a、b、C在数轴上的对应点如图图3-13-2 所示，化简：Ial IabllCallbCl.0 a图3-2?析(1) 3a 3b c 1； (2) 3a 2c.模块二零点分段法演练4化简：(1) lx 5l 2x 3l(2) x 1l 3l逅)解析(1)先

16、找零点.X50 , X5 ; 2x30,X3-,零点可以将数轴分成三段2当 、32X50 , 2x3 0,Ix5|2x3|3x 2 ;当 5 X32,X 5 0 ,2x 30 ,Ix5|2x3| 8 X ;当X 5,X50 , 2x3 0 ,Ix5|2x3|3x 2 .(2)先找零点.由X1 0得X1 ;由Ix1|3 0得X4 或 X 2 .所以零点共有 4 ,1, 2三个，故将数轴分为4个部分.当X 4时，原式 |(X 1) 3| I X4|X4 ；当4 X 1时，原式I (X 1) 3|I X4|X 4 ;当1 X 2时，原式I(X 1) 3| Ix2|2X ;当X 2时，原式| (x1) 3| x 2|X2 .模块三绝对值的几何意义O)试求x 1 x 2 L x 1996的最小值.x 1 x 2 | L x 1996 I表示X到1, 2,，1996的距离和中间的两点代表的数是998、999,所以当998 X 999时，原式有最小值；我们可以取 X 998 ,原式 997 996 L 1 0 1 2 L 998 996004.求IX 1| 2