2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国,文1)已知集合a

2、=x|x=3n+2,nn,b=6,8,10,12,14,则集合ab中元素的个数为()a.5b.4c.3d.2答案:d解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以ab=8,14.故选d.2.(2015课标全国,文2)已知点a(0,1),b(3,2),向量ac=(-4,-3),则向量bc=()a.(-7,-4)b.(7,4)c.(-1,4)d.(1,4)答案:a解析:ab=ob-oa=(3,2)-(0,1)=(3,1),ac=(-4,-3),bc=ac-ab=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).3.(2015课标全国,文3)已知复数z满足(z-1)i=1+i,

3、则z=()a.-2-ib.-2+ic.2-id.2+i答案:c解析:(z-1)i=1+i,z=1+ii+1=(1+i)(-i)-i2+1=1-i+1=2-i.4.(2015课标全国,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()a.310b.15c.110d.120答案:c解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.5.(2015课标全国,文5)已知椭圆e的中心在坐标原点,离心率为1

4、2,e的右焦点与抛物线c:y2=8x的焦点重合,a,b是c的准线与e的两个交点,则|ab|=()a.3b.6c.9d.12答案:b解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),e的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为x216+y212=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得a(-2,3),b(-2,-3),|ab|=6.6.(2015课标全国,文6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何

5、?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()a.14斛b.22斛c.36斛d.66斛答案:b解析:设圆锥的底面半径为r,高为h.米堆底部的弧长为8尺,14·2r=8,r=16.h=5,米堆的体积v=14×13r2h=112××162×5.3,v3209(立方尺).堆放的米约有3209×1.6222(斛).7.(2015课标全国,文7)已知an是公差为1的等差数列,sn

6、为an的前n项和.若s8=4s4,则a10=()a.172b.192c.10d.12答案:b解析:公差d=1,s8=4s4,8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.a10=a1+9d=12+9=192.8.(2015课标全国,文8)函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()a.k-14,k+34,kzb.2k-14,2k+34,kzc.k-14,k+34,kzd.2k-14,2k+34,kz答案:d解析:不妨设>0,由函数图像可知,其周期为t=2×54-14=2,所以2=2,解得=.

7、所以f(x)=cos(x+).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f34=cos34+=-1,解得34+=2k+(kz),解得=2k+4(kz).令k=0,得=4,所以f(x)=cosx+4.令2kx+42k+(kz),解得2k-14x2k+34(kz).所以函数f(x)=cosx+4的单调递减区间为2k-14,2k+34(kz).结合选项知选d.9.(2015课标全国,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()a.5b.6c.7d.8答案:c解析:由于s=1,n=0,m=12,t=0.01,则s=s-m=12,m=m2=14,n=n+1=1

8、,s>0.01;s=14,m=18,n=2,s>0.01;s=18,m=116,n=3,s>0.01;s=116,m=132,n=4,s>0.01;s=132,m=164,n=5,s>0.01;s=164,m=1128,n=6,s>0.01;s=1128,m=1256,n=7,s<0.01,结束循环,此时输出的n=7.10.(2015课标全国,文10)已知函数f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x>1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()a.-74b.-54c.-34d.-14答案:a解析:f(a)=-3,当a1时,f(a)=2

9、a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.11.(2015课标全国,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()a.1b.2c.4d.8答案:b解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的

10、一半组成.s表=2r×2r+2×12r2+r×2r+12×4r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015课标全国,文12)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()a.-1b.1c.2d.4答案:c解析:设(x,y)是函数y=f(x)图像上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-lo

11、g24)+a=1,解得a=2.第卷注意事项:第卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,sn为an的前n项和.若sn=126,则n=. 答案:6解析:an+1=2an,即an+1an=2,an是以2为公比的等比数列.又a1=2,sn=2(1-2n)1-2=126.2n=64,n=6.14.(2015课标全国,文14

12、)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=. 答案:1解析:f'(x)=3ax2+1,f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a,5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国,文15)若x,y满足约束条件x+y-20,x-2y+10,2x-y+20,则z=3x+y的最大值为. 答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由x-2y+1=0,x+y-2=0解得x=1,y

13、=1,即点a的坐标为(1,1).由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直线l0:y=-3x,并平移,当直线经过点a时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.所以zmax=3×1+1=4.16.(2015课标全国,文16)已知f是双曲线c:x2-y28=1的右焦点,p是c的左支上一点,a(0,66).当apf周长最小时,该三角形的面积为. 答案:126解析:设双曲线的左焦点为f1,如图.由双曲线的定义知|pf|=2a+|pf1|,apf的周长为|pa|+|pf|+|af|=|pa|+(2a+|pf1|)+|af|=|pa|+|pf1|+(2a+|af|).由于2a+|af|是定值

14、,要使apf的周长最小,则应使|pa|+|pf1|最小,即p,a,f1三点共线.a(0,66),f1(-3,0),直线af1的方程为x-3+y66=1,即x=y26-3.将其代入x2-y28=1得y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍去),因此点p的纵坐标为26.sapf=saf1f-spf1f=12·|f1f|·ya-12·|f1f|·yp=12×6×66-12×6×26=126.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国,文17)已知a,b,c

15、分别为abc内角a,b,c的对边,sin2b=2sin asin c.(1)若a=b,求cos b;(2)设b=90°,且a=2,求abc的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos b=a2+c2-b22ac=14.6分(2)由(1)知b2=2ac.因为b=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以abc的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国,文18)如图,四边形abcd为菱形,g为ac与bd的交点,be平面abcd.(1)证明:平面aec平面bed;

16、(2)若abc=120°,aeec,三棱锥e-acd的体积为63,求该三棱锥的侧面积.解:(1)因为四边形abcd为菱形,所以acbd.因为be平面abcd,所以acbe.故ac平面bed.又ac平面aec,所以平面aec平面bed.5分(2)设ab=x,在菱形abcd中,由abc=120°,可得ag=gc=32x,gb=gd=x2.因为aeec,所以在rtaec中,可得eg=32x.由be平面abcd,知ebg为直角三角形,可得be=22x.由已知得,三棱锥e-acd的体积ve-acd=13×12ac·gd·be=624x3=63.故x=2.

17、9分从而可得ae=ec=ed=6.所以eac的面积为3,ead的面积与ecd的面积均为5.故三棱锥e-acd的侧面积为3+25.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi

18、=xi,w=18i=18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.解:(1)

19、由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.2分(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-dw=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.6分(3)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z=576.6×0.2-49=66.32.9分根据(2)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+6

20、8x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国,文20)已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c:(x-2)2+(y-3)2=1交于m,n两点.(1)求k的取值范围;(2)若om·on=12,其中o为坐标原点,求|mn|.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与c交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范围为4-73,4+73.5分(2)设m(

21、x1,y1),n(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.7分om·on=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心c在l上,所以|mn|=2.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国,文21)设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a&g

22、t;0时,f(x)2a+aln2a.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=2e2x-ax(x>0).当a0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,当a>0时,因为e2x单调递增,-ax单调递增,所以f'(x)在(0,+)单调递增.又f'(a)>0,当b满足0<b<a4且b<14时,f'(b)<0,故当a>0时,f'(x)存在唯一零点.6分(2)由(1),可设f'(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f'(x)<0;当x(x0,+)时

23、,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故当a>0时,f(x)2a+aln2a.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国,文22)选修41:几何证明选讲如图,ab是o的直径,ac是o的切线,bc交o于点e.(1)若d为ac的中点,证明:de是o的切线;(2)若oa=3ce,求acb的大小.解:(1)连结ae,由已知得,aebc,acab.在rtaec中,由已知得,de=dc,故dec=dce.连结oe,则obe=oeb.又acb+abc=90°,所以dec+oeb=90°,故oed=90°,de是o的切线.5分(2)设ce=1,ae=x,由已知得ab=23,be=12-x2.由射影定理可得,ae2=ce·be,所以x2=12-x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以acb=60°.10分23.(本小题