自动控制原理第二版9章习题及详解

1、第9章习题及详解9-1 试分别写出图9-41中所列典型非线性特性的数学描述式。 （a）（b）（c） （d）（e）图9-41 习题9-1图解：(a)；(b) ；(c)；(d)；(e) 或者（e） 当，；当，9-2 试用解析法求下列系统相轨迹方程的解。（1）（2）解：（1）相变量方程为相轨迹方程的解为（2）相变量方程为相轨迹方程的解为9-3 考虑系统，其中，试用解析法求该系统的相平面图。解：引入相变量和改写为相变量方程利用相轨迹微分方程解的公式（9-6）在区间上求定积分得整理得即这是一个以原点为中心的椭圆相轨迹，所描述的运动是周期运动，相轨迹为一簇同心椭圆，椭圆的大小与初始状态有关。因，椭圆的长半

2、轴和短半轴的长度分别为和。9-4 试用解析法求非线性系统的相平面图。解：由题知相变量方程为相轨迹方程的解为可分下面三种情况：当，相轨迹方程解为此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。当，相轨迹方程为此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。当，相平面图为两条直线，即和整个相平面图如下：9-5 试用等倾斜线法绘出下列系统的相平面图。（1）（2）解：（1）等倾斜线满足方程等倾斜线法绘出的系统相平面图为（2）当时，有，故等倾斜线满足方程注意到是关于的偶函数，相轨迹为轴对称，所以可以在相平面的上半部绘出对应线性系统的相轨迹，然后在相平面的下

3、半部对称绘出相应的相轨迹即可。等倾斜线法绘出的系统相平面图为9-6 试判断下列系统是否有奇点，确定奇点类型并画出奇点附近的相轨迹。（1）（2）解：（1）相变量方程为故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有即 ，其特征方程为，故特征根为，所以奇点为中心点。奇点附近的相轨迹为（2）相变量方程为故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有系统在奇点附近线性化后得，其特征方程为，故特征根为所以奇点为不稳定焦点。奇点附近的相轨迹为9-7 描述某运动的微分方程为，试根据奇点的性质绘出系统的相平面图。解：由于必有，而意味着对于所有，有。因此，意味着在轴上点均为该系统的奇点。下面对于，分别考虑轴上奇点

4、和两种情况。情况1：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即在处附近展开泰勒级数故在处附近有，其特征方程的根为因此，对于所有，系统的奇点均为中心点。情况2：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即在处附近展开泰勒级数故在处附近有，其特征方程的根为因此，对于所有，系统的奇点均是鞍点。MATLAB仿真后绘制的相平面图为9-8 考虑具有继电器非线性的控制系统如图9-42所示，试用分段线性化法求系统在输入信号 作用下的相轨迹。图9-42 习题9-8图解：系统非线性特性的数学描述为可分成两个区段，相平面上的转换线为。设斜坡输入为。当时，有。由线性环节的微分方程为和

5、，可得区：当时，相轨迹微分方程为：。定性分析可知：（1）时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3）上半平面，意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率为正，时相轨迹斜率为负；（5）相轨迹斜率与无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果，因此各相轨迹的形状是一样的；（6）令，等倾斜线方程为平行于轴的水平直线，显然，系统在区无奇点。区：当时，相轨迹微分方程为： 。由可知，区相轨迹与区相轨迹关于原点对称，系统在区无奇点，区的相平面图可按与区原点对称办法绘出，等倾线方程为平行于轴的水平线。系统在输入信号 作用下的相轨迹为9-9 考虑具有饱和非线性的控制系统如图9-43

6、所示，试用分段线性化法求系统在输入信号 作用下的相轨迹。图9-43 习题9-9图解：由图可知饱和非线性特性的数学描述为（1）可分三个线性化区段，相平面上的转换线为，而线性环节的微分方程为（2）不失一般地，设阶跃输入为，其中为常数。当时，有，从而。由式（2）和，此时可得（3）I区：因，由式（3）得（4）相变量方程为（5）相轨迹微分方程为（6）定性分析可知：（1）时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3）上半平面，式（6）意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率为正，时相轨迹斜率为负；（5）相轨迹斜率与无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果，因此各相轨迹的形

7、状是一样的；（6）等倾斜线方程为平行于轴的水平直线（7）显然，系统在I区无奇点。II区：由线性关系和式（3）得（8）相变量方程为（9）系统在II区是标准的线性系统相图，并且满足原点对称条件，奇点在处，等倾斜线方程为过原点的直线（10）系统的特征方程为（11）其特征根为（12）和为一对具有负实部的共轭根，II区存在奇点，相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点。III区：有，则（13）相变量方程为（14）相轨迹微分方程为（15）由于，对比式（6）可知III区相轨迹与I区相轨迹关于原点对称，系统在III区无奇点，III区相平面图可按与I区原点对称办法绘出，等倾线方程为平行于轴的水平线（16）系统在输入信号

8、作用下的相轨迹为9-10 具有死区特性的非线性系统如图9-44所示，其中。若，试用分段线性化法求系统的相平面图。图9-44 习题9-10图解：已知死区非线性特性的数学描述为（1）可分三个线性化区段，相平面上的转换线为，而线性环节的微分方程为（2）当时，有，从而。由式（2）和，此时可得（3）开关线和将平面分成三个区。I区：因，由式（3）得（4）相变量方程为（5）相轨迹微分方程为（6）因此，I 区的相轨迹是斜率为-1的直线。II区：由线性关系和式（3）得（8）相变量方程为（9）相轨迹微分方程为：等倾斜线方程为（10）II区存在奇点，系统的特征方程为（11）而特征根为（12）和为一对具有负实部的共轭

9、根，相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点。III区：有，则（13）相变量方程为（14）相轨迹微分方程为：（15）等倾斜线方程为（16）III区存在奇点，系统的特征方程为（17）其特征根为（18）和为一对具有负实部的共轭根，相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点。因此系统相平面图如图所示。9-11 考虑带滞环的非线性控制系统如图9-45所示，输入为单位斜坡函数。试绘制系统的相平面图。图9-45 习题9-11图解：带滞环的非线性特性为（1）根据和将相平面分成两个区段，相平面上半平面，转换线为，而下半平面，转换线为，转换线为一条折线。线性环节的微分方程为：，因为，所以，。I区：因得相变量方程为（2）相轨迹微分方程

10、为（3）即，解析法得（4）其中，为常数。因此，I 区的相平面图是一簇对称e轴、开口向左的抛物线。II区：由得相变量方程为（5）相轨迹微分方程为：（6）即，解得（7）其中，为常数。II 区的相平面图是一簇对称e轴、开口向右的抛物线。系统的相平面图如图所示：9-12 已知非线性控制系统如图9-46所示，其中，设输出为零初始条件，输入为。试求：（1）绘出相平面图；（2）判断该系统是否稳定，最大稳态误差是多少；（3）绘制及的时间响应的大致波形。图9-46 习题9-12图解：（1）由系统结构图知系统描述函数的微分方程为：, 其中（1）可分三个线性化区段，相平面上的转换线为，而线性环节的微分方程为（2）当

11、时，有。由式（2）和，此时可得（3）开关线和将平面分成三个区。I区：因，由式（3）得（4）相变量方程为（5）相轨迹微分方程为（6）因此，I 区的相轨迹是斜率为-1的直线。II区：由线性关系和式（3）得（8）相变量方程为（9）相轨迹微分方程为：（10）等倾斜线方程为（11）III区：有，则（12）相变量方程为（13）相轨迹微分方程为：（14）等倾斜线方程为（15）相平面图在每个区域均为线性系统的标准相图，整体相平面图如图所示：（2）由相轨迹可知，无论初始状态如何，该系统均稳定，系统输出最大稳态误差是。（3）若输出为零初始条件而输入，II区相轨迹方程：，计算可得其进入I区时，（准确值为-0.784

12、4），故必然穿过I区而进入III区，并最终返回至II区。故对应误差先有1降至-0.25，则回升至稳态误差满足。时间响应的大致波形为：时间响应的大致波形为：9-13 图9-47为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。图9-47 习题9-13图解：假设开始时系统处于静止状态，即 ，,由系统结构图有, 其中为库仑摩擦非线性环节输出则 因为： 所以： ， ，整理得： 当时，相轨迹微分方程为：令得等倾斜线方程为：当时，相轨迹微分方程为：令得等倾斜线方程为：未引入库仑摩擦非线性环节时，系统的微分方程为：,等倾线方程为：所以引入库仑摩擦非线性环节后，系统对单位阶跃响应收

13、敛速度加快，超调量减小，从而改善了系统动态性能。系统的相平面图如下：由相平面图可知，引入库仑摩擦非线性环节后，系统响应不再为无阻尼振荡，而是经有限次振荡（初始状态远离原点时）或者单调（初始状态为远离原点时）收敛并最终静止于输入值附近，最大稳态误差为。因此，摩擦环节的作用为加速阶跃响应收敛，减小超调量，从而改善系统动态性能。9-14 为了获得满意的系统过渡过程，可在系统中添加如图9-48所示的变增益特性，若，试确定和的取值范围。图9-48 习题9-14图解：系统微分方程为由变增益特性的数学表达式并且有，由此得到，当时，系统微分方程为即此处处于大偏差阶段，应重点保证响应速度。此时，闭环系统的特征方

14、程为可知和，应使，即使处于欠阻尼状态，此时特征根为，奇点、为稳定焦点。同理，当时，系统的微分方程为考虑到此时系统处于小偏差阶段，重点是保证响应平稳，因此选择使系统处于过阻尼状态，即，得，此时系统的特征方程的根为，奇点类型为稳定节点。因此选择和的取值使得其满足。系统相平面图如下：9-15 图9-49所示为一个带非线性反馈的二阶系统，试用MATLAB绘制系统的相平面图，并分析系统的运动。图9-49 习题9-15图解：直线和将相平面划分为三个线性区域。，饱和非线性特性和数学描述为，将代入上式得线性环节的微分方程为：即：I区：当时 相变量方程为相轨迹微分方程为区域I有一个奇点为稳定焦点。II区：当，即

15、，可得相变量方程为相轨迹微分方程为等倾斜线方程为区域II相应的相轨迹方程为上式也为椭圆方程，中心点在处。III区：当，即时，得相变量方程为相轨迹微分方程为等倾斜线方程为区域III相应的相轨迹方程为式中，A由初始条件决定，上式是椭圆方程，中心点在处。由相轨迹可知，无论初始状态如何，该系统均稳定。9-16 根据本章表9-1中已知的非线性特性描述函数，求图9-50所示非线性特性的描述函数。 （a） （b）（c）图9-50 习题9-16图解：图9-50（a）中非线性环节相当于死区非线性和死区继电非线性环节的并联（图1），由描述函数定义，并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。因此

16、图 1 图9-50（b）中的非线性环节相当于两个死区继电非线性环节的并联（图2） 图 2 图9-50（c）中由于非线性特性对称，故只需要考虑的情况。当时 ；当，否则 ；令，则有 故 ，即当时，有，。因此，图9-50（c）中两个非线性环节可以等效为死区继电非线性环节（图3）图3其描述函数为：其中 。9-17 判断图9-51所示各系统是否稳定？ 与的交点是稳定工作点还是不稳定工作点。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）图9-51 习题9-17图 解：图（a）（b）（c）的曲线与曲线相交，可出现稳定的极限环也可出现不稳定的极限环。根据极限环稳定性判据，图（a）的交点处出现稳定的极限环，是

17、稳定工作点，图（b）的交点处出现不稳定极限环，是不稳定工作点，图（c）中的交点a处出现不稳定极限环，是不稳定工作点，交点b处出现稳定极限环，是稳定工作点。图（d）和(e)中的曲线完全被曲线包围，系统不稳定，图（f）的曲线不被曲线包围，系统稳定。9-18 某单位反馈系统，其前向通道中有一描述函数的非线性元件，线性部分的传递函数为，试用描述函数法确定系统是否存在自振？若有，参数是多少。解：由题意知非线性部分的描述函数为 ，其负倒描述函数为 。作和的曲线可知系统存在稳定的自振点。由描述函数分析法，有： 即： 解之得：，所以系统产生自持振荡：9-19 已知非线性系统的结构图如图9-52所示，图中非线性

18、环节的描述函数，试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定，不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围。（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。图9-52 习题9-19图解：（1）非线性环节的描述函数的负倒描述函数为：。由，得为单调减函数，作和的曲线如下图所示：其穿越频率，曲线与负实轴的交点为 。当 时，的曲线不包围曲线，系统稳定；当 时，的曲线和曲线存在交点（，曲线由不稳定区域进入稳定区域，系统存在稳定的自振；当 时，的曲线完全包围，系统不稳定。由上述知，随着的增大，系统由稳定变成自振，最终不稳定。（2）系统周期运动是稳定的。由自振条件：解得：9-20 饱和非线性系统如

19、图9-53所示，试求：（1）确定系统稳定时的最大值。（2）当时，分析系统的稳定性，若产生自持振荡，求振荡频率和幅值。图9-53 习题9-20图解：（1）饱和非线性特性的描述函数为 其负倒描述函数为当时，。因此，曲线负实轴上段，欲使系统稳定，则线性部分曲线必不包围段。由线性部分传递函数可得令上式虚部为零，即解得，曲线与负实轴相交点的频率代入，可得负实轴交点处的坐标值，即令，可得K的临界值，即（2）当时，令，即（按近似求解，可估计X值很大，故由得。带入上式验证得10.002）解得，因此，当时，系统不稳定，振荡频率为，振幅为。9-21 已知非线性系统的结构图如图9-54所示，其中继电特性的描述函数为，线性部分的传递函数为，试确定系统的稳定性，并求出当自振幅值时，自振频率和放大系数的数值。图9-54 习题9-21图解：该系统的非线性部分可以看成由放大系数为1的放大环节与继电特性相并联而成，因此可得其描述函数为则负倒描述函数为当由变化时，曲线是在复平面上由原点到点的一段直线。系统稳定性分析：当K 比较大时，曲线将包围曲线，这时，控制系统不稳定；当 较小时，曲线将于曲线相交，这时，控制系统产生相应于交点处的自持振荡。已知自振的振幅为，则有因此，曲线与相交于点，因为令的虚部等于0，即有所以，令的实部等于，