2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ卷)理

1、1 / 17 课标全国课标全国理科理科 注意事项: 1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷 1至 3 页,第卷 3至 5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国,理 1)已知集合 a=x|x2-2x0,b=x|-5x0,x2. 集合 a 与 b可用图象表示为: 由图象可以看出 ab=r,故选 b. 2.(2013 课标全国,

2、理 2)若复数 z满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ). a.-4 b.-45 c.4 d.45 答案:d 解析:(3-4i)z=|4+3i|, z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i. 2 / 17 故 z 的虚部为45,选 d. 3.(2013 课标全国,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). a.简单随机抽样 b.按性别分层抽样 c.按学段分层抽样 d.

3、系统抽样 答案:c 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样. 4.(2013 课标全国,理 4)已知双曲线 c:2222=1(a0,b0)的离心率为52,则 c 的渐近线方程为( ). a.y=14x b.y=13x c.y=12x d.y= x 答案:c 解析:e=52,e2=22=2+22=54. a2=4b2,=12. 渐近线方程为 y=x=12x. 3 / 17 5.(2013 课标全国,理 5)执行右面的程序框图,如果输入的 t-1,3,则输出的 s属于( ). a.-3,4 b.-5,2 c.-4,3 d.-2,5 答案:a 解析:若 t-1,1),则执行 s

4、=3t,故 s-3,3). 若 t1,3,则执行 s=4t-t2,其对称轴为 t=2. 故当 t=2时,s取得最大值 4.当 t=1或 3时,s取得最小值 3,则 s3,4. 综上可知,输出的 s-3,4.故选 a. 6.(2013 课标全国,理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ). a.5003 cm3 b.8663 cm3 c.1 3723 cm3 d.2 0483 cm3 答案:a 解析:设球半径为 r,由题可知 r,r-2,正方体棱长一半可

5、构成直角三角形,即oba 为直角三角形,如图. bc=2,ba=4,ob=r-2,oa=r, 4 / 17 由 r2=(r-2)2+42,得 r=5, 所以球的体积为4353=5003(cm3),故选 a. 7.(2013 课标全国,理 7)设等差数列an的前 n 项和为 sn,若 sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,则 m=( ). a.3 b.4 c.5 d.6 答案:c 解析:sm-1=-2,sm=0,sm+1=3, am=sm-sm-1=0-(-2)=2,am+1=sm+1-sm=3-0=3. d=am+1-am=3-2=1. sm=ma1+(-1)21=0,a1=-12. 又am

6、+1=a1+m1=3,-12+m=3. m=5.故选 c. 8.(2013 课标全国,理 8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). a.16+8 b.8+8 c.16+16 d.8+16 答案:a 5 / 17 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径 r=2,长为 4,在长方体中,长为 4,宽为 2,高为 2,所以几何体的体积为 r2412+422=8+16.故选 a. 9.(2013 课标全国,理 9)设 m 为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则

7、 m=( ). a.5 b.6 c.7 d.8 答案:b 解析:由题意可知,a=c2,b=c2+1, 又13a=7b,13(2)!=7(2+1)!(+1)!, 即137=2+1+1.解得 m=6.故选 b. 10.(2013 课标全国,理 10)已知椭圆 e:22+22=1(ab0)的右焦点为 f(3,0),过点 f的直线交 e 于a,b 两点.若 ab 的中点坐标为(1,-1),则 e的方程为( ). a.245+236=1 b.236+227=1 c.227+218=1 d.218+29=1 答案:d 解析:设 a(x1,y1),b(x2,y2),a,b 在椭圆上, 122+122= 1,

8、 222+222= 1, -,得 (1+2)(1-2)2+(1+2)(1-2)2=0, 即22=-(1+2)(1-2)(1+2)(1-2), ab 的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2, 6 / 17 而1-21-2=kab=0-(-1)3-1=12,22=12. 又a2-b2=9,a2=18,b2=9. 椭圆 e 的方程为218+29=1.故选 d. 11.(2013 课标全国,理 11)已知函数 f(x)=-2+ 2x,x 0,ln( + 1), 0.若|f(x)|ax,则 a的取值范围是( ). a.(-,0 b.(-,1 c.-2,1 d.-2,0 答案:d 解析:由

9、 y=|f(x)|的图象知: 当 x0 时,y=ax只有 a0 时,才能满足|f(x)|ax,可排除 b,c. 当 x0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x. 故由|f(x)|ax 得 x2-2xax. 当 x=0时,不等式为 00成立. 当 x0时,不等式等价于 x-2a. x-2c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=+2,cn+1=+2,则( ). a.sn为递减数列 b.sn为递增数列 c.s2n-1为递增数列,s2n为递减数列 7 / 17 d.s2n-1为递减数列,s2n为递增数列 答案:b 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必

10、考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分. 13.(2013 课标全国,理 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60 ,c=ta+(1-t)b.若 b c=0,则t= . 答案:2 解析:c=ta+(1-t)b, bc=tab+(1-t)|b|2. 又|a|=|b|=1,且 a与 b夹角为 60 ,bc, 0=t|a|b|cos 60 +(1-t), 0=12t+1-t. t=2. 14.(2013 课标全国,理 14)若数列an的前 n项和 sn=23an+13,则an的通项公式是 an= . 答案:

11、(-2)n-1 解析:sn=23an+13, 当 n2 时,sn-1=23an-1+13. -,得 an=23an-23an-1, 即-1=-2. 8 / 17 a1=s1=23a1+13, a1=1. an是以 1为首项,-2 为公比的等比数列,an=(-2)n-1. 15.(2013 课标全国,理 15)设当 x= 时,函数 f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则 cos = . 答案:-255 解析:f(x)=sin x-2cos x =5(15sin-25cos), 令 cos =15,sin =-25, 则 f(x)=5sin(+x), 当 x=2k+2-(kz)时,sin

12、(+x)有最大值 1,f(x)有最大值5, 即 =2k+2-(kz), 所以 cos =cos(2 +2-)=cos(2-)=sin =-25=-255. 16.(2013 课标全国,理 16)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2对称,则 f(x)的最大值为 . 答案:16 解析:函数 f(x)的图像关于直线 x=-2对称, f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3), 即 = -15(16-4 + ),0 = -8(9-3 + ), 解得 = 8, = 15. f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由 f(x)=-4x3-24x

13、2-28x+8=0, 9 / 17 得 x1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5. 易知,f(x)在(-,-2-5)上为增函数,在(-2-5,-2)上为减函数,在(-2,-2+5)上为增函数,在(-2+5,+)上为减函数. f(-2-5)=1-(-2-5)2(-2-5)2+8(-2-5)+15 =(-8-45)(8-45) =80-64=16. f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8(-2)+15 =-3(4-16+15) =-9. f(-2+5)=1-(-2+5)2(-2+5)2+8(-2+5)+15 =(-8+45)(8+45) =80-64=16. 故 f(x)的最大值为 16. 三

14、、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国,理 17)(本小题满分 12分)如图,在abc 中,abc=90 ,ab=3,bc=1,p 为abc 内一点,bpc=90 . (1)若 pb=12,求 pa; (2)若apb=150 ,求 tanpba. 解:(1)由已知得pbc=60 ,所以pba=30 . 在pba中,由余弦定理得 pa2=3+14-23 12cos 30 =74. 故 pa=72. 10 / 17 (2)设pba=,由已知得 pb=sin . 在pba中,由正弦定理得3sin150=sinsin(30-), 化简得3cos =4sin .

15、所以 tan =34,即 tanpba=34. 18.(2013 课标全国,理 18)(本小题满分 12分)如图,三棱柱 abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60 . (1)证明:aba1c; (2)若平面 abc平面 aa1b1b,ab=cb,求直线 a1c与平面 bb1c1c 所成角的正弦值. (1)证明:取 ab 的中点 o,连结 oc,oa1,a1b. 因为 ca=cb,所以 ocab. 由于 ab=aa1,baa1=60 , 故aa1b 为等边三角形, 所以 oa1ab. 因为 ocoa1=o,所以 ab平面 oa1c. 又 a1c平面 oa1c,故 aba1

16、c. (2)解:由(1)知 ocab,oa1ab. 又平面 abc平面 aa1b1b,交线为 ab, 所以 oc平面 aa1b1b, 故 oa,oa1,oc两两相互垂直. 11 / 17 以 o 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz. 由题设知 a(1,0,0),a1(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0). 则 =(1,0,3),1 = 1 =(-1,3,0),1c =(0,-3,3). 设 n=(x,y,z)是平面 bb1c1c的法向量, 则bc = 0,bb1 = 0,即 + 3z = 0,- + 3y = 0.可取

17、 n=(3,1,-1). 故 cos=a1c |a1c |=-105. 所以 a1c 与平面 bb1c1c所成角的正弦值为105. 19.(2013 课标全国,理 19)(本小题满分 12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互

18、独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 x(单位:元),求 x的分布列及数学期望. 解:(1)设第一次取出的 4件产品中恰有 3件优质品为事件 a1,第一次取出的 4件产品全是优质品为事件 a2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 b1,第二次取出的 1件产品是优质品为事件 b2,这批产品通过检验为事件 a,依题意有 a=(a1b1)(a2b2),且 a1b1与 a2b2互斥,所以 p(a)=p(a1b1)+p(a2b2) =p(a1)p(b1|a1)+p(a2)p(b2|a2)

19、=416116+11612=364. (2)x 可能的取值为 400,500,800,并且 12 / 17 p(x=400)=1-416116=1116,p(x=500)=116,p(x=800)=14. 所以 x的分布列为 x 400 500 800 p 1116 116 14 ex=4001116+500116+80014=506.25. 20.(2013 课标全国,理 20)(本小题满分 12分)已知圆 m:(x+1)2+y2=1,圆 n:(x-1)2+y2=9,动圆 p与圆m 外切并且与圆 n 内切,圆心 p 的轨迹为曲线 c. (1)求 c 的方程; (2)l是与圆 p,圆 m都相切

20、的一条直线,l与曲线 c交于 a,b两点,当圆 p的半径最长时,求|ab|. 解:由已知得圆 m的圆心为 m(-1,0),半径 r1=1;圆 n的圆心为 n(1,0),半径 r2=3. 设圆 p的圆心为 p(x,y),半径为 r. (1)因为圆 p 与圆 m外切并且与圆 n 内切, 所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 c是以 m,n为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为24+23=1(x-2). (2)对于曲线 c上任意一点 p(x,y),由于|pm|-|pn|=2r-22, 所以 r2,当且仅当圆 p

21、的圆心为(2,0)时,r=2. 所以当圆 p的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l的倾斜角为 90 ,则 l与 y 轴重合,可得|ab|=23. 若 l的倾斜角不为 90 ,由 r1r知 l不平行于 x 轴,设 l与 x轴的交点为 q,则|=1,可求得 q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 13 / 17 由 l与圆 m相切得|3|1+2=1, 解得 k=24. 当 k=24时,将 y=24x+2代入24+23=1, 并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2=-4627. 所以|ab|=1 + 2|x2-x1|=187. 当 k=-24时,由图形的对称性可知

22、|ab|=187. 综上,|ab|=23或|ab|=187. 21.(2013 课标全国,理 21)(本小题满分 12分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 p(0,2),且在点 p处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d的值; (2)若 x-2 时,f(x)kg(x),求 k的取值范围. 解:(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4. 而 f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2.

23、(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 f(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 f(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 f(0)0,即 k1. 令 f(x)=0得 x1=-ln k,x2=-2. 14 / 17 若 1ke2,则-2x10.从而当 x(-2,x1)时,f(x)0.即 f(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+)单调递增.故 f(x)在-2,+)的最小值为 f(x1). 而 f(x1)=2x1+2-12-4x1-2=-x1(x1+2)0. 故当 x-2时,f(

24、x)0,即 f(x)kg(x)恒成立. 若 k=e2,则 f(x)=2e2(x+2)(ex-e-2). 从而当 x-2时,f(x)0,即 f(x)在(-2,+)单调递增. 而 f(-2)=0,故当 x-2 时,f(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立. 若 ke2,则 f(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0. 从而当 x-2 时,f(x)kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是1,e2. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2b 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.

25、(2013 课标全国,理 22)(本小题满分 10分)选修 41:几何证明选讲 如图,直线 ab 为圆的切线,切点为 b,点 c 在圆上,abc 的角平分线 be 交圆于点 e,db垂直 be 交圆于点 d. (1)证明:db=dc; (2)设圆的半径为 1,bc=3,延长 ce交 ab于点 f,求bcf 外接圆的半径. (1)证明:连结 de,交 bc于点 g. 由弦切角定理得,abe=bce. 而abe=cbe,故cbe=bce,be=ce. 15 / 17 又因为 dbbe, 所以 de 为直径,dce=90 , 由勾股定理可得 db=dc. (2)解:由(1)知,cde=bde,db=dc, 故 dg是 bc 的中垂线,所以 bg=32. 设 de的中点为 o,连结 bo,则bog=60 . 从而abe=bce=cbe=30 , 所以 cfbf,故 rtbcf外接圆的半径等于32. 23.