2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)文

1、1 / 16 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷湖北卷) 数学数学(文科文科) 本试题卷共 5页,22 题.全卷满分 150分.考试用时 120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2b铅笔将答题卡上试卷类型 a 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题

2、卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 湖北,文 1)已知全集 u=1,2,3,4,5,集合 a=1,2,b=2,3,4,则 bua=( ). a.2 b.3,4 c.1,4,5 d.2,3,4,5 答案:b 解析:ua=3,4,5,b=2,3,4,故 bua=3,4.故选 b. 2.(2013 湖北,文 2)已知 00)个单位长度后,所得到的图象关于 y轴对称,则 m的最小值是(

3、). a.12 b.6 c.3 d.56 答案:b 解析:y=3cos x+sin x=2sin(x +3)的图象向左平移 m个单位长度后得 y=2sin(x + m +3)的图象.又平移后的图象关于 y 轴对称,即 y=2sin(x + m +3)为偶函数,根据诱导公式 m的最小正值为6,故选 b. 7.(2013 湖北,文 7)已知点 a(-1,1),b(1,2),c(-2,-1),d(3,4),则向量ab 在cd 方向上的投影为( ). a.322 b.3152 c.-322 d.-3152 答案:a 解析:因为ab =(2,1),cd =(5,5),所以向量ab 在cd 方向上的投影为

4、|ab |cos=|ab |ab cd |ab |cd |=ab cd |cd |=(2,1)(5,5)52+52=322.故选 a. 8.(2013 湖北,文 8)x 为实数,x表示不超过 x的最大整数,则函数 f(x)=x-x在 r 上为( ). 4 / 16 a.奇函数 b.偶函数 c.增函数 d.周期函数 答案:d 解析:由题意 f(1.1)=1.1-1.1=0.1,f(-1.1)=-1.1-1.1=-1.1-(-2)=0.9,故该函数不是奇函数,也不是偶函数,更不是增函数.又对任意整数 a,有 f(a+x)=a+x-a+x=x-x=f(x),故 f(x)在 r上为周期函数.故选 d.

5、 9.(2013 湖北,文 9)某旅行社租用 a,b两种型号的客车安排 900名客人旅行,a,b两种车辆的载客量分别为 36人和 60人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21辆,且 b型车不多于 a型车 7辆,则租金最少为( ). a.31 200元 b.36 000元 c.36 800 元 d.38 400 元 答案:c 解析:设需 a,b 型车分别为 x,y辆(x,yn),则 x,y需满足36x+ 60y 900,y-x 7,x,y,设租金为 z,则 z=1 600 x+2 400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为 x

6、=5,y=12,此时 z 最小等于 36 800,故选 c. 10.(2013 湖北,文 10)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是( ). a.(-,0) b.(0,12) c.(0,1) d.(0,+) 答案:b 5 / 16 解析:f(x)=ln x-ax+x(1x-a)=ln x-2ax+1,函数 f(x)有两个极值点,即 ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数 g(x)=x+1x与函数 y=2a 在(0,+)上有两个不同交点.因为 g(x)=-xx2,所以 g(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以 g(x)m

7、ax=g(1)=1,如图. 若 g(x)与 y=2a有两个不同交点,须 02a1.即 0a12,故选 b. 二、填空题:本大题共 7小题,每小题 5分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.(2013 湖北,文 11)i为虚数单位,设复数 z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1=2-3i,则z2= . 答案:-2+3i 解析:z1在复平面上的对应点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),故 z2=-2+3i. 12.(2013 湖北,文 12)某学员在一次射击测试中射靶 10次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4

8、,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为 ; (2)命中环数的标准差为 . 答案:(1)7 (2)2 解析:平均数为7+8+7+9+5+4+9+10+7+410=7, 标准差为 (7-7)2+ (8-7)2+ (7-7)2+ (9-7)2+ (5-7)2+ (4-7)2+ (9-7)2+ (10-7)2+ (7-7)2+ (4-7)210 =2. 6 / 16 13.(2013 湖北,文 13)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入 m的值为 2,则输出的结果i= . 答案:4 解析:由程序框图,i=1后:a=1 2,b=1 1,ab?否;i=2后:a=2 2,b=1 2,ab?否;

9、i=3后:a=4 2,b=2 3,ab?否;i=4后:a=8 2,b=6 4,ab?是,输出 i=4. 14.(2013 湖北,文 14)已知圆 o:x2+y2=5,直线 l:xcos +ysin =1(0 2,故圆上有 4 个点到该直线的距离为 1. 15.(2013 湖北,文 15)在区间-2,4上随机地取一个数 x,若 x满足|x|m的概率为56,则 m= . 答案:3 解析:由题意-2,4的区间长度为 6,而满足条件的 x取值范围的区间长度为 5,故 m取 3,x-2,3. 16.(2013 湖北,文 16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接

10、雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸) 答案:3 7 / 16 解析:由题意盆内所盛水的上底面直径为28+122=20(寸),下底面半径为 6 寸,高为 9寸,故体积为v=139(102+62+106)=588,而盆上口面积为 142=196,故平地降雨量为588196=3(寸). 17.(2013 湖北,文 17)在平面直角坐标系中,若点 p(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 p为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为

11、 s,其内部的格点数记为 n,边界上的格点数记为 l.例如图中abc是格点三角形,对应的 s=1,n=0,l=4. (1)图中格点四边形 defg 对应的 s,n,l 分别是 ; (2)已知格点多边形的面积可表示为 s=an+bl+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多边形对应的n=71,l=18,则 s= (用数值作答). 答案:(1)3,1,6 (2)79 解析:由图形可得四边形 defg 对应的 s,n,l分别是 3,1,6.再取两相邻正方形可计算 s,n,l的值为2,0,6.加上已知 s=1时 n=0,l=4,代入 s=an+bl+c可计算求出 a=1,b=12,c=-1,故当 n=

12、71,l=18时,s=71+12 18-1=79. 三、解答题:本大题共 5小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(2013 湖北,文 18)(本小题满分 12 分)在abc中,角 a,b,c对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2a-3cos(b+c)=1. (1)求角 a的大小; (2)若abc的面积 s=53,b=5,求 sin bsin c 的值. 解:(1)由 cos 2a-3cos(b+c)=1,得 2cos2a+3cos a-2=0, 即(2cos a-1)(cos a+2)=0, 解得 cos a=12或 cos a=-2(舍去). 8 / 1

13、6 因为 0a0,上式不成立; 当 n为奇数时,(-2)n=-2n-2 012,即 2n2 012,则 n11. 9 / 16 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为n|n=2k+1,kn,k5. 20.(2013 湖北,文 20)(本小题满分 13 分)如图,某地质队自水平地面 a,b,c 三处垂直向地下钻探,自 a点向下钻到 a1处发现矿藏,再继续下钻到 a2处后下面已无矿,从而得到在 a处正下方的矿层厚度为a1a2=d1.同样可得在 b,c处正下方的矿层厚度分别为 b1b2=d2,c1c2=d3,且 d1d2d3.过 ab,ac 的中点m,n 且与直线 aa2平行的平

14、面截多面体 a1b1c1-a2b2c2所得的截面 defg为该多面体的一个中截面,其面积记为 s中. (1)证明:中截面 defg是梯形; (2)在abc中,记 bc=a,bc边上的高为 h,面积为 s.在估测三角形 abc 区域内正下方的矿藏储量(即多面体 a1b1c1-a2b2c2的体积 v)时,可用近似公式 v估=s中 h 来估算.已知 v=13(d1+d2+d3)s,试判断 v估与 v 的大小关系,并加以证明. (1)证明:依题意,a1a2平面 abc,b1b2平面 abc,c1c2平面 abc, 所以 a1a2b1b2c1c2. 又 a1a2=d1,b1b2=d2,c1c2=d3,且

15、 d1d2d3. 因此四边形 a1a2b2b1,a1a2c2c1均是梯形. 由 aa2平面 mefn,aa2平面 aa2b2b,且平面 aa2b2b平面 mefn=me, 可得 aa2me,即 a1a2de. 同理可证 a1a2fg,所以 defg. 又 m,n分别为 ab,ac的中点, 则 d,e,f,g 分别为 a1b1,a2b2,a2c2,a1c1的中点, 即 de,fg分别为梯形 a1a2b2b1,a1a2c2c1的中位线. 因此 de=12(a1a2+b1b2)=12(d1+d2),fg=12(a1a2+c1c2)=12(d1+d3), 而 d1d2d3,故 defg,所以中截面 d

16、efg 是梯形. 10 / 16 (2)解:v估v.证明如下: 由 a1a2平面 abc,mn平面 abc,可得 a1a2mn. 而 ema1a2,所以 emmn, 同理可得 fnmn. 由 mn是abc 的中位线,可得 mn=12bc=12a 即为梯形 defg 的高, 因此 s中=s梯形defg=12(d1+d22+d1+d32)a2=a8(2d1+d2+d3), 即 v估=s中h=ah8(2d1+d2+d3). 又 s=12ah,所以 v=13(d1+d2+d3)s=ah6(d1+d2+d3). 于是 v-v估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d

17、1)+(d3-d1). 由 d1d20,d3-d10,故 v估0,b0,已知函数 f(x)=ax+bx+1. (1)当 ab 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x0时,称 f(x)为 a,b关于 x 的加权平均数. 判断 f(1),f(ba),f(ba)是否成等比数列,并证明 f(ba)f(ba); a,b的几何平均数记为 g.称2aba+b为 a,b的调和平均数,记为 h.若 hf(x)g,求 x的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+), f(x)=a(x+1)-(ax+b)(x+1)2=a-b(x+1)2. 当 ab时,f(x)0,函数 f(x)在(-,

18、-1),(-1,+)上单调递增; 当 ab时,f(x)0,f(ba) =2aba+b0,f(ba) = ab0, 故 f(1)f(ba) =a+b22aba+b=ab=f(ba)2, 即 f(1)f(ba) = f(ba)2,(*) 所以 f(1),f(ba),f(ba)成等比数列. 因a+b2 ab,即 f(1)f(ab), 由(*)得 f(ba) (ba). 由知 f(ba)=h,f(ba)=g. 故由 hf(x)g,得 f(ba)f(x)f(ba).(*) 当 a=b时,f(ba)=f(x)=f(ba)=a. 这时,x 的取值范围为(0,+); 当 ab时,0ba1,从而ba ba, 由

19、 f(x)在(0,+)上单调递增与(*)式, 得baxba, 即 x的取值范围为ba,ba; 当 a1,从而ba ba, 由 f(x)在(0,+)上单调递减与(*)式, 12 / 16 得baxba,即 x的取值范围为ba,ba. 22.(2013 湖北,文 22)(本小题满分 14 分)如图,已知椭圆 c1与 c2的中心在坐标原点 o,长轴均为 mn且在 x 轴上,短轴长分别为 2m,2n(mn),过原点且不与 x 轴重合的直线 l与 c1,c2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 a,b,c,d,记 =mn,bdm和abn 的面积分别为 s1和 s2. (1)当直线 l与 y轴重合时,若 s1

20、=s2,求 的值; (2)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 s1= s2?并说明理由. 解:依题意可设椭圆 c1和 c2的方程分别为 c1:x2a2+y2m2=1,c2:x2a2+y2n2=1. 其中 amn0,=mn1. (1)解法 1:如图 1,若直线 l与 y轴重合,即直线 l的方程为 x=0,则 s1=12|bd|om|=12a|bd|,s2=12|ab|on|=12a|ab|,所以s1s2=|bd|ab|. 在 c1和 c2的方程中分别令 x=0, 可得 ya=m,yb=n,yd=-m, 于是|bd|ab|=|yb-yd|ya-yb|=m+nm-n=+1-1. 若s

21、1s2=,则+1-1=, 化简得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故当直线 l与 y 轴重合时,若 s1=s2,则 =2+1. 13 / 16 图 1 解法 2:如图 1,若直线 l与 y 轴重合,则 |bd|=|ob|+|od|=m+n,|ab|=|oa|-|ob|=m-n; s1=12|bd|om|=12a|bd|, s2=12|ab|on|=12a|ab|. 所以s1s2=|bd|ab|=m+nm-n=+1-1. 若s1s2=,则+1-1=,化简得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故当直线 l与 y 轴重合时,若 s1=s2,则 =2+1. (2)解法 1:如

22、图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 s1=s2. 图 2 根据对称性,不妨设直线 l:y=kx(k0), 点 m(-a,0),n(a,0)到直线 l的距离分别为 d1,d2,则 因为 d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以 d1=d2. 14 / 16 又 s1=12|bd|d1,s2=12|ab|d2, 所以s1s2=|bd|ab|=,即|bd|=|ab|. 由对称性可知|ab|=|cd|, 所以|bc|=|bd|-|ab|=(-1)|ab|, |ad|=|bd|+|ab|=(+1)|ab|, 于是|ad|bc|=+1-1. 将 l的方程分别与 c1,c2的方程联立,可求得 xa=ama2k2+m2,xb=ana2k2+n2. 根据对称性可知 xc=-xb,xd=-xa,于是 |ad|bc|=1 + k2|xa-xd|1 + k2|xb-xc| =2xa2