2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文 (2)

1、天津文科1.(2012天津,文1)i是虚数单位,复数=().a.1-ib.-1+ic.1+id.-1-ic=1+i.2.(2012天津,文2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为().a.-5b.-4c.-2d.3b由约束条件可得可行域:对于目标函数z=3x-2y,可化为y=x-z,要使z取最小值,可知过a点时取得.由得即a(0,2),z=3×0-2×2=-4.3.(2012天津,文3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为().a.8b.18c.26d.80cn=1,s=0+31-30=2,n=2;n=2<4,s=2+32-31=8

2、,n=3;n=3<4,s=8+33-32=26,n=4;44,输出s=26.4.(2012天津,文4)已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为().a.c<b<ab.c<a<bc.b<a<cd.b<c<aaa=21.2,b=20.8,21.2>20.8>1,a>b>1,c=2log52=log54<1.c<b<a.5.(2012天津,文5)设xr,则“x>”是“2x2+x-1>0”的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必

3、要条件a由2x2+x-1>0,可得x<-1或x>,“x>”是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件.6.(2012天津,文6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为().a.y=cos 2x,xrb.y=log2|x|,xr且x0c.y=,xrd.y=x3+1,xrb对于a,y=cos 2x是偶函数,但在区间内是减函数,在区间内是增函数,不满足题意.对于b,log2|-x|=log2|x|,是偶函数,当x(1,2)时,y=log2x是增函数,满足题意.对于c,f(-x)=-f(x),y=是奇函数,不满足题意.对于d,y=x3+1是非奇非偶函数,

4、不满足题意.7.(2012天津,文7)将函数f(x)=sin x(其中>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则的最小值是().a.b.1c.d.2df(x)=sin x的图象向右平移个单位长度得:y=sin.又所得图象过点,sin=0.sin=0.=k(kz).=2k(kz).>0,的最小值为2.8.(2012天津,文8)在abc中,a=90°,ab=1,ac=2.设点p,q满足=,=(1-),r.若·=-2,则=().a.b.c.d.2b设=a,=b,|a|=1,|b|=2,且a·b=0.·=(-)·(-)=(1-)b-

5、a·(a-b)=-a2-(1-)b2=-4(1-)=3-4=-2,=.9.(2012天津,文9)集合a=中的最小整数为. -3|x-2|5,-5x-25,-3x7,集合a中的最小整数为-3.10.(2012天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 30由几何体的三视图可知:该几何体的顶部为平放的直四棱柱,底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m的长方体.几何体的体积v=v棱柱+v长方体=×4+4×3×2=6+24=30 m3.11.(2012天津,文11)已知双曲线c1:-=1(a>0

6、,b>0)与双曲线c2:-=1有相同的渐近线,且c1的右焦点为f(,0),则a=,b=. 12c1与c2的渐近线相同,=2.又c1的右焦点为f(,0),c=,即a2+b2=5.a2=1,b2=4,a=1,b=2.12.(2012天津,文12)设m,nr,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点a,与y轴相交于点b,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,o为坐标原点,则aob面积的最小值为. 3l与圆相交所得弦的长为2,=,m2+n2=2|mn|,|mn|.l与x轴交点a,与y轴交点b,saob=·=·×6=3.13.(2012天津,

7、文13)如图,已知ab和ac是圆的两条弦,过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点c作bd的平行线与圆相交于点e,与ab相交于点f,af=3,fb=1,ef=,则线段cd的长为. 由相交弦定理得af·fb=ef·fc,fc=2.由afcabd,可知=,bd=.由切割弦定理得db2=dc·da,又da=4cd,4dc2=db2=,dc=.14.(2012天津,文14)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是. (0,1)(1,2)y=函数y=kx过定点(0,0).由数形结合可知:0<k<1或1&l

8、t;k<koc,0<k<1或1<k<2.15.(2012天津,文15)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,列出所有可能的抽取结果;求抽取的2所学校均为小学的概率.(1)解:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)解:在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为a1,a2,a3,2所中学分别记为a4,a5,大学记为a6,则抽取2所学校的所有可能结果为a1,a2,a1,a3,a1

9、,a4,a1,a5,a1,a6,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6,共15种.解:从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件b)的所有可能结果为a1,a2,a1,a3,a2,a3,共3种.所以p(b)=.16.(2012天津,文16)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos a=-.(1)求sin c和b的值;(2)求cos的值.(1)解:在abc中,由cos a=-,可得sin a=.又由=及a=2,c=,可得sin c=.由a2=b2+c2-2bccos a,得b2+b

10、-2=0.因为b>0,故解得b=1.所以sin c=,b=1.(2)解:由cos a=-,sin a=,得cos 2a=2cos2a-1=-,sin 2a=2sin acos a=-,所以,cos=cos 2acos-sin 2asin=.17.(2012天津,文17)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,adpd,bc=1,pc=2,pd=cd=2.(1)求异面直线pa与bc所成角的正切值;(2)证明平面pdc平面abcd;(3)求直线pb与平面abcd所成角的正弦值.(1)解:如图,在四棱锥p-abcd中,因为底面abcd是矩形,所以ad=bc且adbc.又因为adpd,

11、故pad为异面直线pa与bc所成的角.在rtpda中,tanpad=2.所以,异面直线pa与bc所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面abcd是矩形,故adcd,又由于adpd,cdpd=d,因此ad平面pdc,而ad平面abcd,所以平面pdc平面abcd.(3)解:在平面pdc内,过点p作pecd交直线cd于点e,连接eb.由于平面pdc平面abcd,而直线cd是平面pdc与平面abcd的交线.故pe平面abcd,由此得pbe为直线pb与平面abcd所成的角.在pdc中,由于pd=cd=2,pc=2,可得pcd=30°.在rtpec中,pe=pcsin 30°=.由a

12、dbc,ad平面pdc,得bc平面pdc,因此bcpc.在rtpcb中,pb=.在rtpeb中,sinpbe=.所以直线pb与平面abcd所成角的正弦值为.18.(2012天津,文18)已知an是等差数列,其前n项和为sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记tn=a1b1+a2b2+anbn,nn*,证明tn-8=an-1bn+1(nn*,n>2).(1)解:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d.由条件,得方程组解得所以an=3n-1

13、,bn=2n,nn*.(2)证明:由(1)得tn=2×2+5×22+8×23+(3n-1)×2n,2tn=2×22+5×23+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.由-,得-tn=2×2+3×22+3×23+3×2n-(3n-1)×2n+1=-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,即tn-8=(3n-4)×2n+1,而当n>2时,an-1bn+1=(3n-4)×2n+1.所以,tn-8=an-1

14、bn+1,nn*,n>2.19.(2012天津,文19)已知椭圆+=1(a>b>0),点p在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设a为椭圆的左顶点,o为坐标原点.若点q在椭圆上且满足|aq|=|ao|,求直线oq的斜率的值.(1)解:因为点p在椭圆上,故+=1,可得=.于是e2=1-=,所以椭圆的离心率e=.(2)解:设直线oq的斜率为k,则其方程为y=kx,设点q的坐标为(x0,y0).由条件得消去y0并整理得=.由|aq|=|ao|,a(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,而x00,故x0=,代入,整理得(1+k2)2

15、=4k2·+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线oq的斜率k=±.20.(2012天津,文20)已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,xr,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为m(t),最小值为m(t),记g(t)=m(t)-m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.(1)解:f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x

16、)=0,得x1=-1,x2=a>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a).(2)解:由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0<a<.所以,a的取值范围是.(3)解:a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在-3,-1上单调递增,在-1,1上单调递减,在1,2上单调递增.当t-3,-2时,t+30,1,-1t,t+3,f(x)在t,-1上单调递增,在-1,t+3上单调递减.因此,f(x)在t,t+3上的最大值m(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t-3,-2时,f(t)f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在-