函数的联系性连续函数的性质实用教案

1、一、连续函数的局部一、连续函数的局部(jb)(jb)性质性质0 xf 在在点点若若函函数数所谓连续函数局部性质就是指:连续(linx)(左连续(linx)或右连续(linx),则可推知 f 在点 x0 的某 号性、四则运算(s z yn sun)的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保第1页/共106页第一页，共107页。0|( )|()| 1.f xf x0|,xx 当当时时0|( )()|1,f xf x故| f (x) | 的一个明确(mngqu)的上界.0fx因因为为在在连连续续，存在存在所以对所以对,1 证,0 1, 取取这这个个特特定定的的值值注意:我们在证

2、明有界性时,0, “对对于于任任意意的的” 这这样样可可求求得得而不是用术语0().fU x在在某某邻邻域域上上有有界界连连续续，在在点点若若函函数数0 xf定理4.2（局部有界性）则第2页/共106页第二页，共107页。),0)()( rxfrxf或或00(,),xxx当时 有当时 有, 0 存在存在000|( )()|(),f xf xf xr 000()( ()0),rf xf xrr 或或的的正正数数存存在在0,fx若若函函数数在在点点连连续续 且且定理4.3（局部保号性）, )0)(0)(00 xfxf或或则对任意一个满足 000,fxfxr 因因为为在在连连续续 所所以以对对正正数

3、数证000,(,),xxx 当当时时第3页/共106页第三页，共107页。(2)( )( ),f xg x (1)( )( ),f xg x .2)(0 xfr 注 在具体应用保号性时,我们经常取 . 0)( rxf 于是证得( ),( )f xg x若函数若函数定理4.4（连续函数的四则运算） 则函数则函数连续连续均在点均在点,0 x0(4)( )/ ( ),()0f xg xg x(3)( )( ),f xg x 0.x在在点点也也是是连连续续的的第4页/共106页第四页，共107页。此定理的证明可以直接(zhji)从函数极限的四则运算得01( )nnP xaa xa x也是连续函数.我们

4、知道,常函数 与线性函数 都是 R 上 y = cy = x到, 具体过程请读者(dzh)自行给出.的连续函数, 故由四则运算(s z yn sun)性质, 易知多项式函数 第5页/共106页第五页，共107页。0101( )( )nnmmaa xa xP xQ xbb xb x 同理,有理函数(yu l hn sh)(分母不为(b wi)零)同样是连续函数.下面这个(zh ge)定理刻划了连续这个(zh ge)性质在复合运算下00,().uf x 连连续续0( ( ).g f xx则复合函数在点连续则复合函数在点连续0( )g uu在在点点0( )f xx若若函函数数在在点点连连续续，定理4

5、.5是不变的.第6页/共106页第六页，共107页。,01 存在存在01|,uu 当当时时 有有0| ( )()|,g ug u 证 ,0 因此对于任意的因此对于任意的0( ),g uu由由于于在在点点连连续续01( ),0 ,f xx 又又因因为为在在点点连连续续 故故对对上上述述00,|,xx存存在在当当时时有有001|( )()| |,f xf xuu 00| ( ( )( ()| | ( )()|,g f xg f xg ug u 于是(ysh)第7页/共106页第七页，共107页。0( ( ).g f xx这这就就证证明明了了在在点点连连续续 对这个定理我们再作一些讨论,以加深(ji

6、shn)大家对该定000(1)lim( ), lim( ),uuxxg uAf xu由由不不一一定定有有请大家(dji)仔细观察定理4.5 的证明, 看看此时究竟哪0lim( ( ).xxg f xA理的认识(rn shi).里通不过.第8页/共106页第八页，共107页。).(lim()()(lim000 xfgugxfgxxxx )*(应用定理4.5,就得到所0( ).f xx使使得得在在点点连连续续(*)式相应的结论(jiln)仍旧是成立的.,)(lim,)()2(000uxfuugxx 连续连续在在若若则有00lim( )xxf xu 若将若将改为 需要的结论.,)(lim0uxfx

7、0)(limuxfx ,)(lim0uxfx 或或事实上,只要补充定义（或者重新定义）00()f xu 第9页/共106页第九页，共107页。上述(1)和(2)究竟(jijng)有什么本质的区别呢? 请读者作. 0)1(limsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx 求求例122sin(1)( )sin ,(1)xg uu ux可可视视为为的的复复解合，所以(suy)出进一步的讨论(toln).第10页/共106页第十页，共107页。例2.sin2lim0 xxx求求解( )1,g uuu因因为为在在连连续续 所所以以. 112)sin2(limsin2lim10

8、 xxxxxx例3.)11sin(limxxx 求求解1lim(1)e ,sine,xxuux因因为为在在点点连连续续所以. esin)11sin(lim xxx第11页/共106页第十一页，共107页。 均有使得对一切存在,0DxDx),)()()()(00 xfxfxfxf , ,.a b 上上的的整整体体性性质质 证证明明将将在在第第七七章章里里给给出出.,上连续上连续在闭区间在闭区间设设baf在本节中将研究 f 在二、闭区间二、闭区间(q jin)(q jin)上连续函数上连续函数的性质的性质定义1( ).f xD设设为为定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数若( )(),f x

9、D则则称称在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 称称为为最最大大 小小 值值0()( )().f xf xD称称为为在在 上上的的最最大大 小小 值值点,第12页/共106页第十二页，共107页。的最大值不存在,最小值为零.注意:xxy 既无最大值,又无最小值.22yx sin(,)在在上上定理4.6（最大、最小值定理） ( )f x若若函函数数在在闭闭区区 , a b间上连续，间上连续，( ) , .f xa b则则在在上上有有最最大大、最最小小值值xysgn 例如,符号函数的最大值为1,最小值为-1;xysin 正弦函数正弦函数的最大值为1,最小值为-1;函数(其上确界为1, 下确界

10、为-1 )这个定理刻画(khu)了闭区间上连续函数的一个深刻的第13页/共106页第十三页，共107页。推论)(,)(xfbaxf则则上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数.,上有界上有界在在ba(0, 1).在在上上无无界界( )f x函数有最大、最小函数有最大、最小这是因为由定理4.6 可知,值, 从而(cng r)有上界与下界,于是 f (x) 在a, b 上是有1( ),(0 ,1)f xxx函函数数虽然也是连续函数,但是内涵,在今后的学习中有很广泛(gungfn)的应用.界的.第14页/共106页第十四页，共107页。这说明定义(dngy)在开区间和闭区间上的连续函数的性定理4.7

11、（介值性定理）,)(baxf在闭区间在闭区间设函数设函数( ( )( )( )( ),f af bf bf a间间的的任任一一数数或或.)(0 xf. )()(bfaf 且且( )( )f af b 若若 是是介介于于与与之之上连续,使得使得, ),(0bax 则(至少)存在一点质有着根本(gnbn)的区别.第15页/共106页第十五页，共107页。从几何上看,当连续曲线 从水平直线( )yf x y 的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个(y )交点.( )yf xyxo)(af)(bf ab0 x 第16页/共106页第十六页，共107页。 推论（根的存在性定理）,)(上连续上连续在在若若b

12、axf0)(0 xf应当注意, 此推论与定理4.7是等价(dngji)的. 于是, 只要则至少存在一点,0)()( bfaf,0 x使下面用确界定理来证明上述(shngsh)推论, 大家要注意学习证明(zhngmng)了推论, 也就完成了定理4.7 证明(zhngmng).确界定理的使用方法.第17页/共106页第十七页，共107页。(E为图中x 轴上的红.0)(, ,| xfbaxxE 证 不妨设 ( )0,( )0,f af b并设xyOab零点. 证明(zhngmng)如下：的最大值就是(jish)函数的线部分(b fen)从几何上看, E第18页/共106页第十八页，共107页。因为,

13、aE 所以,E 又 E 是有界的, 故由确我们(w men)来否定下面两种情形:1.00()0.f xaxb若若，则则有有由 f (x)在点 是0 x连续的, 根据保号性, 存在00 (),xb使当使当.0)( xf.0bxa 界定理, Exsup0 存在，显然),00 xxx时，仍有时，仍有00()0 ,22f xxE特特别别是是使使得得这这就就与与第19页/共106页第十九页，共107页。0sup.xE相相矛矛盾盾2. 00()0.f xaxb若若， 则则有有同样根据保号性, 0101,.xxxxE 1()0,.f x从从而而也也导导致致矛矛盾盾同时由 x0 sup E , 对上述 , 存

14、在 1,x 使使得得0000(),(,xaxxx当当时时， ( )0.f x 排除了上面两种情形后, 就推得. 0)(0 xf第20页/共106页第二十页，共107页。由介值性定理与最大、最小值定理立刻(lk)得到如下.,),(Mmbaf下面再举一些应用介值性定理(dngl)的例题.设 在 上连续, 那么它的最大值 M 与最,ba( )f x结论(jiln):小值 m 存在, 并且第21页/共106页第二十一页，共107页。0.nxr 使得使得证 先证存在(cnzi)性：,lim.nxnx 因因为为 为为正正整整数数 所所以以由极限的保号.1rxn ( )nf xx 又因为函数在又因为函数在1

15、,x性知,存在性知,存在使01(0,) ,xx .0rxn 使得00nxxr这这个个我我们们记记为为(读作 r 的 n 次算术(sunsh)根).例30,rn 若若为为正正整整数数，则存在唯一的正数,0 x, )()0(1xfrf 且且连续，10,x 上上所以存在所以存在第22页/共106页第二十二页，共107页。)(1221 nnnnnnxyxxyyxyxy, 0 ( ) 0 ,)nf xx 在在上上我们只需证明严格递增,0,x yxy使使有有即可. 事实上， ).()(yfxf 即000 , ,().xa bf xx存存在在使使例4 . ,),(,babafbaf 上连续，上连续，在在设设

16、求证:再证唯一性:第23页/共106页第二十三页，共107页。,)()(xxfxF . 0)()()()(bbfaafbFaF则则( ),( ).af af bb现现设设作辅助函数作辅助函数证.)(, )(bbfafa 由条件知由条件知.则结论成立则结论成立( )( ),af abf b若若或或( ) , ,f xa b因因在在上上连连续续( ), .F xa b故在上也连续故在上也连续.)(00 xxf ),(0bax 由由介介值值性性定定理理，存存在在0()0F x 使使，即第24页/共106页第二十四页，共107页。任意的实数(shsh) r, f (x)= r 至多有有限个解. 证明：

17、证00( , ),( ).xa bf xx只只要要证证在在点点连连续续 对对任任意意0, 由由条条件件 方方程程 )()(0 xfxf )()(0 xfxf与的解至多(zhdu)为有限个. 例5 设 在区间( ,)a b内满足介值性,并且对于( )f x 在 内连续.),(ba( )f x第25页/共106页第二十五页，共107页。1.12,nxxx设设这这有有限限个个解解为为记记10200min |,|,| ,nxxxxxx 0|,xx 当当时时0|( )()|.f xf x 由介值性条件(tiojin)不难证明：. 0 显然显然xyO )(0 xf )(0 xf0 x1 nxnx)()(0

18、 xf 0 x 0 x 第26页/共106页第二十六页，共107页。0|,xx 当当时时0|( )()|,f xf x 0( ).f xx在在点点连连续续即2. 如果解为空集, 任意取, 0 0(;)( , ),U xa b 第27页/共106页第二十七页，共107页。证 不妨设 f (x) 严格增, 那么 )(, )(bfaf就是反上连续, 且与 f (x) 有相同的单调性.)(1xf 定理4.8 若函数 f (x) 在a b , 上严格单调且连续,1( ) ( ),( )yfxf af b 在在f bf a ( ), ( )或或则反函数三、反函数的连续性三、反函数的连续性函数的定义域.)(

19、1yfx 1( ) ( ) ,( )xfyf af b 在在上上严严格格增增1. (证明见定理1.2 ).第28页/共106页第二十八页，共107页。2. 1( ) ( ),( ).xfyf af b 在在上上连连续续(如图所示).0bxa 则则),()(0bfyaf , )(010yfx 令令,0y对对于于任任意意Oxyab( )f a( )f b0 x0y每一对应1y2y0 x 0 x 任给取m in2001,y y y y 对应第29页/共106页第二十九页，共107页。),()()(21111yfyfyf .)()(0101 yfyyf即即时，时，当当)()(2001yyyyy 请读者

20、类似地证明该函数(hnsh)在端点的连续性. 1( )( ),( )xfyf af b 在在这就说明了上连续., )(, )(0201 xfyxfy, 0,min1002 yyyy 令令设设,00bxxa 对于任意的正数第30页/共106页第三十页，共107页。且严格增. 关于(guny)其它的反三角函数,cotarc,arctan,arccosxyxyxy 均可得到在定义域内连续(linx)的结论.例6( )sin22f xx由由于于在在，上上连连续续且且严严格格增增， 因此它的反函数arcsin 1 ,1yx 在在上也是连续严格(yng)增.例7()0)nyxn 由由于于为为正正整整数数

21、在在，上上连续且严在上亦为连续且nxy1 格增, 那么其反函数),0第31页/共106页第三十一页，共107页。在本节中，我们将介绍一致连续性这个(zh ge)及其重要12|()()|,f xf x 只要就有12|,xx 四、一致四、一致(yzh)(yzh)连续性连续性任意的正数0 0 , 使得对任意,存在1,2,x xI 定义2. 设 为定义在区间I上的函数, 如果对于( )f x则称 在区间I上一致连续.( )f x的概念(ginin).第32页/共106页第三十二页，共107页。首先(shuxin)来看两个例题.例8 ( )1,).f xx 证明在上一致连续证明在上一致连续证有有因为对任

22、意的因为对任意的, ),1 ,21 xx|,|12211221xxxxxxxx 0,所以对任意的正数只要取当所以对任意的正数只要取当12|xx 时时，1221|,xxxx 1).x 所所以以在在，上上一一致致连连续续第33页/共106页第三十三页，共107页。证 首先我们根据一致连续的定义(dngy)来叙述 f (x) 在区例9 1(0,1).yx 证明在内不一致连续证明在内不一致连续1212,|,xxIxx 虽虽然然但仍有.| )()(|021 xfxf1,(0,1)yxx现在来验证函数现在来验证函数确实不是一致连续(linx)的.00,() 存在对任意正数无论多么小 ，存在对任意正数无论多

23、么小 ，总有间I上不一致连续(linx)的定义：第34页/共106页第三十四页，共107页。),21(1 ，对对任任意意正正数数取取1212,|,2xxxx 令令虽虽. 111112 xx但但1(0 ,1).yx 这这就就说说明明在在内内不不一一致致连连续续1x2x1xyO试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区( )f x( )f x间I上连续(linx)的区别究竟在哪里？第35页/共106页第三十五页，共107页。仅与 有关.01(0,1),yxx比比如如在在连连续续 对于任意正数 , 所得1)yx 已已证证得得在在，上上一一致致连连续续. .这这是是由由于于答:(1) 首先, 对于, 0

24、 如果 在区间 I上连续，( )f x0 x 有有关关, ,那么, 不仅与 有关, 而且还与所讨论的点 ).,(0 x 即即而 在区间I上一致连续. 那么( )f x,2,2min020 xx 0 x,它它与与都都有有在例8中显然关.第36页/共106页第三十六页，共107页。0,.x 与无关与无关),(0 x 有有时时当当,|0 xx.| )()(|0 xfxf 过程中有一个正下界(当然00( ,)xx 若若在在的的变变化化(2) 函数 f (x) 在每一点 连续,Ix 0,0 下述定理(dngl)是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间I上就一致(yzh)连续了.这个下界只与 有关(yug

25、un), 而与x0无关), 则此时 f (x)在第37页/共106页第三十七页，共107页。上连续, 则,baf 在在,ba上一致连续. 这个定理告诉我们(w men): 定义在闭区间上的函数, 连例10 设区间1的右端点为1c , 区间2的左端定理4.9（一致连续性定理）若函数(hnsh) f 在闭区间上一致连续,)(xf则则在区间21 上也一致连续. .,2cc 并且并且证明：若)(xf分别在21, 点也为续和一致(yzh)连续是等价的. 第38页/共106页第三十八页，共107页。连续，所以分别存在 使得 ,0,021 当121121, |,x xxx 时时12|()()|,f xf x

26、 当122122, |x xxx 时时, ,12|()()|.f xf x , 0,min21 取取则对于任意的,2121xx 证 对任意的,0 因为)(xf在21,上一致121221.,.情情形形或或x xx x此时自然有12|()()|.f xf x 有以下两种情形：12|,xx 当当时时第39页/共106页第三十九页，共107页。11222.,.xx情形情形注意到1212, |, |,cxcxc 1212|()()|()( )|()( )|f xf xf xf cf xf c可得.2 综上，证得)(xf在区间21 上一致连续. 注 例10的条件 ”“21c 是重要的. 比如第40页/共1

27、06页第四十页，共107页。 32,021,1)(xxxf在区间2,1 与区间3,2( 上分别一致连续, 但在区间(q jin) 1, 3 上不连续, 当然也不一致连续. 第41页/共106页第四十一页，共107页。例11 设),)(axf在在上连续, 并且.)(limAxfx 证明),)(axf在在上一致连续.证 因为Axfx )(lim, 所以对任意的正数, 0 存在有有时，时，当当XxxaX 21,21|()()|.f xf x 又1,)( Xaxf在在上连续, 故由定理4.9可知 f (x) ,1a X 在在上一致连续. 因此对上述，存在正数, )1( 使对任意,1,21 Xaxx第4

28、2页/共106页第四十二页，共107页。只要 |21xx, 必有12|()()|.f xf x 现对任何1212, ,),|,x xaxx 讨论如下.121., ,1,x xa X情形自然有情形自然有12|()()|;f xf x 情形2. 注意到, 1 所以若情形1 不成立, 必然有,21XxXx 第43页/共106页第四十三页，共107页。.),)(,上上一一致致连连续续在在证证得得综综上上 axf于是(ysh)12|()()|.f xf x 第44页/共106页第四十四页，共107页。3 3 初等初等(chdng)(chdng)函数的连续性函数的连续性 在学习(xux)了连续函数的定义及

29、其一系一、指数函数(zh sh hn sh)的连续性二、初等函数的连续性上总是连续的.要结论：初等函数在其有定义的区间列基本性质后，现在可以证明一个重第45页/共106页第四十五页，共107页。一、指数函数一、指数函数(zh sh hn sh)(zh sh hn sh)的的连续性连续性在第一章中, 我们已经定义(dngy)了指数函数, 1, 0,R, aaxayx并指出它在 R 内是严格(yng)单调的. 所以, 若能证明指首先证明指数函数的一个重要性质. 定义域内也是连续函数.数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其第46页/共106页第四十六页，共107页。证 当, 是有理数时, 这

30、是我们熟知的一个结果.sup|.xrr xaar 为为有有理理数数,21 aaaarr对于任意, ),(0 aa 存在有理数,1 r定理4.10 设 为任意实数, 则有 、aa, 1, 0 . aaa先设, 1 a由定义，使,2 r第47页/共106页第四十七页，共107页。因为 是任意的, 所以. aaa反之, 存在有理数使使),(00 rr0.raa 再取有理数12012,rrrrr使则使则,02121 aaaaaaarrrrr于是(ysh)有.)(2121 aaaaaarrrr第48页/共106页第四十八页，共107页。仍因 是任意(rny)的, 又得. aaa这就证明(zhngmng)

31、了. aaa,10的情形的情形对于对于 a只要令,1ab 就有.)()()( abbbaa第49页/共106页第四十九页，共107页。定理4.11 指数函数)1,0( aaayx在 R上是连证 我们仍旧先假设 首先证明指数函数在.1 a0 x处连续, 即).0(1lim0faxx 这是因为对于任意的正数, )10( 取|,)1(log|),1(minlog aa|,x 当当时时|1|.xa 就就有有所以xa在 x = 0 处连续. 续的.第50页/共106页第五十页，共107页。对于一般的点,R0 x由定理4.10得到,limlimlim0000000 xxxxxxxxxxxxaaaaaa 所

32、以xaxf )(在 R 上连续. 对于,10情形情形 a只要设,1ab 由,11xxxbba就可得到相应(xingyng)的结论. 注1,1.xaya 当当时时显显然然是是连连续续函函数数第51页/共106页第五十一页，共107页。也是连续(linx)的.例1 设.)(lim,0)(lim00bxvaxuxxxx证明.)(lim)(0bxvxxaxu 推论1 对数函数log(0,1)ayx aa在定义域), 0( 上是连续的.续, 从而)(ln)(xuxv在点 x0 也连续, 于是证得 证 设)(),(,)(,)(00 xvxubxvaxu则则在点 x0 连推论2 幂函数xxylne 在定义域

33、上上), 0( 第52页/共106页第五十二页，共107页。注 例1的结论(jiln)可改写为.)(lim)(lim)(lim)(000 xvxxbxvxxxxxuaxu )(ln)(lim)(ln)()(0eelim)(lim00 xuxvxuxvxxxvxxxxxu .elnbaba 解 因为1122cos1cos1(cos )(1cos1),xxxxxx令.1cos)(,)1cos1()(21cos1xxxvxxux 例2 求.)(coslim210 xxx第53页/共106页第五十三页，共107页。,212sin2lim1coslim22020 xxxxxx由此求得122100cosc

34、os1lim(cos )lim(1cos1)xxx axxxxx , e)1cos1(lim)(lim1cos100 xxxxxu当故0|cos10,2xx时，时，121e.e 第54页/共106页第五十四页，共107页。二、初等二、初等(chdng)(chdng)函数的连续性函数的连续性我们已经知道以下函数(hnsh)在定义域内是连续的(i) 常值函数(hnsh); (vi) 对数函数.(v) 指数函数;(iv) 幂函数;(iii) 反三角函数;(ii) 三角函数;第55页/共106页第五十五页，共107页。以上六种函数称为基本(jbn)初等函数. 因为连续函数由上面的分析(fnx), 我们

35、得到如下结论：定义3 由基本初等函数(hnsh)经过有限次四则运算与复上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数. 第56页/共106页第五十六页，共107页。例3 求极限.cos)1ln(lim0 xxx . 00cos)01ln(cos)1ln(lim0 xxx定理4.12 初等函数在其有定义(dngy)的区间上是连续的. 注 上述结论中所指的“定义区间(q jin)”,今后(第十六解 因为xxcos)1ln( 是初等函数, 所以在 处连续,0 x 从而(cng

36、r)章)在一般意义下可以改为“定义域”.第57页/共106页第五十七页，共107页。例4 据理(j l)说明1,0()0,0 xfxx 不是(b shi)初等函数.解 因为0 x是)(xf的定义区间上的点, 而),0(01)(lim0fxfx 所以 在 处不连续. 因此函数 不是初0 x ( )f x( )f x等函数(hnsh).第58页/共106页第五十八页，共107页。CHAPTER FOUR货币(hub)和通货膨胀第59页/共106页第五十九页，共107页。在本章(bn zhn)，你将会学到： 通货膨胀的古典理论 causes effects social costs “Classic

37、al” 假定价格( jig)是flexible & markets clear. 适用于the long run. 第60页/共106页第六十页，共107页。U.S. inflation & its trend, 1960-20010246810121416196019651970197519801985199019952000% per yearinflation rate第61页/共106页第六十一页，共107页。U.S. inflation & its trend, 1960-20010246810121416196019651970197519801985199

38、019952000% per yearinflation rateinflation rate trend第62页/共106页第六十二页，共107页。货币和价格(jig)的联系 Inflation rate = 一般(ybn)价格水平的百分比变化 price = 购买一件商品的货币数量. 因为价格是用货币定义的，我们需要考虑货币的性质、货币供给和如何控制货币供给。第63页/共106页第六十三页，共107页。Money: definition第64页/共106页第六十四页，共107页。Money: functions1.medium of exchange交易(jioy)媒介2. we use

39、it to buy stuff3.“流动性liquidity” ：The ease with which an asset can be converted into the medium of exchange and used to buy other thingsgoods and services.4.2. store of value价值储藏5. transfers purchasing power from the present to the future6.unit of account计量单位7. the common unit by which everyone measu

40、res prices and values第65页/共106页第六十五页，共107页。Money: types1.fiat money 法定货币(hub)2.has no intrinsic value 没有内在价值3.example: the paper currency we modity money 商品货币(hub)5.has intrinsic value 有内在价值6.examples: gold coins, cigarettes in P.O.W. camps第66页/共106页第六十六页，共107页。Discussion QuestionWhich of these are

41、money? a.Currencyb.Checksc.Deposits in checking accounts (called demand deposits)d.Credit cardse.Certificates of deposit (called time deposits)f.Debit cards 第67页/共106页第六十七页，共107页。The money supply & monetary policy The money supply is the quantity of money available in the economy. Monetary polic

42、y is the control over the money supply. 第68页/共106页第六十八页，共107页。The central bank Monetary policy is conducted by a countrys central bank. In the U.S., the central bank is called the Federal Reserve (“the Fed”). The Federal Reserve Building Washington, DC第69页/共106页第六十九页，共107页。Money supply measures, Apr

43、il 2002_Symbol Assets includedAmount (billions)_CCurrency$598.7M1C + demand deposits,1174.0 travelers checks, other checkable depositsM2 M1 + small time deposits,5480.1 savings deposits, money market mutual funds, money market deposit accountsM3 M2 + large time deposits,8054.4 repurchase agreements,

44、 institutional money market mutual fund balances第70页/共106页第七十页，共107页。货币(hub)数量论 一个简单的关于通货膨胀率和货币供给增长率的关系的理论。 首先(shuxin)了解“速度”的概念： Velocity 基本概念：货币流通的速度（流转率） 定义：给定一定时期，一张美元钞票平均转手次数 例子: 在 2001, 交易额为$500 billion 货币供给 = $100 billion 在2001年一张美元钞票平均用了5次。 所以：流通速度为5第71页/共106页第七十一页，共107页。速度(sd), cont. ：TVM这里(

45、zhl)： V = velocityT = value of all transactionsM = money supply第72页/共106页第七十二页，共107页。Velocity, cont. 使用(shyng) nominal GDP作为所有交易总额的近似as a proxy for total transactions. Then, P YVMwhere P = price of output (GDP deflator) Y = quantity of output (real GDP)P Y = value of output (nominal GDP)第73页/共106页第七

46、十三页，共107页。The quantity equation The quantity equationM V = P Y.第74页/共106页第七十四页，共107页。Money demand and the quantity equationM/P = 实际货币余额，货币供给的购买力.一个简单的货币需求函数 : (M/P )d = k Y这里(zhl)：k = 人们每收入一美元，想要持有的货币是多少。 (k is exogenous)第75页/共106页第七十五页，共107页。Money demand and the quantity equation money demand: (M/P

47、 )d = k Y quantity equation: M V = P Y 两个方程的联系是: k = 1/V（货币(hub)需求等于货币(hub)供给） 相对于人们的收入，人们想要持有更多的货币(hub) (k is high)，货币(hub)的转手（货币(hub)流通速度也就越慢(V is low)。第76页/共106页第七十六页，共107页。back to the Quantity Theory of Money从数量方程开始假定(jidng) V 是固定的 & 外生的:VV 在该假设的条件(tiojin)下, 数量方程变为M VP Y第77页/共106页第七十七页，共107页

48、。The Quantity Theory of Money, cont.价格水平是如何被决定的:当 V 固定(gdng), 货币供给决定名义 GDP (P Y )经济中的K 和L 和生产函数决定 实际GDP（Y）价格水平是 P = (nominal GDP)/(real GDP)M VP Y第78页/共106页第七十八页，共107页。The Quantity Theory of Money, cont.回忆(huy)第二章: 积的增长率等于增长率之和. The quantity equation in growth rates:MVPYMVPYThe quantity theory of mo

49、ney assumes is constant, so = 0.VVV第79页/共106页第七十九页，共107页。The Quantity Theory of Money, cont. (Greek letter “pi”) 表示(biosh)通货膨胀率:MPYMPYPP前一方程(fngchng)的结论是:亦即：第80页/共106页第八十页，共107页。The Quantity Theory of Money, cont. 正常的经济增长要求一定的货币供给量的增长来满足交易(jioy)的增长. 货币增长超过这一数量就会导致通货膨胀. 第81页/共106页第八十一页，共107页。The Quan

50、tity Theory of Money, cont. Y/Y 取决于生产要素的增长(zngzhng)和技术进步(这些要素我们假设为给定的).因此(ync)，the Quantity Theory of Money 预计着货币增长率的变化与通货膨胀率的变化之间是 one-for-one relation第82页/共106页第八十二页，共107页。Case :Inflation and Money Growth “Inflation is always and everywhere a monetary phenomenon.” - Milton Friedman, the great econ

51、omist who won the Nobel Prize in economics in 1976.米尔顿.弗里德曼 1912-2006第83页/共106页第八十三页，共107页。第84页/共106页第八十四页，共107页。第85页/共106页第八十五页，共107页。0246810121416196019651970197519801985199019952000% per yearinflation rateM2 growth rateinflation rate trendM2 trend growth rateU.S. Inflation & Money Growth, 196

52、0-2001第86页/共106页第八十六页，共107页。我国的四次通货膨胀(tnghu pngzhng) 19801980（6%6%）：）： 高额的财政赤字。财政赤字为高额的财政赤字。财政赤字为127.5127.5亿元。亿元。 货币超额投放。货币流通增长率为货币超额投放。货币流通增长率为22.6%22.6%。 19851985（8.8%8.8%） 信贷规模膨胀。贷款余额增长率为信贷规模膨胀。贷款余额增长率为23.9%23.9%。 货币超额投放。货币流通增长率为货币超额投放。货币流通增长率为19.8%19.8%。 19881988（18.5%18.5%） 货币超额投放。为了启动经济，货币流通量增

53、长了货币超额投放。为了启动经济，货币流通量增长了31.8%31.8%。 通胀预期导致消费者抢购。消费需求膨胀。通胀预期导致消费者抢购。消费需求膨胀。 19941994（21.7%21.7%） 货币超额投放。为了启动经济，货币超额投放。为了启动经济，19921992年货币流通量增长了年货币流通量增长了43.2%43.2%。 投资投资(tu z)(tu z)高速增长导致货币超额投放。社会投资高速增长导致货币超额投放。社会投资(tu z)(tu z)增长率增长率19931993年为年为12.1%12.1%。第87页/共106页第八十七页，共107页。铸币(zhb)税Seigniorage：为什么政府

54、会增加货币供给 应付政府支出的手段之一：发行货币(hub)（其他两种：征税和发行政府债券） 政府发行货币(hub)获得的“收益”被称为seigniorage 通货膨胀税:发行货币(hub)为政府支出融资，增加了货币(hub)供给会造成通货膨胀。通货膨胀好像是对人们持有的货币(hub)征收的税。第88页/共106页第八十八页，共107页。 通货膨胀对经济产生的影响 通货膨胀税 通货膨胀 利率 通货膨胀对利率的影响 名义(mngy)利率通过货币需求，反过来影响通货膨胀。第89页/共106页第八十九页，共107页。通货膨胀(tnghu pngzhng)和利息率 名义利率(ll), I not adj

55、usted for inflation 实际利率(ll), r: adjusted for inflation r = i 第90页/共106页第九十页，共107页。费雪效应(xioyng) 费雪方程: i = r + 第三章我们知道: S = I 决定实际利率r . 货币数量方程表明货币供给量的增长率决定通货膨胀率 货币供给量如何决定名义利率？ 的增加会带来i相等(xingdng)幅度的增加 。这种一对一的关系称为Fisher effect. 第91页/共106页第九十一页，共107页。U.S. inflation and nominal interest rates, 1952-1998P

56、ercent16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2Nominalinterest rateInflationrate19501955196019651970Year197519801985199020001995第92页/共106页第九十二页，共107页。Inflation and nominal interest rates across countries第93页/共106页第九十三页，共107页。练习(linx):假设 V 是固定的, M 货币供给每年增长5%, Y 每年增长2, r = 4. 求出i (the nominal interest rate). If 中央银行每年

57、增加货币供给2, 求出i .假设Y 的增长率下降为每年1% . 如何变化? 中央银行采取什么(shn me)方法来保持不变? 第94页/共106页第九十四页，共107页。Answers:a. First, find = 5 2 = 3. Then, find i = r + = 4 + 3 = 7. b. i = 2, same as the increase in the money growth rate. c. If the Fed does nothing, = 1. To prevent inflation from rising, Fed must reduce the money growth rate by 1 percentage point per year. Suppose V is constant, M is growing 5% per year, Y is