2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)

1、1 / 12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国文科数学 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第卷每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四

2、个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 课标全国,文 1)已知集合 a=x|x=3n+2,nn,b=6,8,10,12,14,则集合 ab中元素的个数为( ) a.5 b.4 c.3 d.2 答案:d 解析:由条件知,当 n=2 时,3n+2=8,当 n=4 时,3n+2=14. 所以 ab=8,14.故选 d. 2.(2015 课标全国,文 2)已知点 a(0,1),b(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 =( ) a.(-7,-4) b.(7,4) c.(-1,4) d.(1,4) 答案:a 解析: = =(3,2)-(0,1)=(3,1), =(-4,-3), = =

3、(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 3.(2015 课标全国,文 3)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z=( ) a.-2-i b.-2+i c.2-i d.2+i 答案:c 解析:(z-1)i=1+i, z=1+ii+1=(1+i)(-i)-i2+1=1-i+1=2-i. 4.(2015 课标全国,文 4)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) a.310 b.15 c.110 d.120 答案:c 2 / 12 解析:从 1,2,3,4,

4、5 中任取 3 个数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,因此 3 个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110. 5.(2015 课标全国,文 5)已知椭圆 e的中心在坐标原点,离心率为12,e的右焦点与抛物线 c:y2=8x 的焦点重合,a,b是 c 的准线与 e的两个交点,则|ab|=( ) a.3 b.6 c.9 d.12 答案:b 解析:抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0), e的右焦点的坐标为(2,0). 设椭圆 e的方程为22+22=1(ab0),c=2. =12,a=4. b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为216+212=1. 抛物线的准线方

5、程为 x=-2,将其代入椭圆方程可得 a(-2,3),b(-2,-3),|ab|=6. 6.(2015 课标全国,文 6) 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( ) a.14 斛 b.22 斛 c.36 斛 d.66 斛 答案:b 解析:设圆锥的底面半径为 r,高为 h. 米堆底部的弧长为 8

6、 尺, 142r=8,r=16. h=5, 米堆的体积 v=1413r2h=112 (16)25. 3,v3209(立方尺). 堆放的米约有32091.6222(斛). 7.(2015 课标全国,文 7)已知an是公差为 1 的等差数列,sn为an的前 n 项和.若 s8=4s4,则 a10=( ) a.172 b.192 c.10 d.12 3 / 12 答案:b 解析:公差 d=1,s8=4s4,8(1+8)2=44(1+4)2, 即 2a1+7d=4a1+6d,解得 a1=12. a10=a1+9d=12+9=192. 8.(2015 课标全国,文 8) 函数 f(x)=cos(x+)的

7、部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( ) a.(-14, +34),kz b.(2-14,2 +34),kz c.(-14, +34),kz d.(2-14,2 +34),kz 答案:d 解析:不妨设 0,由函数图像可知,其周期为 t=2 (54-14)=2, 所以2=2,解得 =. 所以 f(x)=cos(x+). 由图像可知,当 x=12(14+54) =34时,f(x)取得最小值, 即 f(34)=cos(34+ )=-1, 解得34+=2k+(kz), 解得 =2k+4(kz). 令 k=0,得 =4,所以 f(x)=cos( +4). 令 2kx+42k+(kz), 解得

8、 2k-14x2k+34(kz). 所以函数 f(x)=cos( +4)的单调递减区间为2-14,2 +34(kz).结合选项知选 d. 9.(2015 课标全国,文 9)执行下面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( ) 4 / 12 a.5 b.6 c.7 d.8 答案:c 解析:由于 s=1,n=0,m=12,t=0.01, 则 s=s-m=12,m=2=14,n=n+1=1,s0.01; s=14,m=18,n=2,s0.01; s=18,m=116,n=3,s0.01; s=116,m=132,n=4,s0.01; s=132,m=164,n=5,s0.01; s=1

9、64,m=1128,n=6,s0.01; s=1128,m=1256,n=7,s 1,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=( ) a.-74 b.-54 c.-34 d.-14 答案:a 解析:f(a)=-3, 当 a1 时,f(a)=2a-1-2=-3,即 2a-1=-1,此等式显然不成立. 当 a1 时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即 a+1=23,解得 a=7. f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 11.(2015 课标全国,文 11) 5 / 12 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所

10、示.若该几何体的表面积为 16+20,则 r=( ) a.1 b.2 c.4 d.8 答案:b 解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成. s表=2r2r+212r2+r2r+124r2 =5r2+4r2=16+20,解得 r=2. 12.(2015 课标全国,文 12)设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则a=( ) a.-1 b.1 c.2 d.4 答案:c 解析

11、:设(x,y)是函数 y=f(x)图像上的任意一点,它关于直线 y=-x 的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,-x=2-y+a,解得 y=-log2(-x)+a, 即 f(x)=-log2(-x)+a. f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1, 解得 a=2. 第卷 注意事项: 第卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题

12、,每小题 5 分. 13.(2015 课标全国,文 13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,sn为an的前 n 项和.若 sn=126,则 n= . 6 / 12 答案:6 解析:an+1=2an,即+1=2, an是以 2 为公比的等比数列. 又 a1=2, sn=2(1-2)1-2=126. 2n=64,n=6. 14.(2015 课标全国,文 14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a= . 答案:1 解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1, 即切线斜率 k=3a+1. 又 f(1)=a+2,已知点为(1,a+2).

13、 而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为+2-71-2=5-a, 5-a=3a+1,解得 a=1. 15.(2015 课标全国,文 15)若 x,y 满足约束条件 + -2 0,-2 + 1 0,2- + 2 0,则 z=3x+y 的最大值为 . 答案:4 解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由-2 + 1 = 0, + -2 = 0解得 = 1, = 1,即点 a 的坐标为(1,1). 由 z=3x+y,得 y=-3x+z. 作出直线 l0:y=-3x,并平移,当直线经过点 a时,直线在 y 轴上的截距最大,即 z 最大. 所以 zmax=31+1=4. 16.(

14、2015 课标全国,文 16)已知 f是双曲线 c:x2-28=1 的右焦点,p是 c 的左支上一点,a(0,66).当apf 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案:126 解析:设双曲线的左焦点为 f1,如图. 7 / 12 由双曲线的定义知|pf|=2a+|pf1|, apf的周长为|pa|+|pf|+|af|=|pa|+(2a+|pf1|)+|af|=|pa|+|pf1|+(2a+|af|). 由于 2a+|af|是定值,要使apf的周长最小,则应使|pa|+|pf1|最小,即 p,a,f1三点共线. a(0,66),f1(-3,0), 直线 af1的方程为-3+66=1,即 x=26

15、-3. 将其代入 x2-28=1 得 y2+66y-96=0, 解得 y=26或 y=-86(舍去), 因此点 p的纵坐标为 26. sapf=1 1 =12|f1f| ya-12|f1f| yp =12666 12626=126. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 17)已知 a,b,c 分别为abc 内角 a,b,c 的对边,sin2b=2sin asin c. (1)若 a=b,求 cos b; (2)设 b=90 ,且 a=2,求abc 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得

16、 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos b=2+2-22=14. 6 分 (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 b=90 ,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a=2. 所以abc 的面积为 1. 12 分 18.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 18) 8 / 12 如图,四边形 abcd 为菱形,g 为 ac 与 bd 的交点,be平面 abcd. (1)证明:平面 aec平面 bed; (2)若abc=120 ,aeec,三棱锥 e-acd 的体积为63,求该三棱锥的侧面积. 解:(1)因为四边形 abcd 为菱形,所以 acbd.

17、 因为 be平面 abcd, 所以 acbe.故 ac平面 bed. 又 ac平面 aec,所以平面 aec平面 bed. 5 分 (2)设 ab=x,在菱形 abcd 中,由abc=120 ,可得 ag=gc=32x,gb=gd=2. 因为 aeec,所以在 rtaec 中,可得 eg=32x. 由 be平面 abcd,知ebg 为直角三角形,可得 be=22x. 由已知得,三棱锥 e-acd 的体积 ve-acd=1312ac gd be=624x3=63. 故 x=2. 9 分 从而可得 ae=ec=ed=6. 所以eac 的面积为 3,ead 的面积与ecd 的面积均为5. 故三棱锥

18、e-acd 的侧面积为 3+25. 12 分 19.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y) i=18(wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=, =18=18wi. 9 / 1

19、2 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=1(-)(-)=1(-)2,= . 解:(1)由散

20、点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. 2 分 (2)令 w=,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于=18(-)(-)=18(-)2=108.81.6=68, = =563-686.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为=100.6+68. 6 分 (3)由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+6849=576.6, 年利润 z 的预报值=576.60.2-49=66.32. 9 分 根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 =0.2(100.6+

21、68)-x=-x+13.6+20.12. 所以当 =13.62=6.8,即 x=46.24 时,取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 12 分 20.(本小题满分 12 分)(2015 课标全国,文 20)已知过点 a(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 c:(x-2)2+(y-3)2=1 交于m,n 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 =12,其中 o 为坐标原点,求|mn|. 解:(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为 l 与 c 交于两点, 所以|2-3+1|1+21. 10 / 12 解得4-73k0 时,f(x)2a+

22、aln2. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2e2x-(x0). 当 a0 时,f(x)0,f(x)没有零点, 当 a0 时,因为 e2x单调递增,-单调递增, 所以 f(x)在(0,+)单调递增. 又 f(a)0,当 b 满足 0b4且 b14时,f(b)0 时,f(x)存在唯一零点. 6 分 (2)由(1),可设 f(x)在(0,+)的唯一零点为 x0,当 x(0,x0)时,f(x)0. 故 f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当 x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2e200=0, 所以 f(x0)=20+2ax0+al

23、n22a+aln2. 故当 a0 时,f(x)2a+aln2. 12 分 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)(2015 课标全国,文 22)选修 41:几何证明选讲 11 / 12 如图,ab是o 的直径,ac 是o 的切线,bc 交o 于点 e. (1)若 d 为 ac 的中点,证明:de 是o 的切线; (2)若 oa=3ce,求acb的大小. 解:(1)连结 ae,由已知得,aebc,acab. 在 rtaec 中,由已知得,de=dc,故dec=dce. 连结 oe,则obe=oeb. 又acb+abc=90 ,所以dec+oeb=90 , 故oed=90 ,de是o 的切线. 5 分 (2)设 ce=1,ae=x,由已知得 ab=23,be=12-2. 由射影定理可得,ae2=ce be, 所以 x2=12-2,即 x4+x2-