重积分的应用

1、试卷结果重积分的应用引言3.1 二重积分的概念及应用 4.1.1二重积分的概念 4.1.2二重积分在积分不等式证明中的应用 .4.1.3利用二重积分求旋转体的体积 6.2三重积分的概念及应用6.页脚内容132.1三重积分的概念 6.2.2利用三重积分求空间物体的质量 7.2.3利用三重积分求物体的重心 7.2.4利用三重积分求物体的转动惯量8.3多重积分的概念及其应用103.1多重积分的概念 10file 毕业论文 %20(3)DOC-_TOC328748144#_T)C3287481443.2多重积分的应用.10结论.2.致谢.3.14参考文献摘要为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中

2、的应用，运用重积分 的基本概念和应用解决问题.通过探索重积分在各个领域中的应用，提高解 题的效率，改进用基本方法解重积分问题的思想，和处理重积分在各个领域的 应用能力.结果表明，重积分的应用非常广泛，不仅在数学的相关领域有重要 的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用.由于重积分的重要地位，进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的.关键词：重积分；转动惯量；不等式AbstractIn order to research the applications of multiple integral , and the applications in learning and lif

3、e , use the concept and application to solve the problem . Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multipl

4、e integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an importa nt applicati on, but in the actual problem also plays a role . Because of the important role of the multiple integral, a

5、nd multiple integral and its applicati on in a better research and discussi on is very n ecessary.Keywords:multiple in tegral; mome nt of in ertia; in equality重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容，是近代数学的重 要基础，是高等数学最基本的内容，也是高等院校其它专业知识联系紧密的部 分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野.重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解 决一些生活实际问题等方面的有力工具.

6、它有相当广泛的应用范围和非常重 要的应用价值.数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和 繁琐，而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的.例如二重积分在积分不等式证明中的应用，借助一些定理，通过变换间接解决相 关不等式的证明问题，运用二重积分证明不等式，不但可以丰富不等式证明的 方法、开阔视野、创新思路，而且在特定情况下可以起到事半功倍的效果.同 时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问题.借助重积分工具去研究空间物体问题，不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思 维的培养，提高发散思维的水平. 因此，我们应该对重积分有比较深刻的了解， 而且在遇到具体

7、问题时要能够熟练运用.由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用 ，因此,对重积 分的研究不可忽视.我们应该加大对重积分的研究深度，使之在各个领域起 到更大的作用.本文就重积分的应用，谈一点个人的感悟和体会.1二重积分的概念及应用本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积分的概念及应用1.1二重积分的概念设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义，用任意分法T将R分成n个小 区域：Ri,R2, ,Rn，设它们的面积分别是1, 2, , n.在小区域上任取一点 Pk( k，k)(k 1,2, ,n),作和n f ( k , k) k(11)k 1称为二元函数f (x,

8、 y)在区域R的积分和.令 Tmaxd(R),d(R2), ,dR)定义1.1设二元函数f(x, y)在有界闭区域R有定义，若当T 0时，二 元函数f (x, y)在区域R的积分和(1 1)存在极限I (数I与分法T无关，也与点Pk 的取法无关)，记为nlim1口Ok1f( k, k)kI即0,0, T：|T|,Pk ( k , k)Rk , k1,2, , n，有nf ( k , k)kIk 1则称函数f(x, y)在R可积，I是二元函数f(x, y)在R的二重积分，记为If (x, y)d 或 If (x, y)dxdyRR其中R称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，d或dxdy称为面积

9、微元.1.2二重积分在积分不等式证明中的应用在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式, 本章介绍借助一些定理，通过变换间接证明积分不等式.在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论：定理1.1若函数f (x, y)在闭区域R (x,y):a x b;c y d上可积，且x a,b，定积分I (x)f(x,y)dy存在，则累次积分f(x,y)dydx也存在，ca c且f (x, y)dxdyRb df (x, y)dy dx .特别地 当f(x, y)在矩形区域R(x, y): a x b;c y d上连续时，有f (x, y)dxdyRf (x, y)dy dxd bf

10、 (x, y)dx dy推论若函数(x)在a,b上可积，函数(y)在c,d上可积，则乘积函数(x) (y)在闭矩形域R (x, y): a x b; c y d上也可积,(x) (y)dxdyd(x) dxc(y)dy例1.1若f(x)连续且f(x)0，则ba f (x) coxkxdxbf (x) sin kxdzb2a f(x)dx证明:bf ( x) cos kxdxabf (x) sin kxdxf (x) cos kx f ( y) cos kydxdyf (x) sin kx f ( y) sin kydxdyRf (x) f ( y) cos k( x y)dxdyf (x) f

11、 ( y) dxdybf (y)abf (x)dxa2f (x)dx(其中:R： (x, y): ax b; c y1.3利用二重积分求旋转体的体积本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积分公式.在计算中需用到的定理：定理1.2由连续曲线y f(x,y)(f(x) 0)，直线x a,x的曲边梯形D绕不穿过曲边梯形内部的共面直线l: Ax By及x轴所围成0旋转一周所AxBy Cd2bf(x) dx .A2 B2 a 0AxByCdy例1.2求由y x2x所围成的平面绕直线y x旋转一周所围成旋转围成的旋转体

12、的体积为:体的体积.解: D(x, y)x2yx,0x右下方，即(x, y)D，都有x所以x y0,(x, y) D .由上述公式有V12 ( 1)2 D,21 xx yd20dxx2(xy)dy后0(弓2602三重积分的概念及应用本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所必需的.2.1三重积分的概念设三元函数f(x,y,z)在有界闭体V有定义，用分法T将V分成n个小体:Vi,V2, ,Vn，设它们的体积分别是Vi, V2, , Vn .在小体Vk上任取一点nPk( k, k, k)(k 1,2, n)若T 0时，和式 f( k, k, k) Vk的极限存在，且与k 1区域

13、的分法和点Pk( k, k, k)的选取无关，则称f(x, y,z)在V上可积，并称此极限为f(x,y,z)在V上的三重积分，记为f (x, y, z)dV 或 f (x, y, z)dxdydzVVf (x, y, z)称为被积函数，V称为积分区域，dV或dxdydz称为体积微元.2.2利用三重积分求空间物体的质量设物体占有空间区域V ,体密度为(x,y,z)，则物体的质量M(x,y,z)dxdydz.V例2.1设空间区域V由z 厂亍1与平面z 2围成，已知V上任意一点的密度与该点到原点距离平方成正比，求V的质量m .解：由已知密度(x,y,z) k(x2 y2 z2)(k 0),贝Sm k

14、(x2 y2 z2 )dxdydzV作柱面坐标变换：x cos , ysin ,z z，贝卩2122217m 0 d 0d 1k( x ) dz 15k2.3利用三重积分求物体的重心设物体占有空间区域V ,体密度为(x, y,z),则物体关于x,y,z轴的转动惯量为：x (x, y,z)dVy (x, y,z)dVz (x,y,z)dVVVVx, y,z(x, y,z)dV(x, y,z)(x, y,z)dVVVV如果V是均匀的，即密度函数 (X,y,z)是常数，不妨设(X,y,z) 1 , V的体积是I，则V的重心(x,y, z)的坐标分别是xdV,y- ydV,z 丄 zdVI vI V例

15、2.2计算密度函数(x, y,z) 1的均匀上半球体V：x2 y2 z2a2(z 0)的重心.解：因为均匀半球体关于yz与zx都对称，所以在公式中，x y 0 .下面求z .设I是半径为a的的半球体体积，已知|I a3，求三重积分zdV，作V柱面坐标变换：x r cos,yr sin ,z z ,有2aJ a2x21 4zdVdrdrzdzaV00 0413zzdVaI V8于是，均匀上半球体的重心是(0,0,3a).82.4利用三重积分求物体的转动惯量设物体占有空间区域V ,体密度为(X, y,z),则物体关于x,y,z轴即原点的转动惯量为Ix(y2Z2)(xy,z)dV,ly(z2x2)(

16、x,y,z)dV,Iz(x2y2)(x,y,z)dVVVV例2.3计算密度函数(x,y,z) 1的均匀球体V：x2 y2 z2 1，关于三个坐标轴的转动惯量.解：由上面公式知，球体V关于三个坐标轴的转动惯量分别是lx(y2 z2)dV,ly(z2 x2)dV,lz (x2 y2)dVVVV因为球体关于三个坐标面对称，被积函数关于每个变量都是偶函数，所lx ly lz，设 1lx lylz，有3I2(x2Vy2 z2)dV作球面坐标变换有1 z 2dsind r 4dr ，即3 00015lll 8l xl yl z153多重积分的概念及其应用与一元函数的广义积分概念和应用类似，重积分概念也可以

17、n维空间.3.1多重积分的概念类似于以上两章二重积分和三重积分的概念，只中f(Xi,X2, ,Xn)在V上的n重积分，记为nf(yi,y2, ,yn)dyidy2 dyn 0f(yJVv'I k 13.2多重积分的应用本节介绍利用多重积分证明毕达哥拉斯定理的一种推广.考虑n维欧氏仿射空间Rn(n 2)中的一个n维单形(Xi,X)XjRn :却j 1 aj1,X0,i1, ,n(3 1)其中aj0,i 1, ,n . 有n 1个顶点，即O(0,0)和Ai(0., ai,0), i 1, ,n .n还有n 1个侧面，即n 1个顶点的对面，分别是除某个顶点以外其他n个顶点组成的凸包，是一个n

18、 1维单形.显然，只有一个侧面不通过原点 O,即O的对面记作S且以S表示它的面积(n 1维体积)；其余n个侧面都通过原点，顶点A所对侧面记作Si且以S表示它的面积，i 1, ,n .文献利用单形体积公式证明了 s2S1Sn2 (3 1)现在利用多重积分来证明式(3 1).因为顶点A(i 1,n)所对侧面是由n与超平面Xi 0，相交所成的n1维单形,n(X1, ,Xn) Rn : Xi 0所以由文献求得SiS是由dx1 dxi 1dxi 1 dxSia1ai 佝 1a*(n 1)!i 1, ,n(3 2)与超平面互a1X2a2'1相交所成的ann 1维单形，有显示表示S：Xn an 1a

19、1Xn 1an 1(X1,Xn 1) D试卷结果其中D : (Xi, Xn i) Ri : n i Xii i ai1,x0,i i, ,n i页脚内容13由文献得i Xn 20Xi2Xn . dXiXn idXn iaia2anai2an (3 3)ai根据式(3-2)和式(3 3)立即推得式(3i(n i)! i)，因此毕达哥拉斯的推广得证.结论重积分在高等数学中应用非常广泛，涉及到数学知识的许多方面.本文讨论了重积分的有关知识，深入研究了用二重积分简便计算平面图形绕任意直线 旋转所成的旋转体的体积的一般方法，而且给出了用二重积分证明积分不等 式的证明思路.利用三重积分的物理意义和性质求物体的质量，空间物体的 重心坐标和转动惯量，简便了以往复杂的计算过程.通过以上讨论我们了解 到重积分是我们研究数学问题的一个有力工具，在今后的学习和日