2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文

1、天津文科本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:·如果事件a,b互斥,那么p(ab)=p(a)+p(b).·棱柱的体积公式v=sh.其中s表示

2、棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·球的体积公式v=43r3.其中r表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013天津,文1)已知集合a=xr|x|2,b=xr|x1,则ab=(). a.(-,2b.1,2c.-2,2d.-2,1答案:d解析:解不等式|x|2,得-2x2,即a=x|-2x2,ab=x|-2x1,故选d.2.(2013天津,文2)设变量x,y满足约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30,则目标函数z=y-2x的最小值为().a.-7b.-4c.1d.2答案:a解析:作约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30所表示

3、的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点a(5,3)时,z取最小值,且为-7,选a.3.(2013天津,文3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为().a.7b.6c.5d.4答案:d解析:由程序框图可知,n=1时,s=-1;n=2时,s=1;n=3时,s=-2;n=4时,s=22,输出n的值为4,故选d.4.(2013天津,文4)设a,br,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件

4、答案:a解析:因为a20,而(a-b)a2<0,所以a-b<0,即a<b;由a<b,a20,得到(a-b)a20可以为0,所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.5.(2013天津,文5)已知过点p(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=().a.-12b.1c.2d.12答案:c解析:由题意知点p(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k·2-02-1=-1,解得k=-12,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-12a=-1,解得a=2,故选c.6.(

5、2013天津,文6)函数f(x)=sin2x-4在区间0,2上的最小值为().a.-1b.-22c.22d.0答案:b解析:因为x0,2,所以2x-4-4,34,当2x-4=-4,即x=0时,f(x)取得最小值-22.7.(2013天津,文7)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是().a.1,2b.0,12c.12,2d.(0,2答案:c解析:因为log12a=-log2a,所以f(log2a)+f(log12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f

6、(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又因为f(x)是定义在r上的偶函数,且在0,+)上递增,所以|log2a|1,即-1log2a1,解得12a2,故选c.8.(2013天津,文8)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则().a.g(a)<0<f(b)b.f(b)<0<g(a)c.0<g(a)<f(b)d.f(b)<g(a)<0答案:a解析:由f(a)=ea+a-2=0得0<a<1.由g(b)=ln b+b2-3=0得1<b<2.因为g(

7、a)=ln a+a2-3<0,f(b)=eb+b-2>0,所以f(b)>0>g(a),故选a.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013天津,文9)i是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=. 答案:5-5i解析:(3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i.10.(2013天津,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为. 答案:3解析:由题意知v球=43r3=92,r=32.设正方体的

8、棱长为a,则3a2=2r,a=3,所以正方体的棱长为3.11.(2013天津,文11)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为. 答案:x2-y23=1解析:抛物线y2=8x的准线为x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即c=2,离心率e=ca=2,故a=1,由a2+b2=c2得b2=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.12.(2013天津,文12)在平行四边形abcd中,ad=1,bad=60°,e为cd的中点.若ac·be=1,则ab的长为. 

9、答案:12解析:取平面的一组基底ab,ad,则ac=ab+ad,be=bc+ce=-12ab+ad,ac·be=(ab+ad)·-12ab+ad=-12|ab|2+12ab·ad+|ad|2=-12|ab|2+14|ab|+1=1,解方程得|ab|=12(舍去|ab|=0),所以线段ab的长为12.13.(2013天津,文13)如图,在圆内接梯形abcd中,abdc.过点a作圆的切线与cb的延长线交于点e.若ab=ad=5,be=4,则弦bd的长为. 答案:152解析:因为在圆内接梯形abcd中,abdc,所以ad=bc,bad+bcd=180°

10、;,abe=bcd.所以bad+abe=180°.又因为ae为圆的切线,所以ae2=be·ec=4×9=36,故ae=6.在abe中,由余弦定理得cosabe=ab2+be2-ae22ab·be=18,cosbad=cos(180°-abe)=-cosabe=-18,在abd中,bd2=ab2+ad2-2ab·ad·cosbad=2254,所以bd=152.14.(2013天津,文14)设a+b=2,b>0,则12|a|+|a|b的最小值为. 答案:34解析:因为a+b=2,所以a+b2=1,12|a|+|a

11、|b=a+b22|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|·|a|b=a4|a|+1,当且仅当b=2|a|时,等号成立.当a>0时,a4|a|+1=54,故12|a|+|a|b54;当a<0时,a4|a|+1=34,12|a|+|a|b34.综上可得最小值为34.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2013天津,文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标s=x+y+z评价该产品的等级.若s4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其

12、质量指标列表如下:产品编号a1a2a3a4a5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号a6a7a8a9a10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,用产品编号列出所有可能的结果;设事件b为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标s都等于4”,求事件b发生的概率.解:(1)计算10件产品的综合指标s,如下表:产品编号a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10s4463454535其中s4的有

13、a1,a2,a4,a5,a7,a9,共6件,故该样本的一等品率为610=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为a1,a2,a1,a4,a1,a5,a1,a7,a1,a9,a2,a4,a2,a5,a2,a7,a2,a9,a4,a5,a4,a7,a4,a9,a5,a7,a5,a9,a7,a9,共15种.在该样本的一等品中,综合指标s等于4的产品编号分别为a1,a2,a5,a7,则事件b发生的所有可能结果为a1,a2,a1,a5,a1,a7,a2,a5,a2,a7,a5,a7,共6种.所以p(b)=615=25.16.(2013天津,

14、文16)(本小题满分13分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知bsin a=3csin b,a=3,cos b=23.(1)求b的值;(2)求sin2b-3的值.解:(1)在abc中,由asina=bsinb,可得bsin a=asin b,又由bsin a=3csin b,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos b,cos b=23,可得b=6.(2)由cos b=23,得sin b=53,进而得cos 2b=2cos2b-1=-19,sin 2b=2sin bcos b=459.所以sin2b-3=sin 2bcos3-cos 2bsin3

15、=45+318.17.(2013天津,文17)(本小题满分13分)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱a1a底面abc,且各棱长均相等,d,e,f分别为棱ab,bc,a1c1的中点.(1)证明ef平面a1cd;(2)证明平面a1cd平面a1abb1;(3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值.(1)证明:如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,aca1c1,且ac=a1c1,连接ed,在abc中,因为d,e分别为ab,bc的中点,所以de=12ac且deac,又因为f为a1c1的中点,可得a1f=de,且a1fde,即四边形a1def为平行四边形,所以efda1.又ef平面a1cd,da1

16、平面a1cd,所以ef平面a1cd.(2)证明:由于底面abc是正三角形,d为ab的中点,故cdab,又由于侧棱a1a底面abc,cd平面abc,所以a1acd,又a1aab=a,因此cd平面a1abb1,而cd平面a1cd,所以平面a1cd平面a1abb1.(3)解:在平面a1abb1内,过点b作bga1d交直线a1d于点g,连接cg.由于平面a1cd平面a1abb1,而直线a1d是平面a1cd与平面a1abb1的交线,故bg平面a1cd.由此得bcg为直线bc与平面a1cd所成的角.设棱长为a,可得a1d=5a2,由a1adbgd,易得bg=5a5.在rtbgc中,sinbcg=bgbc=

17、55.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为55.18.(2013天津,文18)(本小题满分13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程;(2)设a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若ac·db+ad·cb=8,求k的值.解:(1)设f(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a

18、2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.求解可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为a(-3,0),b(3,0),所以ac·db+ad·cb=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2

19、+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.19.(2013天津,文19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列an的前n项和为sn(nn*),且-2s2,s3,4s4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)证明sn+1sn136(nn*).(1)解:设等比数列an的公比为q,因为-2s2,s3,4s4成等差数列,所以s3+2s2=4s4-s3,即s4-s3=s2-s4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列an的通项公式为an=32&

20、#215;-12n-1=(-1)n-1·32n.(2)证明:sn=1-12n,sn+1sn=1-12n+11-12n=2+12n(2n+1),n为奇数,2+12n(2n-1),n为偶数.当n为奇数时,sn+1sn随n的增大而减小,所以sn+1sns1+1s1=136.当n为偶数时,sn+1sn随n的增大而减小,所以sn+1sns2+1s2=2512.故对于nn*,有sn+1sn136.20.(2013天津,文20)(本小题满分14分)设a-2,0,已知函数f(x)=x3-(a+5)x,x0,x3-a+32x2+ax,x>0.(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明x1+x2+x3>-13.证明:(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-a+32x2+ax(x0),f1'(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从而当-1<x<0时,f1'(x)=3x2-(a+5)<3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-