量子力学教程答案第二版

1、量子力学习题及解答第一章量子理论基础1. 1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长'm与温度T成反比，即入的一阶导数为零，由此可求得相应的入的值， 记作 m。但要注意的是, 还需要验证 对入的二阶导数在-m处的取值是否小于零， 如果小于零, 那么前面求得的-m就是要求的，具体如下：精选资料，欢迎下载解根据普朗克的黑体辐射公式3rd -8柿1dv(1)c讦ekT -1以及'v = c,(2)Jdv- Jd ,(3)九m T=b （常量）； 并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 kT1-ehc-5 - kT1hc而丿1叵=01-尸hchc如果令x=，则上述方

2、程为-kT5（1 -）二 x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得： x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有+d入之间的辐射能量密8-hc1= 5hcA-e此T _i 这里的'.的物理意义是黑体内波长介于入与入 度。mT -xk把x以及三个物理常量代入到上式便知 mT 二 2.9 10，m K这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量 分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体） 的发光颜色来判定温度的高低。本题关注的是入取何值时，厂取得极大值，因此，就

3、得要求对1. 2在0K附近，钠的价电子能量约为 3eV,求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv,如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E动 4ec2）,那么2E 2血如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51106eV，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有、h人=P=h-2%E_ he2AeC2E1.24X0°=|m2 0.51 106 3-0.71 10m0.71 nm在这里，利用了_6he = 1.24 汇 10 eV m以及ec2=0.51 10

4、6eV最后，对、 he扎 =-作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长 就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子 的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱， 而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱， 显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在 微观世界才能显现。31 3氦原子的动能是E kT （ k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原2子的德布罗意波长。解根据1k=10°eV ,知本题的氦原子的动能为33E kT k K=1.5 10 eV,22显然远远小于 核c2这样，便有-

5、he-2核c2E1.24 10 2 3.7 109 1.5 10 = 0.37 10m二 0.37nmX一可解出这里，利用了丄核 c4 931 106eV =3.7 109eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样，其相庆的德布罗意波长就为一. hehe¥；2叱笔j2Akc2T据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种 粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布 的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统

6、计分布玻色分布或 费米公布。2叫E-；kx2）这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正 一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据1 2Ekx222E这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量 子化条件，有x_ 2（E-；kx2）dx x（）2（E - ；kx2）dx = nh1 . 4利用玻尔一一索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T,玻尔磁子 Mb =9 10,4J，试计算运能的量子化间隔 E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔一一索末菲的量子化条件为

7、2(E- 1 kx2)dx = nh2pdq 二 nh二C（E 予x2）dh为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；其中q是微观粒子的一个广义坐标， p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为 k,谐振子质量为，于是有x2Es卄 k这样，便有2P2J丄kxH 2二 2丄 Ecos2)d_2这样，便有312、2 忙 COST这时，令上式左边的积分为22E , " cos2- nh弓 .k2A，此外再构造一个积分这样，便有这里:=2 B,这样,!-：2E2孔2E2就有、% -2E-.k卩 ° °cos2 呻2E k

8、 cos2刃(2“A-U"sin 0根据式（1）和（2）,便有这样，便有Ek专hk，(1)V 二讥k,其中h =2兀最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了; 其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有2.Vq BR二p =丄=qBR这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为2 二° qBRd（R）二 nh=qBR2 2二-nh='qBR2 二 nh2又因为动能耐E =斗'，所以，有2 2 2 2E (qBR) q B R 22qBn二nB丄24nBNB,于是，有hcc其中，Mb =9 是玻尔磁子，这样，发现量子

9、化的能量也是等间隔的，2卩而且 ：E =BM b具体到本题，有AE =10 汉9 汇 10,4J =9 汉 10, . 5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量 相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以 怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子 场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒， 动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个 光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小, 因而所对应的波长也就最长，而且，有E = hv = J

10、eC2此外，还有J根据动能与温度的关系式3E kT2以及1k，K =10°eV =1.6"02J可知，当温度 T=4K时，E =1.5汉 4 汉 1.6 汉 10,2J =9.6 汉 102J 当温度T=100K时，E =1.5 汉 100 汉 1.6 汽 102 J =2.4疋100 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的 间隔。hc2eC1.24 100.51 106= 2.4 10,2m2.4 10 nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小 的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化 为像正反质子对之

11、类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长 将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转 化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象 就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能 的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令? (r, t) - (r)f(t)(1)=(r)e2mi-EtiEt *(r)e ' C (r)e )*(r)e_'iEt2m iiI* N* NJ (r)(r)(r)(r) 2mi.EtC (r)e )*(&#

12、39;1 11 1)2mi'_ 1 ikrz 1. ikr x1e(e)-(2mr:rrri'111 1(-2 "-ik )-(-2mrrr rkk-2 ro _ 3rmrmr4与r同向。表示向外传播的球面波。Ji_ikr1 ikr、e 古)ro-1r2ik-)ror可见J与t无关。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度: J2i C?'-2eikrr1-ikrer从所得结果说明1表示向外传播的球面波， 传播的球面波。'；2表示向内（即向原点）解：J1和J2只有r分量2mi r1-kr2m r一屮2P屮在球坐标中= r0 . e ?.:r2 '

13、( -2m rk2mrr。可见,J2与r反向。ik-)rkrmrikre1_ikr(-尹)ro :r r(-12 一 ik)r° r r表示向内（即向原点）传播的球面波。补充：设一化？' （x）二eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归: J 屮 *dx = dx =°°cOoO2波函数不能按”屮（x） dx=1方式归一化。oO其相对位置几率分布函数为2国=屮 =1表示粒子在空间各处出现的几率相同。' （x0寧 2（x） = 0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。d 2（x） 2mE,.万程可变为 务厂2（x） = 0dx2衣22.3一粒子

14、在一维势场人 2 2mE令k厂，得U(x) = <0,x ： 00 二 x 二 a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U（x）与t无关，是定态问题。其定态S方程yx),dx其解为2(x) = Asin kx B coskx B,由连续性条件,2 d2 今（x） U（x） （x）2 m dx在各区域的具体形式为根据波函数的标准条件确定系数A,屮2（0）=屮1（°）'- 2（a）3（a）=B = 0I2 d2x ： 0八i(x) Ug'- Hx)二 i(x)2m dx2n护d20 辽x2' 2(x)二 E- 2(x)2m dx出Asinka 二 02 d

15、2x a2一 3（x） U （x）- 3（x）二 E'- 3（x）2m dx由于（1）、（3）方程中，由于U （x），要等式成立，必须sin ka = 0二 ka 二 n_由归一化条件(n = 1,2,3, )-2（X）二Asin xaa典2Asin0'- (x)2dx=1O02 n 二xdx 二 1aabsinx sinxdx 拧 mn"Jn2 2dx= j A sin-a(x a)dx“2 a 1 冲n ：A _ 1 _ cos 二 2aa(x a)dx'-2(x)二k22 . n二 sin x a2mE一27：2'222man2（n =1,2,3

16、,）可见E是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为2 . n 冃 n(x,tasinxe0,A2A 2a1归一化常数A =A2cos二(x a)dxx a, x a#24 证明（2.6-14 ）式中的归一化常数是证屮=n（2.6-14）由归一化，得AA sina(x a),0,x ax aa sin(x a2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。2 xe2解（小：2二1（X）=1O2x2屮 1(x)2 = 4,32工2 : 2x2x eJ TT3(x) 2 -2 312x-22x3eJudxdx-：2-?2x21x =二：x = 0 x =a由(x)的表达式可知，x=0 ,x=:时，

17、1(x)=0。显然不是最大几率的位置。而山乞dx2/342 2(1 -5： 2x2Jit(2 _6： 2x2) _2： 2x(2x_2： 2x3)e*-2： "x4)”"d2 i(x)dx24>3 1=-2 4 1 ： 0x=1- e"2可见X.是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (-x)二U (x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态2 d2(x) U(xr (x)2dx2S-方程为将式中的X以(-X)代换，得” d；屮(x)+U (x)屮(x) =Ebx)利用 U ( -x) =U

18、(x)，得2dx2(-x) U(xr (-x)二 E (-x)比较、式可知，(-X)和(x)都是描写在同一势场作用下的 粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此匸(-X)和' (x)之间只能相差一个常数 c。方程、可相互进行空间反演(X-X)而得其对方，由经 X-； X反演，可得，二(_x) = c'- (x)由再经-X > X反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等 价的。二(x) = c'- (_x)乘，得屮(X严(_x) = c(X艸(_x)可见，c 1C = ±1当c 时，- (-X)(X)，- '- (X)具有偶宇称，当

19、c = 1 时， t (-'- (X)具有奇宇称，当势场满足 U (-x) =U (x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。2.7一粒子在一维势阱中0 0,0,运动，求束缚态(0 ： E ： U 0)的能级所满足的方程。精选资料，欢迎下载解法一：粒子所满足的S-方程为2 d2 弋'- (x) U(x)'- (x)二 E'- (x)2dx2按势能U (x)的形式分区域的具体形式为h2川：，-：3 kj-r =0各方程的解为匚=Ae" Bekix2dxd2dy - i(x) Uo=(x)二 E(x)-:：:x : a2 d-l(x)二 E'2(x)

20、-a -x - a2 d22dx2- 3(x) - U。- 3(x)二 E3(x)a ： x ：:整理后，得2 二 Csin k2x D cosk2x' 3 二 Ee k1x - Fe4由波函数的有限性，有屮1H°)有限二A=o屮3®)有限n E = 0因此Bek1x3 二 Fe%由波函数的连续性，有i：2 巴U°-E): 1-2；1 =0一2川：爲_"(UoE儿一2=0令 k；2SE)'2k；2aE'2=(-a) = 2(fa), ： Be°1a =-Csink2a Dcosk2a(10)1 (-a)2(-a), ：

21、k1Be°1a = kzCcoskza kzDsin k?a(11)2 (a) = 3(a),= Csi n k2a D cosk2a = Fe"(12)2(a)3(a),= k2Ccosk2a-k2Dsink2a- -k1Feu<1a(13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得e出1aB sin k2aC - cosk2aD 0 = 0k1eJ<1a k2 cosk2aC - k2 sin k2a D 0 = 0则I:n：.0 sink2aC cosk2aD-e*aF 二 00 k2cosk2aC-k2sink2aD k1e1a 0

22、解此方程即可得出 B、C、D F,进而得出波函数的具体形式，要方 程组有非零解，必须精选资料，欢迎下载-kia ekakie00-k2 sin k2acosk2a-k2sin k2a0-k1a-e 1kie- ke_kiasin k2asin k2ak2 cosk2aCsin k2a D cosk 2a =k2 .,cosk2sink2asink2a cosk2aki22cosk2sink2axik2-(sink2a cosk2a)ki二 0k；(-122)sin2k2a -ki(k； - k；)sin2k2a - 2kpk2 cos2k2a 二 0cos2k2a = 0#解法三：(ii)-(

23、i3)二 2k2Dsink2a 二 kiJ<ia(B F )(i0)+(i2) = 2D cosk2a =e*a(B F)sin k?a-coskza 0k2cosk2a k2si nk2a0sin k?acosk 2ae"-k ak2 cosk2a -k2Sin k2a kiBe 1k2 cosk2a 0=e°iasi nk?akzcoskza-cosk2a 0 cosk 2 a-e"-k2si nk2a kie ia二 e*ia _kik2e *ia cos2 k2a k；e±iasink2acosk2a kik2eJ'ia sin2

24、k2a k；e°iasin k2acosk2a- _kie*iakie*ia sink2acosk2a k2eiacos2 k2a be" sin k2acosk2a -k2e*a sin2 k2a二 e°kia _2kik2 cos2k2a k； sin2k2a-ki2sin2k2a二 e°kia(k； - k：)sin2k2a -2屮2 cos2k2a/ e°kia = 0(k| - k； )sin 2k2 -2kik2 cos2k2a 二 0即(k： -ki2)tg2k2a -2kik2 =0为所求束缚态能级所满足的方程。 解法二：接(i

25、3)式k 2k2一Csink2a Dcosk2aCcosk2aDsin k2ak ik i-乞 Ccoskza 上 Dsira kiki-(2 cosk2a sink2a)(E sink2a - cosk2a) k1k1-('cosk2a sink2a)(-k2 sink2a - cosk2a)二 0 kiki(2 cosk2a sinkza) sink2acosk2a)二 0k1k1电2 sink2acosk2a 2 sin2 k2 72 cos k2a-sink2acosk2a = 0 kiki2k2(11) -(13)(10) (12)k 2 tgk= k 1(11) +(13)

26、 = 2k2C cosk2a =-k/F - B)e_ikia(12) -(10) = 2Csink2a =(F-BjeZ(11) (13)(12) -(10)k2ctgk, -kl令 F：二k2a, 二 k2a,则tg 二或ctg -訴2合并(a)、b):tg2k2a(a)2A(U。E) 1 _ 评' 124E，晋屮2"屮；24(U°-E)22U°a2k2“一2°-2k1k2利用tg2k2a解法四：(最简方法-平移坐标轴法)A2I：i Uo'十 Eh (x< 0)2 1一2n：2、E'2(0<x< 2a)2 1

27、-2川：3：Uo,3 二 Eh(x> 2 a)2 1(c)(d)(f)2tgk2a1tg2k2aE < U0'123因此=0(1)kj2(U0 -二 0(2)k；二 2E '2=0(3)Be-k1 x02E)：2束缚态0 <' 3k1 x=Ae二 C sin k2x D cosk2x =Ee k1x Fe*x屮1(工)有限 3f )有限k1x二 Ae'十Fe如由波函数的连续性，有= (0) J 2(0),= a =D(4)-1 (0)2(0),= MA = k?C(5)2 k a2(2a)l(2a),二 k2Ccos2k2a - kzDsin2

28、k2a = -kiFe 1(6)2(2a)3(2a),二 Csin2k2a Dcos2k2a 二Fe(7)(7)代入(6)k2k2,C sin2k2a Dcos2k2aCcos2k2aDsin2k2ak1k1«, X £ 0，U0,0 兰 x c a,U (x)=：-U1, a 兰 xEb,0,b ： x ，求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态S-方程为' (x) U(x)-(x) = E'-(x)精选资料，欢迎下载Dsi n2k2a1 U(x)十 E- 12(x ： 0)-22 U。- 2 占2(0 _ x ： a)22

29、02 2-2-歹 j-U3 二 ES(a虫x咗b)-244(b ： x)24 4I：n： 川:IV:-2对于区域I, U(x)二：，粒子不可能到达此区域，故屮 1(x) = 0利用、(5),得kkAsin 2k2a A cos2k2a =-Acos2k2a2k2k1k kA( 12)sin2k2a 2cos2k2a二 0k2k1A = 0k k(12) sin2k2a 2cos2k2a = 0k2 k1两边乘上(弋水2)即得(k2 -kf)sin2k2a -24X2 cos2k2a = 0#对各区域的具体形式为2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为而 (叮 E)l0=0对于束缚态

30、来说，有 -U :： E ：02 -賦- 2 = 03 - ©3=0*4 k4 "各方程的解分别为ki22仙-E)h22l (U1 E)h2k： - -2吒厂23(b) - 4(b)= Csin k2b Dcosk2b 二 Fe3b3(b)二 4(b)= Ck2 sin k2bDk2 cosk2b 二-Fk3k3b由、，得kia. kqaki e i e ikia. kia由(k?ck2 e ek2b)C - 0k2 s k2b)D(巴 cosk2b sink2b)C =( k3C coskza - D cosk2aCsink2a D cosk2 a、 = (-k3s k2

31、bnc-(k3c k2b)Dk 2cosk2b sink2b)D 工 k3(12)kia. kiae1 ekia. kiae 1 efk3( cosk2a sink2a)'-Aekix Be"3 = C sin k2x D cosk2x= Ee k3x Fe%由波函数的有限性，得=CJ 有限，=E =0.屮 4=Fe»3X由波函数及其一阶导数的连续，得屮0)=屮2(0)二 B = A二二 A(ek3x -e3x)-2(a)3(a)= A(ek3x e山x) =Csin k2a D cosk2a峪，则式变为k2(sink2a - cosk2a)C ( cosk2a s

32、ink2a)D = 0 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须k2k2(2 cosk2b+ sinkzb) (-一sink2b+ coskzb) k3'(P sink2a - cosk2a)' 3(a) = 3(a)= Ak1 (ek3a e 心)=Ck2 cosk2a _ Dk2 sin k2ak22cosk2bcosk2a2sink2bsink2 sink2bcosk2ak3kt"。)(汁)kia kiaki e 1 e )kia. kia /tgk2(b-a) =(4kia-kia(ekia- eia)(kia 丄k ia、e e )k2-sink2

33、a-k2cosk2asink2bk2 cosk2 bk2 sink2acosk2b-k2sink2bkse_k3ak( cosk2a sink2a)( 2coSk2b sink2b) -( sink2a-cosk2a) k3k2(sink2b cosk2b) -0k3k2k3 k 2k?sink2bsink2asink2bsink2asink2bcosk2a)-k3k3- cosk2bsink2a cosk2bcosk2a = 0ksin k2(b-a)(2) cosk2(b-a)(k3k2tgk2(b-a) =( i 严k3代入即得ki akia " / ( .ik3 e - ek

34、3 k? e - e即为所要求的束缚态能级所满足的方程。附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。-cosk2a0k2 sink2a0coskzb- e_ksa-k2sink2b kse"-k2 cosk2a0= (eki a -尸 a) sink2bk2 cosk2b-sink2a- cosk2a0_ kje" + e"1) = sink2bcosk2b-e_k3ak2 cosk2b - k2 sink2b k3e_k3a= (eki a -e" a)( - k2k3e_k3a cosk2acosk2b_ kje3* sink2acosk2 k2k

35、3e3asink2asink2 忙严玄 cosk2asink2b)-k, (eki b e bXk2k3e_k3b sink2acosk2 k2e_k3bcosk2acosk2b k3e_k3bcosk2asink2 k2e_k3bsink2asink2b)二(ekia - e a )-k2k3 cosk2(b - a) k； sink2(b- a)k3b-(ekaea )k k3sin k2(b - a) kik2 cosk2(a)e_k3b=eki a-(kk3 )k2 cosk2(b- a) (k； - ki k3)sink2(b - a)e3b_k a2kbe 丄(k - k3)k2

36、cosk2(b - a) (k2 kk3 )sink2(b- a)e_3-0102kb=-（匕k3）k2 （k2 -kik3）tgk2（b-a）e 3-（匕-ksM （k； kik3）tgk2（b-a）e±3b =0（k； -kik3）e2kia -（k； kik3）tgk2（b-a） -（匕 kse2" -'（ki -3）k = 0此即为所求方程。#补充练习题一在界限外发现振子的几率为- % 2 2j= J ex dx +V Ji 丄oGL石i一 =a。ae-：2x2dxao（-?x21、设（xAe 2 一 G 为常数），求 A = ?解：由归一化条件，有2：2-

37、_ 2 2-:2x2e dxa0(偶函数性质2 * fix22 1 血 rix21 =A2 工- d（x） =A2 e x d（: x）: 2e«x） d（： x）a022 - 2二 L.edy-1 2J# dy2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。.2 二 1. 2、2 :仓2/2edt为正态分布函数a' 2_t2 / 2£ /2dt（令 y=21 t）解：基态能量为E设基态的经典界限的位置为a，则有式中J 2兀 当x 2时的值匸(一 2)。查表得C 2) = 0.92：二二 0.92 =2(1 0.92)=0.16在经典极限外发现振子的几率为e#/2

38、dt0.16。精选资料，欢迎下载 - x3、试证明*(x)二、'e 2 - (2- x -3： x)是线性谐振子的波函 飞3J兀数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的 S-方程为-J厶匸(x)代入式左边，得dx_id!2dx左边=2 d2- (x)1七)22m)d 异-丄，2x2dx 22- (X)把' (x)代入上式，有4 2 7-(x ： x 一 (x)x - (x)4(x)dxdxv2x(2：3x3-3：x) (6：3x23：)e2(2： 3x3 -3： x). "2x2'e 2一 (-2： 5x49 3x2 _3：)3 :d" (x)

39、d_ Idx2j. -1 ：-23 edx |x25432(-2a5x4 +93x2 _3。)丄I"3_54 亠.32(-2 5x4 9- 3x2 -3 ) e 2 一 (-8： 5x3 18 3x) (x)_1、2x2- (x)(x)2 2 2二(x)2右边=E： (x)当E = 时，左边=右边。n = 32' (x)二 ' d x (2 3x3 - 3x)，是线性谐振子的波 Y扳dx函数，其对应的能量为 O2z 42= (- x-7用第三章 量子力学中的力学量-7- 2f (x)精选资料，欢迎下载22J3.1一维谐振子处在基态' (x)二2 2't

40、，求:dx-： 2 "x2e(1)_ 1势能的平均值U二丄丄.222p解:dx动量的几率分布函数。(1)2 i :x2eV7 *dx2 '、-.二 2J2：4J4JE -UJlI"?'2c(p)二' ；(x)- (x)dx=-4匕计怙3 5 ：0-1)二2n 1 na牡 2一: *(x)厂(x)dx1aee1a'率衣yv2V2x2P2-ex2e"e"ipdxdxdx:丄-?x22护2dx-2：2*却dxot一22 二:212 2:2x2)e" x dx一尹2p2动量几率分布函数为精选资料，欢迎下载2p222co(

41、p) =c(p)2e 二 2二：13-e二 a； '0 '0 '0 r-2r / aor sin J drdv d3.2.氢原子处在基态-:(r, )1 3 e/a0，求：v'71- ao(1) r的平均值；2e(2) 势能 的平均值；r(3) 最可几半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数。解(1) F = Jr 即(r ,日,®)冷£ =f re'r/a0r2sidrd& d®nao3ao二 2二二 _2r/aeorsinr drdr d0 0 0r drQOt n -ax ix e dx0n!=n

42、 -1a4ao3!43 aor3ar/aodr03ao24e23ao/ ao.ao2 eao(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为二 2 二- (r)dr(rj, ) r sinT drd d :'(r)d(r)dr4-2r/ao 2_e r ao43(2ao4ao-2r/ao er 2dr-r)rer/aoao人 d'(r)令0，厂0, D",raodr当口 = 0, r2二：时，(r) = 0为几率最小位置d2 ' (r)dr2(2r 弓 r2)/aoaoaoao精选资料，欢迎下载i(4)d (r)drr二a°是最可几半径。T?2兀2-10r

43、or =a°23a°<01；： (r2 ' )1' (sinr ' I |r ;:r sin 一一:sin 1 厂1 ：oC!> n _ax .x e dx 二 0 九八（尹（2二）3/2 二a： ip 0n!n 1aAe"0' 2(e/a0)r2sindr daoaa。-r2- (/a0)r2sinr drdr d r2 dr dr12a； 3ip二4ipa。,2r 丄)e*a0 dr0a024a：办4.2a3'： a0 (a°2p2-2)2(2*)3/2一二(a°2p2 一2)2(5) c

44、(p)二(rj, )d 动量几率分布函数1C(P)= F17：a0-r / a,r 2dr -prcos ve sin ： d -0国(p)= c(p)2 二(2二)3/2 厂 a3：氏乂心0ndr0e一新3.3d (- cos 二)2 二（2二）3/2."30：r2e/a0drhipr2兀衣1（2二了气试iP 丄一丄p）2 a°办8a泸52 /2 2 4(aoP)证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer = Jej_ 0Jee mJ rsin证：电子的电流密度为精选资料，欢迎下载e2n r ；:rr 一 刃 rsim ：,.* 1-" -

45、1 ,.-"n m (er一 ee 1) 一 n m crr 胡 rsin日。甲二-叫erC'nm；m；mnm) ' C； n m" im2rrr nm1 *nm) e( "nm*nm"nm*nm)r 一rsin一r sin:'-匚(Tm* n mJe3.4的。(1)(SI)=Mz(CGS)(SI)MzLz(CGS)- i “*、JeeRfnmnm"m)i在球极坐标中为厂-81-8-1&' =er： e:r r . v r sin 一式中er、e_、 e为单位矢量- i - 、1 -：Je - -eJ -

46、 -en m(er e e.：' nm中的r和二部分是实数。ie办2"r sin计 sin 二可见，Jer 二 JeV _ 0J”去咋m片sin廿由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成求一圆周电流的磁矩。 证明氢原子磁矩为'me I24me I 2弋原子磁矩与角动量之比为e_PC这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为dM = iA 二 Je dS A(i为圆周电流，A为圆周所围面积)= _Fm 誹 nm ?dS " (rsin 日)2 r sin -一亨兀rsin耳屮nfm2dS-竽二 r2 sin» nm '

47、;drd(dS 二 rdrd 旳(2)氢原子的磁矩为2精选资料，欢迎下载2 d2在CGS单位制中e mdM =00 _="nmememem2、原子磁矩与角动量之比为MMzLzLzJT2二 0 /"nme mPC(SI)右(SI)M zLz(CGS)3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是HL22，L2I dd2 ()为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1)(2)转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有2 2L 二 Lz2 d22哈米顿算符2"其本征方程为(H?与t无关，属定态问题)令m2占d2 (：)，则卅2取其