2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理 (2)

1、1 / 7 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(理科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014 北京,理 1)已知集合 a=x|x2-2x=0,b=0,1,2,则 ab=( ). a.0 b.0,1 c.0,2 d.0,1,2 答案:c 解析:解 x2-2x=0,得 x=0,x=2,故 a=0,2,所以 ab=0,2,故选 c. 2.(2014 北京,理 2)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是( ). a.y= + 1 b.y=(x-1)2 c.y=

2、2-x d.y=log0.5(x+1) 答案:a 解析:a 项,y= + 1为(-1,+)上的增函数,故在(0,+)上递增; b 项,y=(x-1)2在(-,1)上递减,在(1,+)上递增; c 项,y=2-x=(12)为 r 上的减函数; d 项,y=log0.5(x+1)为(-1,+)上的减函数. 故选 a. 3.(2014 北京,理 3)曲线 = -1 + cos, = 2 + sin( 为参数)的对称中心( ). a.在直线 y=2x 上 b.在直线 y=-2x 上 c.在直线 y=x-1 上 d.在直线 y=x+1 上 答案:b 解析:由已知得cos = + 1,sin = -2,

3、消参得(x+1)2+(y-2)2=1. 所以其对称中心为(-1,2). 显然该点在直线 y=-2x 上.故选 b. 4.(2014 北京,理 4)当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ). a.7 b.42 c.210 d.840 答案:c 解析:开始:m=7,n=3. 计算:k=7,s=1. 第一次循环,此时 m-n+1=7-3+1=5,显然 k5 不成立,所以 s=17=7,k=7-1=6. 2 / 7 第二次循环,65 不成立,所以 s=76=42,k=6-1=5. 第三次循环,55 不成立,所以 s=425=210,k=5-1=4. 显然 41”是“an为

4、递增数列”的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:d 解析:等比数列an为递增数列的充要条件为1 0, 1或1 0,0 1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选 d. 6.(2014 北京,理 6)若 x,y 满足 + -2 0,- + 2 0, 0,且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ). a.2 b.-2 c.12 d.-12 答案:d 解析: 如图,作出 + -2 0, 0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4 时对应的直线 y-x=-4,即 x-y-4=0.显然 z的几何意义为目标函数对应

5、直线 x-y+z=0 在 x 轴上的截距的相反数,故该直线与 x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又 kx-y+2=0 恒过点(0,2),故 k=2-00-4=-12.故选 d. 7.(2014 北京,理 7)在空间直角坐标系 oxyz 中,已知 a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),d(1,1,2).若 s1,s2,s3分别是三棱锥d-abc 在 xoy,yoz,zox 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ). a.s1=s2=s3 b.s2=s1且 s2s3 c.s3=s1且 s3s2 d.s3=s2且 s3s1 答案:d 解析:三棱锥的各顶点在 xoy 坐标平面上的正

6、投影分别为 a1(2,0,0),b1(2,2,0),c1(0,2,0),d1(1,1,0).显然 d1点为a1c1的中点,如图(1),正投影为 rta1b1c1,其面积 s1=1222=2. 三棱锥的各顶点在 yoz 坐标平面上的正投影分别为 a2(0,0,0),b2(0,2,0),c2(0,2,0),d2(0,1,2).显然 b2,c2重合,如图(2),正投影为a2b2d2,其面积 s2=1222 = 2. 三棱锥的各顶点在 zox 坐标平面上的正投影分别为 a3(2,0,0),b3(2,0,0),c3(0,0,0),d3(1,0,2),由图(3)可知,正投影为a3d3c3,其面积 s3=1

7、222 = 2. 综上,s2=s3,s3s1.故选 d. 图(1) 图(2) 3 / 7 图(3) 8.(2014 北京,理 8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). a.2 人 b.3 人 c.4 人 d.5 人 答案:b 解析:用 a,b,c 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得 a 的学生最多只有一人,语文成绩得 b 的也最多

8、只有 1 人,得 c 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(ac),(bb),(ca)满足条件,故学生最多为 3 人. 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(2014 北京,理 9)复数(1+i1-i)2= . 答案:-1 解析:1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,所以(1+i1-i)2=i2=-1. 10.(2014 北京,理 10)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 a+b=0(r),则|= . 答案:5 解析:|b|=22+ 12= 5,由 a+b=0,得 b=-a,故|b|=|

9、-a|=|a|,所以|=|=51= 5. 11.(2014 北京,理 11)设双曲线 c 经过点(2,2),且与24-x2=1 具有相同渐近线,则 c 的方程为 ;渐近线方程为 . 答案:23212=1 y= 2x 解析:双曲线24-x2=1 的渐近线方程为 y= 2x. 设与双曲线24-x2=1 有共同渐近线的方程为24-x2=, 又(2,2)在双曲线上,故224-22=,解得 =-3. 故所求双曲线方程为24-x2=-3,即23212=1. 所求双曲线的渐近线方程为 y= 2x. 12.(2014 北京,理 12)若等差数列an满足 a7+a8+a90,a7+a100,即 a80;而 a7

10、+a10=a8+a90,故 a90,0).若 f(x)在区间6,2上具有单调性,且f(2)=f(23)=-f(6),则 f(x)的最小正周期为 . 答案: 4 / 7 解析:由 f(x)在区间6,2上具有单调性,且 f(2)=-f(6)知,f(x)有对称中心(3,0),由 f(2)=f(23)知 f(x)有对称轴x=12(2+23) =712.记 f(x)的最小正周期为 t,则12t26,即 t23.故712-3=4=4,解得 t=. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13 分)(2014 北京,理 15) 如图,在abc 中,b=

11、3,ab=8,点 d 在 bc 边上,且 cd=2,cosadc=17. (1)求 sinbad; (2)求 bd,ac 的长. 分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得bad=adc-b,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在abd中,根据正弦定理,结合(1)即可求得 bd,然后在abc 中,直接利用余弦定理求 ac 即可. 解:(1)在adc 中,因为 cosadc=17, 所以 sinadc=437. 所以 sinbad=sin(adc-b) =sinadccos b-cosadcsin b =437121732=3314. (2)在abd 中,由正弦定理得 bd=sinsin=8

12、3314437=3. 在abc 中,由余弦定理得 ac2=ab2+bc2-2abbccos b=82+52-28512=49. 所以 ac=7. 16.(本小题 13 分)(2014 北京,理 16)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立): 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 22 12 客场 1 18 8 主场 2 15 12 客场 2 13 12 主场 3 12 8 客场 3 21 7 主场 4 23 8 客场 4 18 15 主场 5 24 20 客场 5 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过

13、 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率; (3)记为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记 x为李明在这场比赛中的命中次数.比较ex与的大小.(只需写出结论) 分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过 0.6 的场数,然后除以总场数 10 即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过 0.6 的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到 ex与的大小关系.

14、解:(1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. 5 / 7 (2)设事件 a为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 b为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 c 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”,则 c=a b,a,b独立. 根据投篮统计数据,p(a)=35,p(b)=25. p(c)=p(a)+p(

15、b)=3535+2525=1325. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率为1325. (3)ex=. 17.(本小题 14 分)(2014 北京,理 17) 如图,正方形 amde 的边长为 2,b,c 分别为 am,md 的中点.在五棱锥 p-abcde中,f 为棱 pe 的中点,平面 abf与棱 pd,pc 分别交于点 g,h. (1)求证:abfg; (2)若 pa底面 abcde,且 pa=ae,求直线 bc 与平面 abf 所成角的大小,并求线段 ph 的长. 分析:(1)首先利用 amed 得到 ab平面 pde,然

16、后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线 bc 的方向向量和平面 abf的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据 h 在 pc 上,设出 h 的坐标,然后利用平面 abf的法向量与 垂直确定参数取值,进而求出 h 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度. (1)证明:在正方形 amde 中,因为 b是 am 的中点, 所以 abde. 又因为 ab平面 pde,所以 ab平面 pde. 因为 ab平面 abf,且平面 abf平面 pde=fg, 所以 abfg. (2)解:因为 pa底面 abcde,所以 p

17、aab,paae. 如图建立空间直角坐标系 a-xyz,则 a(0,0,0),b(1,0,0),c(2,1,0),p(0,0,2),f(0,1,1), =(1,1,0). 设平面 abf的法向量为 n=(x,y,z),则 ab = 0,af = 0,即 = 0, + = 0. 令 z=1,则 y=-1.所以 n=(0,-1,1). 设直线 bc 与平面 abf 所成角为 ,则 sin =|cos|=|bc |bc | =12. 因此直线 bc 与平面 abf 所成角的大小为6. 设点 h 的坐标为(u,v,w). 因为点 h 在棱 pc 上,所以可设 = (01), 即(u,v,w-2)=(2

18、,1,-2), 所以 u=2,v=,w=2-2. 因为 n 是平面 abf的法向量, 所以 n =0,即(0,-1,1)(2,2-2)=0,解得 =23, 6 / 7 所以点 h 的坐标为(43,23,23). 所以 ph=(43)2+ (23)2+ (-43)2=2. 18.(本小题 13 分)(2014 北京,理 18)已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x0,2. (1)求证:f(x)0; (2)若 asin0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为 g(x)=sin x-cx(0,2)与 0 的大小关系,注意对参数 c 的取值要分 c0,c1 和 0c1 三种情况进行分类讨论,

19、然后利用边界值求出 a 的最大值与 b 的最小值. (1)证明:由 f(x)=xcos x-sin x 得 f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 因为在区间(0,2)上 f(x)=-xsin x0 时,“sina”等价于“sin x-ax0”;“sinb”等价于“sin x-bx0 对任意 x(0,2)恒成立. 当 c1 时,因为对任意 x(0,2),g(x)=cos x-c0, 所以 g(x)在区间0,2上单调递减. 从而 g(x)g(0)=0 对任意 x(0,2)恒成立. 当 0cg(0)=0. 进一步,“g(x)0 对任意 x(0,2)恒成立”当且仅当 g(2

20、)=1-2c0,即 00 对任意 x(0,2)恒成立;当且仅当 c1 时,g(x)0 对任意 x(0,2)恒成立. 所以,若 asinb 对任意 x(0,2)恒成立,则 a 的最大值为2,b 的最小值为 1. 19.(本小题 14 分)(2014 北京,理 19)已知椭圆 c:x2+2y2=4. (1)求椭圆 c 的离心率; (2)设 o 为原点,若点 a在椭圆 c 上,点 b在直线 y=2 上,且 oaob,试判断直线 ab 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. 分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出 a,c,即可求得离心率 e;(2)分别设出 a,b两点的坐标,先利用 o

21、aob求出两点坐标之间的关系,然后根据 a,b两点横坐标是否相等分类,分别求出原点 o 到直线 ab 的距离,将其与圆的半径2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆 c 的标准方程为24+22=1. 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c=2. 故椭圆 c 的离心率 e=22. (2)直线 ab与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 7 / 7 设点 a,b的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x00. 因为 oaob,所以 =0,即 tx0+2y0=0,解得 t=-200. 当 x0=t 时,y0=-22,代入椭圆 c 的方程

22、,得 t= 2, 故直线 ab的方程为 x= 2, 圆心 o 到直线 ab的距离 d=2,此时直线 ab与圆 x2+y2=2 相切. 当 x0t 时,直线 ab的方程为 y-2=0-20-t(x-t), 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 o 到直线 ab的距离 d=|20-t0|(0-2)2+(0-t)2. 又02+202=4,t=-200, 故 d=|20+2020|02+02+40202+4=|4+020|04+802+16202= 2. 此时直线 ab与圆 x2+y2=2 相切. 20.(本小题 13 分)(2014 北京,理 20)对于数对序列 p:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),记 t1(p)=a1+b1,tk(p)=bk+maxtk-1(p),a1+a2+ak(2kn),其中 maxtk-1(p),a1+a2+ak表示 tk-1(p)和 a1+a2+ak两个数中最大的数. (1)对于数对序列 p:(2,5),(4,1),求 t1(p),t2(p)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,