《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题四：特殊三角形存在性问题

1、难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解类型1等腰三角形存在性问题例题（2017贵州安顺）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画

2、图探究）【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标【解答】解：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得

3、，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=2，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EF

4、x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=×3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大同步训练：（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明

5、理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PEx轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及P点的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y=x23x4；（2）作OC的垂直平分线DP，交O

6、C于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，PO=PD，此时P点即为满足条件的点，C（0，4），D（0，2），P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得x23x4=2，解得x=（小于0，舍去）或x=，存在满足条件的P点，其坐标为（，2）；（3）点P在抛物线上，可设P（t，t23t4），过P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图2，B（4，0），C（0，4），直线BC解析式为y=x4，F（t，t4），PF=（t4）（t23t4）=t2+4t，SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（t2+4t）×4=2（t2）2+8，当t=2时，SPBC最大值为8，此

7、时t23t4=6，当P点坐标为（2，6）时，PBC的最大面积为8 解题方法点析 对于等腰三角形的分类应分三种情况可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况特别注意求出的值需检验能否构成三角形类型2全等三角形存在性问题例题如图Z42，已知直线ykx6与抛物线yax2bxc相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上(1)求抛物线对应的函数表达式(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐

8、标【分析】 (1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为_式，再代入_的坐标，依据_法可解(2)ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以_为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解【解答】：(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，4)代入ykx6，得k2，直线AB对应的函数表达式为y2x6.令y0，解得x3，点B的坐标是(3，0)点A为抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为ya(x1)24，把(3，0)代入，得4a40，解得a1

9、，抛物线对应的函数表达式为y(x1)24x22x3.(2)存在OBOC3，OPOP，当POBPOC时，POBPOC，此时OP平分第二象限，即直线PO对应的函数表达式为yx.设P(m，m)，则mm22m3，解得m，点P的坐标为.(3)如图，当Q1AB90°时，DAQ1DOB，即，DQ1，OQ1，即点Q1的坐标为；当Q2BA90°时，BOQ2DOB，即，OQ2，即点Q2的坐标为；当AQ3B90°时，过点A作AEy轴于点E，则BOQ3Q3EA，即，OQ324OQ330，OQ31或3，即点Q3的坐标为(0，1)或(0，3)综上，点Q的坐标为或或(0，1)或(0，3) 解题

10、方法点析 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题类型3直角三角形存在性问题例题（2017广西）如图，抛物线y=a（x1）（x3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设SBCD：SABD=k，求k的值；（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利

11、用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出BCD的面积，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式【解答】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如图，

12、设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90°，BCD为直角三角形时，只能有CBD=90°或CDB=90°两种情况，当CBD=90°时，则有

13、BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x24x+3；当CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x22x+；综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+同步训练：（2017江苏徐州）如图，已知二次函数y=x24的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，C的半径为，P为C上一动点（1）点B，C的坐标分别为B（3，0），C（0，4）；（2）是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点

14、P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；（2）当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，根据相似三角形的性质得到=2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3x，CF=2x4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，），过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1（1，2），当BCPC时，PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和

15、性质即可得到结论；（3）如图2，当PB与C相切时，OE的值最大，过E作EMy轴于M，过P作PFy轴于F，根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）在y=x24中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=4，B（3，0），C（0，4）；故答案为：3，0；0，4；（2）存在点P，使得PBC为直角三角形，当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，OB=3OC=4，BC=5，CP2BP2，CP2=，BP2=2，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，则CP2FBP2E，四边形OCP2B是矩形，=2，设OC=

16、P2E=2x，CP2=OE=x，BE=3x，CF=2x4，=2，x=，2x=，FP2=，EP2=，P2（，），过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1（1，2），当BCPC时，PBC为直角三角形，过P4作P4Hy轴于H，则BOCCHP4，=，CH=，P4H=，P4（，4）；同理P3（，4）；综上所述：点P的坐标为：（1，2）或（，）或（，4）或（，4）；（3）如图（3），当PB与C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大，过E作EMy轴于M，过P作PFy轴于F，OBEMPF，E为PB的中点，ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，OE=故答案为： 解题方法点析 本题为综合题

17、，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题专 题 训 练1. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与直线y=x+1相交于A（1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定

18、系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标【解答】解：（1）点B（4，m）在直线y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|

19、x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=2，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=6，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，7）；设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，当BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x4|=，解得x=4+或x=4，此时P点坐标为

20、（4+，48）或（4，48）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）2. （2017四川南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（

21、图2），求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l与y轴交于点N，把BON绕点O逆时针旋转135°得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m， m2m），B（m2+m，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），列出方程解方程即可；【解

22、答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，抛物线的解析式为y=（x2）2，即y=x2x（2）如图1中，设E（m，0），则C（m， m2m），B（m2+m，0），E在抛物线上，E、B关于对称轴对称，=2，解得m=1或6（舍弃），B（3，0），C（1，2），直线l的解析式为y=x3（3）如图2中，当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），则有（m）2+（m3）2=（3）2，解得m=或，P2（，），P3（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（0，3）或（，）或（，）3. （2017张家界

23、）已知抛物线c1的顶点为A（1，4），与y轴的交点为D（0，3）（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使PAB为等腰三角形【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯

24、一的交点，于是得到=94m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB=4，当AP=AB，当AB=BP=4时，当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论【解答】解：（1）抛物线c1的顶点为A（1，4），设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，a=1，抛物线c1的解析式为：y=（x+1）2+4，即y=x22x+3；（2）解得x2+3x+m3=0，直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，=94m+

25、12=0，m=；（3）抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），抛物线c2的解析式为：y=x2+2x+3，当直线l2过抛物线c1的顶点（1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；当3n4或n3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，若c2与x轴正半轴交于B，B（3，0），OB=3，AB=4，当AP=AB=4时，PB=8，P1（5，0），当AB=BP=4时，P2（34，0）或P3（3+4，0），当AP=PB时，点P在AB

26、的垂直平分线上，PA=PB=4，P4（1，0），综上所述，点P的坐标为（5，0）或（34，0）或（3+4，0）或（1，0）时，PAB为等腰三角形4. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（1，4），与y轴的交点为D（0，3）（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使PAB为等腰三角形【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）设抛物线c

27、1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到=94m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB=4，当AP=AB，当AB=BP=4时，当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论【解答】解：（1）抛物线c1的顶点为A（1，4），设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3

28、=a+4，a=1，抛物线c1的解析式为：y=（x+1）2+4，即y=x22x+3；（2）解得x2+3x+m3=0，直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，=94m+12=0，m=；（3）抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），抛物线c2的解析式为：y=x2+2x+3，当直线l2过抛物线c1的顶点（1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；当3n4或n3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，若c2与x轴正半轴交于B

29、，B（3，0），OB=3，AB=4，当AP=AB=4时，PB=8，P1（5，0），当AB=BP=4时，P2（34，0）或P3（3+4，0），当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，PA=PB=4，P4（1，0），综上所述，点P的坐标为（5，0）或（34，0）或（3+4，0）或（1，0）时，PAB为等腰三角形5. （2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a=，当m=3时，a=；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并

30、证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=；（4）利用（2）（3）中的结论，求AOB与APQ的面积比【考点】二次函数综合题【分析】（1）由AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；（2）同（1）的方法得出结论（3）由APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即

31、可【解答】解：（1）如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，当m=2时，a=，当m=3时，a=，故答案为：，；（2）a=理由：如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，a=，（3）如图2，APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），P，Q，A，O在抛物线l：y=

32、ax2+bx+c上，化简得，2aean+b=1，化简得，2aeanb=1，化简得，an=1，a=故答案为a=，（4）OB的长度为2m，AM=m，SAOB=OB×AM=2m×m=m2，由（3）有，AN=nPQ的长度为2n，SAPQ=PQ×AN=×2m×n=n2，由（2）（3）有，a=，a=，=，m=n，=，AOB与APQ的面积比为3：16. （2016海南）如图1，抛物线y=ax26x+c与x轴交于点A（5，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P的坐标为（2，3），请求出此时APC的面积；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2若APE=CPE，求证：；APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】综合题【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x5，作PQy轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（2，3），则PQ=6，然后根据