2021-2022高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（八）（解析版）

1、1 / 20 20212021- -20222022 学年高三数学第三次月考模拟卷（学年高三数学第三次月考模拟卷（八八） 注意事项：注意事项： 1.本试卷共本试卷共 6 页，包含单项选择题（第页，包含单项选择题（第 1 题第题第 8 题，共题，共 40 分）、多项选分）、多项选择题（第择题（第 9 题第题第 12 题，共题，共 20 分）、填空题（第分）、填空题（第 13 题第题第 16 题，共题，共 20分）和解答题（第分）和解答题（第 17 题第题第 22 题，共题，共 70 分）四部分分）四部分.本卷满分本卷满分 150 分，考分，考试时间试时间 120 分钟分钟. 2.答卷前，考生务必

2、将自己的姓名、准考证号等用答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用 0.5 毫米黑色墨水的签字毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择回答非选择题时，用题时，用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草写在本试卷或草稿纸上

3、均无效稿纸上均无效. 4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 5.如需作图，须用如需作图，须用 2b 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单项选择题：一、单项选择题：（本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的四四 个选项中，只有一项是符合题意要求的个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 已知集合 = 1,2,3， = | 1 3, ，则 等于( ) a. 1 b. 1,2 c. 0,1,2，3 d. 1,2,3 【答案】

4、c 【解析】 【分析】 本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键，属于基础题先求出集合 b，根据集合并集的定义进行求解即可 【解答】 解： = | 1 0；命题:2 4 5 0.若 为假命题， 为真命题，则实数 x 的取值范围是( ) a. 2 5 b. 1 2或 5 c. 1 2或 5 d. 1 5 【答案】b 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了复合命题的真假，考查了不等式的计算，属于基础题 依题意， 为假命题， 为真命题，则 p 和 q 一真一假，分情况处理即可 【解答】 解：命题 p： 2，命题 q：1 2, 1 或 5，解得 5， 若 p 假 q 真，则 2

5、,1 5，解得1 2， 综上1 0在5 / 20 (,12上恒成立，进而即可求得结果 【解答】 解：由题意，函数在(,12上是增函数， 设() = 2 ， 说明内层函数() = 2 在(,12上是减函数，且() 0在(,12上恒成立， 只需对称轴 =2 12且()min= (12) 0， 解得 1,12) 故选 b 8. 若定义在 r 上的奇函数()在(,0)单调递减，且(2) = 0，则满足( 1) 0的 x 的取值范围是( ) a. 1,1 3,+) b. 3,1 0,1 c. 1,0 1,+) d. 1,0 1,3 【答案】d 【解析】 【分析】 本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运

6、算求解及逻辑推理能力，难度一般 根据题意，不等式( 1) 0可化为 0( 1) 0 或 0( 1) 0，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可 【解答】 解：根据题意，不等式( 1) 0可化为 0( 1) 0 或 0( 1) 0, 由奇函数性质得，()在上单调递减， 所以 0 1 0 1 2或 0 1 0 1 2，解得1 3或1 0 满足( 1) 0的 x 的取值范围是 1,0 1,3 故选 d 6 / 20 二、二、多多项选择题：项选择题：（本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的在每小题给出的选选 项中，有多项符合题目要求

7、项中，有多项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有分，有 选错的得选错的得 0 0 分分. .） 9. 下列命题中正确的是( ) a. 若角是第三象限角，则3可能在第三象限 b. cos(32 ) + cos(52+ ) = 0 c. 若tan 0，则为第二象限角 d. 锐角终边上一点坐标为(cos2,sin2)，则 = 2 【答案】acd 【解析】 【分析】 本题较为综合，考查了象限角、诱导公式、三角函数定义等知识，解答题目时能够熟练运用各知识进行计算并判断，需要牢牢掌握基础知识.逐一判断即可 【解答】 解：对于 a，角是第三象限

8、角，即2 + 2 +32( )， 所以23 +13 323 +12( )，当 = 3, 时， 3为第一象限角; 当 = 3 + 1, 时， 3为第三象限角;当 = 3 + 2, 时， 3为第四象限角， 故3可能在第三象限正确，故 a 选项正确 对于 b，运用诱导公式化简cos(32 ) + cos(52+ ) = sin sin = 2sin，故b 选项不正确 对于 c，若tan 0，则为第一象限角或者第二象限角， 同时满足tan 0，则为第二象限角，故 c 正确 对于 d，因为锐角终边上一点坐标为(cos2,sin2)，由三角函数定义可得tan =sin2cos2= tan2 = tan(

9、2)，又因为0 0, 0,0 )在一个周期内的图象如图所示，则( ) a. 该函数的解析式为 = 2sin(23 +3) b. 该函数的对称中心为( 3,0), c. 该函数的单调递增区间是3 54,3 +4, d. 把函数 = 2sin( +3)的图象上所有点的横坐标变为原来的32，纵坐标不变，可得到该函数图象 【答案】acd 【解析】 【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题目 根据函数图象得出函数解析式，再借助正弦函数的图象与性质得出答案即可 【解答】 9 / 20 解：由图可知，函数的周期为，故.即，代入最高点有 因为.故.故 a 正确 对 b， 的

10、对称中心：.故该函数的对称中心为.故 b 错误 对 c，单调递增区间为，解得.故 c 正确 对 d，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到.故 d正确 故选 acd 12. 已知, +且 + = 1，那么下列不等式中，恒成立的有( ) a. 14 b. +1174 c. + 2 d. 1+12 22 【答案】abc 【解析】 10 / 20 【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值.属于中档题 运用基本不等式可以判定 a，c，d的正误，利用换元法以及对勾函数的性质，可以判定 b 的正确，由此即可得到答案 【解答】 解：因为 a， +且 + = 1，所以 (+2)2=14，

11、 当且仅当 = =12时，取等号，故 a 正确 令 = ，则0 0)， 则2= + + 2 + + + = 2， 当且仅当 = =12时取等号，则 2，故 c 正确； 1+12= (1+12)( + ) =32+2 32+ 22=32+ 2， 当且仅当=2， 即 = 2 2， = 2 1时取等号，故 d错误； 故选 abc 三、填空题：三、填空题：（本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共20 分分） 13. 如图，在三棱锥 的平面展开图中， = 1， = = 3， ， ， =30，则cos =_ 【答案】14 11 / 20 【解析】解：由已知得 = 2 = 6， = 2

12、， 因为 d、e、f 三点重合，所以 = = 3， = = 2 = 6， 则在 中，由余弦定理可得2= 2+ 2 2 cos = 1 + 3 23 32= 1， 所以 = = 1， 则在 中，由余弦定理得cos =2+222=1+46212= 14， 故答案为：14 根据条件可知 d、e、f 三点重合，分别求得 bc、cf、bf 即可 本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题 14. 设双曲线29216= 1的右顶点为 a，右焦点为.过点 f 的直线 l 与双曲线的一条渐近线平行，且直线 l 交双曲线于点 b，则 的面积为_ 【答案】3215 【解析】 【分析】本题考

13、查了双曲线的性质及几何意义的相关知识，试题难度一般 【解答】解：由题意知双曲线的一条渐近线的方程为 =43，右顶点(3,0)，右焦点(5,0) 由于直线 l 与渐近线 =43平行， 则直线 l 的方程为 =43( 5)，即4=53， 从而3=4+53， 代入双曲线方程，得(4+53)2216= 1， 可得 = 3215， 从而 的面积 =12| 3215=12 (5 3) 3215=3215 12 / 20 15. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有 1023 个正方形，且其最大的正方形的边长为2

14、2，则其最小正方形的边长为 【答案】132 【解析】 【试题剖析】 【试题解析】 【分析】 本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项相关知识，关键是求出等比数列模型，正确利用相应的公式 正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列，利用共得到 1023 个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长 【解答】 解：由题意，得正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列， 现已知共得到 1023 个正方形， 则有1 + 2 + + 21= 1023， = 10， 最小正方形的边长为22 (22)9=132 故答案为：13

15、2 16. 已知函数() = ln( 0),2+ + 2( 0).若存在实数 ，使() =() = ()，则函数 = () + () + ()的最大值为_ 13 / 20 【答案】22 2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数、对数函数的图象与性质及多元函数的最值等，考查数形结合思想与考生的运算求解能力 本题有三个关键点：一是准确地画出函数的图象；二是结合图象得 + = 1，74ln 2；三是利用导数求函数的最大值 【解答】 解：画出函数()的大致图象如图所示 因为存在实数 ，使() = () = ()， 所以 + = 1， 所以函数 = () + () + () = ( 1)()， 即 =

16、 ( 1) 当 0时，()min=74，(0) = 2 由图可知，若存在实数 ，使得() = () = ()，则需74 ln 2，即74 2 对于 = ( 1)，当74 0， 所以在(74,2上， = ( 1)是增函数 所以 y 的最大值为22 2 14 / 20 三、三、解答题：解答题：（本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演演 算步骤算步骤.） 17. 已知函数() = cos2 sin2 +12， (0,) (1)求()的单调递增区间； (2)设 为锐角三角形，角 a 所对边 = 19，角 b 所对边 = 5，若()

17、 =0，求 的面积 【解析】 本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题 (1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间； (2)由() = 0，解得 a，再由余弦定理解方程可得 c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【答案】解：(1)函数() = cos2 sin2 +12= 2 +12， (0,)， 由2 2 2， ， 解得 12 ， ， 当 = 1时，12 ， 可得()的单调递增区间为2,)； (2)设 为锐角三角形， 角 a 所对边 = 19，角 b 所对边 = 5， 若() = 0，即有2

18、+12= 0，a 为锐角， 解得2 =23，即 =13， 由余弦定理可得2= 2+ 2 2， 化为2 5 + 6 = 0， 解得 = 2或 3， 若 = 2，则 =19+4252192 0， 即有 b 为钝角， = 2不成立， 15 / 20 则 = 3，经检验符合条件， 的面积为 =12 =12 5 3 32=1534 18. 在三棱柱 111中， ，1 平面 abc，e，f 分别是 ac，1的中点 (1)求证：/平面11； (2)求证：平面1 平面1 【解析】(1)证明/1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明/平面11； (2)证明1 ，结合 ，证明 平面1，然后证明平面1 平面1 本题

19、考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题 【答案】证明：(1)，f 分别是 ac，1的中点 所以/1，因为 平面11，1平面11， 所以/平面11； (2)因为1 平面 abc， 平面1， 所以1 ， 又因为 ， 1 = ， 平面1，1 平面1， 所以 平面1， 因为 平面1， 所以平面1 平面1 16 / 20 19. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产 x台需要另投入成本()(万元).当年产量不足 80 台时，()

20、=122+ 40(万元)，当年产量不小于 80 台时，() = 101 +8100 2180(万元)，若每台设备售价为100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完 (1)求年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式 (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润 【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题 (1)通过利润=销售收入成本，分0 80、 80两种情况讨论即可； (2)通过(1)配方可知当0 80时，当 = 60时 y 取得最大值为1300(万元)，利用基本不等式可知当 80时，当 = 90

21、时 y 取最大值为1500(万元)，比较即得结论 【答案】解：(1)当0 80时， = 100 (122+ 40) 500 = 122+ 60 500， 当 80时， = 100 (101 +8100 2180) 500 = 1680 ( +8100)， 于是 = 122+ 60 500,0 801680 ( +8100), 80 (2)由(1)可知当0 0)的左焦点为 f，上顶点为.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55 ()求椭圆的方程； ()设点 p 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 m 为直线 pb 与 x 轴的交点，点 n 在 y 轴的负半轴上若| = |(为原点)，且 ，求直线

22、pb的斜率 【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题 ()由题意可得 = 2，运用离心率公式和 a，b，c 的关系，可得 a，c，进而得到所求椭圆方程； ()(0，2)，设 pb 的方程为 = + 2，联立椭圆方程，求得 p 的坐标，m 的坐标，由 ，运用斜率之积为1，解方程即可得到所求值 【答案】解：()由题意可得2 = 4，即 = 2， =55，2 2= 2， 解得 = 5， = 1， 可得椭圆方程为25+24= 1； ()(0，2)，设 pb 的方程为 = + 2， 代入椭圆方程42+ 52= 20， 可得(4 + 52)2+ 20

23、= 0， 解得 = 204+52或 = 0， 即有(204+52,81024+52)， = + 2，令 = 0，可得(2,0)， 又(0,1)， ， 可得81022012= 1，解得 = 2305， 可得 pb 的斜率为2305 21. 已知函数() = 2+ ( 2) (1)讨论()的单调性； (2)若()有两个零点，求 a 的取值范围 18 / 20 【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题 (1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得()的单调性； (2)由(1)知：当 0时()才可能有

24、两个零点，求得()最小值，令() 0恒成立， 当 0时， 1 0恒成立， 所以在 上有() 0时，令() 0， 令() 0时，()在(,ln1)是减函数，在(ln1,+)是增函数； (2)若 0时，由(1)可知：()最多有一个零点， 所以 0不符合题意； 当 0时，() = 2+ ( 2) ， 函数有两个零点，()的最小值必须小于 0， 由(1)知， () 0， 所以()在(0,+)上单调递增， 又因为(1) = 0， 0 1 接下来说明0 1时，()存在两个零点： 19 / 20 当 0，( 2) 2， 此时() 2 ，故( 2) 0， 又()在上单调递减， 故存在，使得(1) = 0， 当时，易证 ， 此时() 2+ ( 3)= +(3)， 故，且满足， 又()在上单调递