结构力学期末考试及答案

1、（6分）图示结构是变体系（简述分析过程）多余约束的几何1IIIII2, 3I777771,317此题应先计算W再分析是否 几何可变。如果W>0,则一定 为几何可变；如果W=0则无多 余约束；如果W<0则有多余约 束。解：先计算体系的计算自由度 W如果以结点为观察对象： W = 2j - b = 2 X 6-16 =0以刚片为对象： W = 3m-2j-b = 3 X 12 - 2 X 16 - 4 =0以三角形组成的不变体系I和II加大地为III组成三刚片 体系。刚片1和2以二平行的连杆组成平行于地面的无穷 远处虚铰，实铰（1, 3）和（2, 3）与此无穷远虚铰不成 一线，因而体系

2、为几何不变。由于 W=0所以本体系为无多余约束的几何不变体系（15分）快速作下列3个图示结构弯矩图F77777由C点弯矩为零可以判断支座 F的 水平反力必须向右，得 DF段M图。由右部无垂直支承知梁 BC要承担 剪力F。得BC段M图。BD段内无外力作 用，其M图必为一直线，得 CD段M图。F处的水平力只能由 A点向左的水 平力平衡，所以得 DA段M图。BD段没有竖向剪力，M值不变。A点的水平反力左向以平衡F,得BA段M图左斜。在F延长线与BA交点处M=Q(b)AC? M(c)铰A C处M=QDE段无剪力，M不变。BD段无外力，M为一直线，由已知 的D点和C点将直线延到B点。AB段无外力，M为一

3、直线，由已知 的B点和A点作直线。（10 分）已知 EI = 3.15C点的竖向位移10 kNmm ,求图示等截面梁解:1、先求支座反力，然后根 据支座反力作荷载下的弯 矩图Fa =Fb 45" =135kN2Mmax二Fa 3-45 32A 2=135 3-202.5 =202.5kNm2、为求梁C点处的竖向位 移，在C点处施加一竖向单 位力。求单位力作用下的支 座反力，并由此做出单位力 作用下的弯矩图M。3、根据求位移的单位力法BArM Mi"EIdx ei_62(2 202.50)-6一3.15一1010一10(故C点的竖向位移为25.7mm，方向向上。简支梁的跨中弯

4、矩可直接 由M max二ql求得8一般情况下是需要先求的 反力然后再作弯矩图的，然而 在很多情况下单位力作用下的 弯矩图可以不通过求反力直接 作出，本例即是如此。CM M,dxB段的积分为0因为在BC段+0 = -f0M207m()dx+ 负号表示实际位移与单位力的方向相反。注意EI的单位从kNmm换算至U kNn2。为画c点左侧的剪力影响线，应在C点左侧制造一单位剪切位移，因C点1 12m四、 （6分）用机动法作图示连续梁支座 C左侧的剪力 影响线是一竖向支座，其右侧不可有任何竖向 位移，因此只能是其左侧上移一单位位 移。B点为铰，可适应此位移， AB段不 能有任何位移。BCD段内不容许有剪

5、切位移以外的 的任何位移，因此，CD必须保持与BC段平行。D点为一铰可容许转角发生。E点位支座，不容许竖向位移发生, 由D、E两点即可得到DF段的形状机动法假定结构为刚体，只有支座 和连接条件容许的变形和单位虚位移才 能发生 。五、（13分）选用适当的方法分析图示超静定梁，作注，原题为 El=5.2 X108KNmm2，数弯矩图，求D点的竖向位移。设梁的El=5.2 Xi010KNmm2o据不合理解：如采用位移法分析以B点转角为未知位移50kN40kN/mB5m3iMi18012535M p80180M708515=125 -35 =90kNmr11R1 pR1 pM bc =M F bc -

6、3iZ125 - 3iZ1位移法典型方程:由此得:作弯矩图考虑AB中点弯矩BD段:5m3i11Z1 R1 p =0i = EI/5rn = 3i + 3i = 6i240 X52=125kNmM FbaM F BCJ5840 22: 50 22-35kNm2M Fcd =40 250 22= 180kNm= 80kNmM。由弯矩图可求得支座反力:段（见右侧脱离体图）F Ay240 5 80 一2=84kN ,52-M40 2.52、M ab =84 2.585kN2丄40疋7250 7 亠802Fey250 kN5中点弯矩汕八250“5 一警一50wkNmMmcd =40勺 50 汇1 = 7

7、0kNm2本题采用力法和位移法均为一个未 知量，作为比较，先用位移法分析， 再用力分析得出荷载作用下超静定 结构的弯矩图，然后根据单位力法求 D点的竖向位移注意，CD段为静定，C点的任何位移不会 引起CD段的内力变化，因此 Mcd保持在180kNm。当B点固定时、C点有弯矩时， B点为C点的远端，因此，Mcd的一半会 传递到MFbc。40kN/mMb=80FAyFBy五、力法分析：以C点的支座反40kN/m40kN/mir5m50kNI I NC 7<>7 D50kN5mB力为未知力 力法典型方程:'11X'L-1P =°对基本结构:FPAy541_166

8、khMM ab = -166 2.5240 2.5作为比较，现用力法分析 本题MI5401330 630180-540kNm2MMbc=_50S5_=-630kNmB'.-当单位荷载作用于基本体系时:1 5F Ay1585805180/ 70M%= 2 5 5 5i EI EI83.3EIMpM心1P =迟 - x15 52 540 13305 52 630 133083.36一 El二 El _='：1P =250:如Xi所以:据此,M ab =Mb 二 M bpMcmmXiM a =0M abp x1M AB - -540 250 2.5 =85kNmXiM b - -13

9、30 250 5 - £0kNmMMbc =M bcp x1M bc =-630 250 2.5 =5kNm=Mo XiM c = 180 250 0 = -180kNmMMCD =MX1M CD画弯矩图 M240 150 1250 0=70kNm2五（续）当分析超静定结构得到弯矩图M40kN/m50k N I180A之后，即可由单位力法求算任意 一点的位移。为了计算D点的垂直位移，要 将一个垂直的单位力加在一 个由原超静定结构除去冗余约束之后的静定结构上，为了 计算简单，取静定结构位如左80570第三图所示：单位力作用下的弯矩图M VD如左第四图。M M vd ds El超静定结构

10、分析得到结 构的全部支座反力和内力。 由 于此平衡力系满足所有平衡 条件和位移条件，任何一个支 座均可被一个与支座反力相 等的外力取代，即任何一个支 座均可被除去而不会影响原 结构的内力和变形，因此，在 用单位力法计算位移时，可将 单位力加在任意一个由原超 静定结构除去冗余约束后的 静定结构上。ad C一一 +B C M M vdM M vdds 亠 idsEl b ElM M vd dsElM VDM5305.2 1010 10=0.0102m注意单位转换_0 . 5 22 5 180-6EI2 21802 706 El六、（20分）利用对称性，选用适当的方法分析图示刚架， 作 结构弯矩图，

11、已知EI为常数。解：本结构为一称刚架，将荷载分解为对称荷载和反对称荷载的叠加, 分别分析然后叠加：141tCPPDCPPD+ABAB先分析对称荷载作用下的刚架，由对称性，原结构变成:P用位移法分析此结构，以D点的转角为位置位移，位移 法典型方程：r11Z-RiP =0R1P2EI34EI+411EI一、1一mJ 一3P 48 r11 、10P6P_11正M3P2 4EI64EI4 M 14EI3A 12P11由此算得M ACM CAM CEM EC=0 +Z1汉旦36P112EI12PR1P18P片 11EI二 0 Z1311= _3P.乙 EI =_12p2411PEI10PLJ - -Z

12、1 ：-2411由此画弯矩图6P11再分析反对称荷载作用下的刚架,由对称性，原结构变成：用力法分析此结构，以 E点 的竖向反力位未知力，力法 典型方程： ti xi ，=仲=0777772m2PM P=-.MiM i、ii 二 EI ds3523EI4x4x46 述4 x 4 十6.：1P =6 4 2P 112 2P 2 42百一 6_164P-3EIXlii =0.466P由此算得z0.932P反M0Mac =-2P Xi 4 = -0.136PM CA =2P 4=0.136PMce =2P Xi 4 = -0.136PM M ec =0 xi 2 =0.932PM EC =0由此画弯矩

13、图i.23P0.955P正和M反叠加:M ACM CAi.84iPI0.409P0.6i8PMM CEMECECDCDBBD6P=一0.i36P =0.409Piii2P+0.i36P =i.23Piii2P一0.i36P=i.23P iii0P=-0.932P = -i .84iP iii0P 丄c c cccr+0 = -0.909Piii2P一0.i36P=0.955Piii2P-+0.i36P=0.955P ii6P-一一0.i36P=-0.68iP ii七、 （12分）位移法分析图示刚架，作结构弯矩图解：B点转角为未知位移ZiC点转角为未知位移Z2位移法典型方程：ri1 Z1 

14、9; ri2Z2 ' R1 = 0r21 Z1 ' r22Z2 ' R2 0设 i=EI6Rp = _135kNmR2P =135-22.5 =112.5kNmii4i 8i =12i斤2 =21 = 4i22 = 8i 4i 18i =30i12iZ1 4iZ2 -135=04i Z1 30iZ2 112.5 =013.081Z1 =解得：i5494Z2 - i叠加得：Mab =0 - 2iZ1 - 0 =26.16kNmM ba =0 4iZ10 =52.32kNmMBC =-135 - 8iZt 4iZ2 =53.32kNmMcb =135 4iZ1&Z2

15、 =143.37kNmMce - -22.5 01 18iZ2 =121.39kNmMcd =0 01 4iZ2 - -21.98kNmM dc =0 01 2iZ2 - -10.99kNm八、（10分）用力法分析图示超静定桁架，求各杆的内力解：一次超静定桁架，以C支座 的竖向力为未知力 xi,力法典型 方程：.：11X1*L_ip 二0一 F n F n|2m2m礼一7監鼻12 8.2EAC-Fn F Nl占p =瓦EAEA'1P = i 2 P =0.071P32、2由Fn+X1 F n计算各杆内力，见表的最后 一列。本桁架为外部超 静定，对于未知力 的选择可以有多 种，选C支座反

16、力 的原因是在外荷 载作用下的内力 计算比较简单（DC， BC 和 AB 均为0杆）单位力作用在基本体系（F N ）杆FnF NLF n F n LF n FnLFn+X1 F nAB012200.414PAD血P-运2242-4应P0.828PBD-P228-4P-0.172PDC0-込2<24在0-0.586PBC012200.414P12+'2-4&2 +1)P九、（8分）图示超静定梁C支座下沉6mm，用位移法分析，作梁的弯 矩图。 设梁的 El=6 xi010KNmm2。解：方法一，将支座下沉作为荷载，B点的转角位移为未知位移 Zi位移法方程：riiZi RP 0i = EI/5BA5mc=0.006m ( J ) rii=4i+3i=7iM5mMpRip = -(3i/5) Ac乙一Rprii二 3：c35所以:M AB = 2iZi6 6 i0i0 iO(35汉5用位移法分析时， B点的转角位移是 未知位移，而C点 的竖向位移是已 知位移，列位移法 方程时可以将将C 点下沉作为荷载， 也可将