2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)文

1、1 / 13 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学试题卷（文史类） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设全集 u=mn=1,2,3,4,5,mcun=2,4,则 n= a1,2,3 b 1,3,5 c 1,4,5 d 2,3,4 2若, a br，i为虚数单位，且()ai ibi+=+则 a1a =，1b = b1,1ab= = c1,1ab= d1,1ab= = 3“1x ”是“1x ” 的 a充分不必要条件 b必要不充分条件 c 充分必要条件 d既不充分又不必要条件 4设图 1 是某几何体的

2、三视图，则该几何体的体积为 a942+ b3618+ c9122+ d9182+ 5通过随机询问 110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 2 / 13 总计 60 50 110 由22()()()()()n adbckad cd ac bd=+ 算得，22110(40 302020)7.860 5060 50k= 附表： 2()p kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 a有 99%以上的把握认

3、为“爱好该项运动与性别有关” b有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” c在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关” d在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关” 6设双曲线2221(0)9xyaa=的渐近线方程为320 xy=，则 a的值为 a4 b3 c2 d1 7曲线sin1sincos2xyxx=+在点 m（4，0）处的切线的斜路为 a 12 b 12 c 22 d 22 8已知函数2( )1, ( )43xf xeg xxx= +，若有( )( )f ag b=，则 b的取值范围为 a 22,22+ b 22,2

4、2+ c 1,3 d ()1,3 二、填空题：本大题共 8小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 3 / 13 （一）选做题（请考生在 9、10 两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1的参数方程为2cos ,3sinxy=（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 o 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 c2的方程为()cossin10+ =，则 c1与 c2的交点个数为 10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4次优选试验，则第二次试点可以是 （

5、二）必做题（1116 题） 11若执行如图 2 所示的框图，输入11x =， 2342,4,8xxx=则输出的数等于 12已知 f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3， 则 f（2）=_ 13设向量 a，b 满足|a|=25，b=（2，1），且 a与 b的 方向相反，则 a 的坐标为_ 14设在约束条件下，目标函数 的最大值为 4，则的值为 15已知圆直线 （1）圆的圆心到直线 的距离为 （2）圆上任意一点到直线 的距离小于 2 的概率 为 16给定，设函数满足：对于任意大于的正整数， （1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ； 1,m 1yxymxxy+5zxy=+m22:

6、12,c xy+=:4325.lxy+=clcal*kn*:fnnkn( )f nnk=1k =f1n =4 / 13 （2）设，且当时，则不同的函数的个数为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 12分） 在abc 中，角 a,b,c所对的边分别为 a，b，c，且满足 c sina=acosc （i）求角 c的大小； （ii）求3sina-cos（b+4）的最大值，并求取得最大值时角 a、b 的大小. 18（本小题满分 12分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量

7、x（单位：毫米）有关，据统计，当 x=70 时，y=460；x每增加 10，y 增加 5已知近 20 年 x 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （）完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220 （）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦

8、时）或超过 530（万千瓦时）的概率 4k =4n 2( )3f nf5 / 13 19（本小题满分 12分） 如图3，在圆锥中，已知的直径 的中点 （）证明：ac 平面pod; （）求直线 oc和平面pac所成角的正弦值. 20（本小题满分 13分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备m，m的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年到第 6 年，每年初m的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开po2,poo=2,abcabdac=点 在上,且 cab=30为6 / 13 始，每年初m的价值为上年初的 75% （）求第n年初m的价值na的表达式； （）设12.nnaaaa

9、n+=，若na大于 80 万元，则m继续使用，否则须在第n年初对m更新，证明：须在第 9 年初对m更新 21（本小题满分 13分） 已知平面内一动点p到点(1,0)f的距离与点p到y轴的距离的差等于 1 （）求动点p的轨迹c的方程； （）过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l，设1l与轨迹c相交于点,a b，2l与轨迹c相交于点,d e，求,ad eb的最小值. 22（本小题满分 13分） 设函数1( )ln ()f xxax arx=. 7 / 13 （）讨论函数( )f x的单调性. （）若( )f x有两个极值点12,x x，记过点11( ,(),a xf x22(,()b x

10、f x的直线斜率为k.问：是否存在a，使得2ka=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 15 bcada 68 cbb 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题解分，共青团员 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 （一）选做题（请考生在第 9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 92 1040或 60（只填一个也正确） （二）必做题（1116 题） 8 / 13 11154 126 13（-4，-2） 143 15（1）5（2）

11、16 16（1），（2）16 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分） 解析：（i）由正弦定理得 因为所以 （ii）由（i）知于是 取最大值 2 综上所述，的最大值为 2，此时 18（本题满分 12 分） 解：（i）在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 （ii）p（“发电量低于 490万千瓦时或超过 530 万千瓦时”） ()a a为正整数sinsinsinc

12、os.caac=0,asin0.sincos .cos0,tan1,4accccc=从而又所以则3.4ba=3sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,46612623abaaaaaaaaa+=+=+=从而当即时2sin()6a+3sincos()4ab+5,.312ab=1203204207203202209 / 13 (490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010p yyp xxp xp xp x=+=+=+=或或 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率为 19（本题

13、满分 12 分） 解法 1：（i）因为 又 po底面o，ac底面o，所以 acpo，而 od，内的两条相交直线，所以 （ii）由（i）知，又 所以平面在平面中， 过作则连结， 则是上的射影， 所以是直线和平面所成的角 在1,sin30.2rt odaodoa=中 在221222,3124po odrt podohpood=+中 在 20（本题满分 13 分） 310,oaoc dac=是的中点,所以acod.po是平面pod;acpod平面,acpod平面,acpac 平面,podpac平面podoohpd于h,ohpac平面chchocpac在平面ochocpac2,sin3ohrt ohc

14、ochoc=中10 / 13 解：（i）当时，数列是首项为 120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，m的价值的表达式为613010 ,6370( ),74nnn nan= (ii)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时， 当时，由于 s6=570.故 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第 9年初对 m 更新 21解析：（i）设动点的坐标为， 由题意为 化简得 6n na10120 10(1)130 10 ;nann=6n na6a34670a =6370 ( );4nna=nnansnan16n1205 (1),120

15、5(1)1255 ;nnsnn nann=7n 666786333()570704 1 ( )780210 ( )4443780210 ( )4.nnnnnnssaaaan=+=+ =nana8 69 68933780210 ( )780210 ( )4779448280,7680,864996aa=p( , )x y22(1)| 1.xyx+=222|,yxx=+11 / 13 当、 所以动点 p 的轨迹 c的方程为 （ii）由题意知，直线的斜率存在且不为 0，设为，则的方程为 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为 设则同理可得 故 12123434()1()1x xx

16、xx xxx=+ + 当且仅当即时，取最小值 16 22（本小题 13分） 20,4 ;0 xyxx=时当时,y=0.2,4 (0)0)yx xx=和y=0(.1lk1l(1)yk x=2(1)4yk xyx=2222(24)0.k xkxk+=1122( ,), (,),a x yb xy12,x x1212242,1xxx xk+=+=12ll2l1k3344(,), (,),d xyb xy2343424,1xxkx x+=+=221kk=1k = adeb12 / 13 解析：（i）的定义域为 令 (1) 当故上单调递增 (2) 当的两根都小于 0，在上，故上单调递增 (3) 当的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减 （ii）由（i）知， 因为，所以 又由(i)知，于是 若存在，使得则即亦即 ( )f x(0,).+22211( )1axaxfxxxx+= +=2( )1,g xxax=+其判别式24.a=| 2,0,( )0,afx时( )(0,)f x+在2a 时, 0,g(x)=0(0,)+( )0fx ( )(0,)f x+在2a 时, 0,g(x)=0221244,22aaaaxx+=10 xx( )0fx 12xxx( )0fx 2xx( )0fx ( )f x12(0,),(,)xx +