高三数学(理)“大题精练”

1、高三数学（理）“大题精练”17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第收费比率第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.855 次0.80该公司注册的会员中没有消费超过 5 次的，从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下：消费次数人数1次602次203次104次55次5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中

2、，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为 X 元，求 X 的分布列和数学期望 E (X )18VABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，设（1）求 sin B ；（2）若 VABC 的周长为 8，求 VABC 的面积的取值范围.3 

3、0;            Bsin( A + C ) = cos 2  .2               2119如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD

4、0;是边长为 2 的菱形，且ÐADC = 60° ， AA = CD = 5 ， AD = 7 .111（1）证明：平面 CDD1  平面 ABCD ；（2）求二面角 D1 - AD - C 的余弦值.+   = 1 ，过点 A(2,1) 的直线&#

5、160;AP ，AQ 分别交 C 于不同的两点 P 、20设椭圆 C :x2  y 28   2Q ，直线 PQ 恒过点 B (4,0 )（1）证明：直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值；（2）直线 AP ， AQ 分别与 x 轴相交于 M ， N 两点，在

6、 x 轴上是否存在定点 G ，使得 GM × GN 为定值?若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由.2(x ) = 2 x - sin x ， x Î éê0, p ùú ， g (x ) = x2 + cos 

7、;x + m æç x - p ö÷2 ，21设函数 fp                 ë  2 û       p     

8、  2 è  2 ø(m Î R ).（1）证明： f (x ) £ 0 ；x Î ê0,ú 时，不等式 g (x ) ³（2）当é p ùë  2 ûp4恒成立，求 m 的取值范围.22在

9、直角坐标系 xOy  中，直线l : í          （  t 为参数）与曲线C : íïì x = 3 + t cos aì x = 2m2îï y = t sin a&#

10、238; y = 2m（ m 为参数）相交于不同的两点 A ， B .（1）当 a = p4时，求直线 l 与曲线 C 的普通方程；（2）若 MA MB = 2 MA - MB ，其中 M( 3,0 )，求直线 l 的倾斜角.23已知函数 f (x ) = x

11、 + 1 + ax -1（1）当 a = 1 时，求不等式 f (x) £ 4 的解集；（2）当 x ³ 1 时，不等式 f (x ) £ 3x + b 成立，证明： a + b ³ 03答案17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾

12、客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第收费比率第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.855 次0.80该公司注册的会员中没有消费超过 5 次的，从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下：消费次数人数1次602次203次104次55次5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会

13、员服务的平均利润为 X 元，求 X 的分布列和数学期望 E (X )【解】（1）第一次消费为 200 元，利润为 50 元：第二次消费 190 元，利润为 40 元两次消费的平均利润为 45 元（2）若该会员消费 1 次，则 X = 50P (X = 50) = 0.6若该会员消费 2 次，则 X&

14、#160;= 50 + 40 = 452P (X = 45) = 0.2若该会员消费 3 次，则 X = 50 + 40 + 30 = 403P( X = 40) = 0.1若该会员消费 4 次，则 X = 50 + 40 + 30 +&#

15、160;20 = 354P( X = 35) = 0.05若该会员消费 5 次，则 X = 50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 3054P( X = 30) = 0.05故 X 的分布列为：XP500.6450.2400.1350.05300.05X 的期望为 EX 

16、;= 50 ´ 0.6 + 45´ 0.2 + 40 ´ 0.1+ 35´ 0.05 + 30 ´ 0.05 = 46.25 （元）18VABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，设（1）求 sin B&

17、#160;；（2）若 VABC 的周长为 8，求 VABC 的面积的取值范围.3              Bsin( A + C ) = cos 2  .2             

18、60; 2sin( A + C ) = cos 2  且 sin( A + C ) = sin B【解】（1） Q3              B2          &

19、#160;    2    3又 Q 0 <  B tan  B   ac £ 或   ac ³ 8 （舍） ac £DABC  = ac sin B =  ac £综上，&

20、#160;VABC 的面积的取值范围为 çç 0,  ú3BBBsin B =× 2sincos= cos 2，22222pBBB<， sin> 0  3 sin= cos222223Bpp3= B = sin B =232632（2）由题意知： b = 8 - (a +

21、60;c)a 2 + c2 - b2-64 + 16(a + c) - 2ac1 cos B =2ac2ac2 3ac = -64 + 16( a + c) ³ -64 + 32 ac ， 3ac - 32 ac + 64 ³&#

22、160;0  (3 ac - 8)( ac - 8) ³ 08641316 3 S39249a = c 时取“ = ”）æ 16 3 ùè9 û5（当19如图，在四棱柱 ABCD - A B C D 中，底面 ABCD 是边长为 2

23、0;的菱形，且1111ÐADC = 60° ， AA = CD = 5 ， AD = 7 .11111（1）证明：平面 CDD1  平面 ABCD ；（2）求二面角 D1 - AD - C 的余弦值.【解】（1）令 CD 的中点为 O ，连接 OA ， OD1 

24、;， ACQ AA = CD = 5, DC = 2 ，11 D O  DC 且 D O = DD2 - DO2 = 21又底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，且 ÐADC = 60° AO =3又 Q AD =7 &

25、#160;AD 2 = D O 2 + AO 2  D O  OA11111又 Q OA , DC Í 平面 ABCD ， OAÇ DC = ODO 平面 ABCD11又 QDO Í 平面 CDD，平面 CDD1  平面 

26、;ABCD ，（2）过 O 作直线 OH  AD 于 H ，连接 D1H D1O  平面 ABCD ， D1O  AD  AD  面 OHD1 ， AD  HD16РD HO 为二面角 D - AD - C 所成的平面角11又&

27、#160;Q OD = 1,ÐODA = 60° OH =32， D H =119219 cos ÐOHD =571+   = 1 ，过点 A(2,1) 的直线 AP ，AQ 分别交 C 于不同的两点 P 、20设椭圆 C :x2  y 28

28、0;  2Q ，直线 PQ 恒过点 B (4,0 )（1）证明：直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值；（2）直线 AP ， AQ 分别与 x 轴相交于 M ， N 两点，在 x 轴上是否存在定点 G ，使得 GM × GN 为定值?若存在，求出点 G 的坐标，若不存在

29、，请说明理由.【解】（1）设 P (x , y ), Q (x , y ), M (x ,0 ), N (x ,0 )，直线 PQ、AP、AQ 的斜率112234分别为 k , k1, k2 ，由 íì y = k (x - 4)()î x

30、2 + 4 y 2 = 8得 1 + 4k 2 x2 - 32k 2 x + 64k 2 - 8 = 04         1 + 4k1 + 4k132k 264k 2 - 8D > 

31、;0 ，可得： k 2 <,x + x =,x x =1221 22，x - 2  x  - 2    x - 2       x  - 2          x&

32、#160;x  - 2 (x + x )+ 4y - 1y - 1k (x - 4)- 1k (x - 4 )- 12kx x - (6k + 1)(x + x )+ 16k + 412k + k =1+2=+=1 2121212121&#

33、160;2127-16k 2 + 41 + 4k 2 - 8        1 + 4k 264k 2 - 832k 22k ×- (6k + 1)×+ 16k + 4= -164k 2 - 832k 216k 2

34、60;- 4- 2 ×+ 41 + 4k 21 + 4k 2（2）由 y -1 = k (x - 2)，令 y = 0 ，得 x  = 2 -  1k，即  M ç 2 - ,0 ÷k1   

35、; ø131æ   1  öè同理 x  = 2 -  1kN ç 2 -  ,0 ÷ ，设 x 轴上存在定点 G (x ,0 )则kè2    ø42，即æ   1 &

36、#160;ö0GM  × GN  = x  - ç 2 - ÷  × x  -ç 2 -  ÷  = (x  - 2 )2 + (x  - 2 )× çk

37、60; ø    èk  øk  k  økkèè1æ 11 öææ1 ö1 ö1+÷ +00001221 2= (x  - 2 )2 + (x  - 2 )× 

38、1;1 2 ÷+   = (x  - 2 )2 + (x  - 2 )× çkk    kk                    kk  

39、økk÷ +è1   2     øè1   2æ  -1 öæ k + k ö1100001 21 2GM × GN 为定值，即 x - 2 = 1, x = 300故 

40、;x 轴上存在定点 G (3,0 ) 使 GM × GN 为定值，该定值为 1，要使x - sin x ， x Î ê0,ú ， g (x ) = + cos x + ç x - ÷  ，21设函数 f

41、0;(x ) =2 é p ù         x2 m æ  p ö2p                 ë  2 û  

42、60;    p       2 è  2 ø(m Î R ).（1）证明： f (x ) £ 0 ；x Î ê0,ú 时，不等式 g (x ) ³（2）当é p ù&#

43、235;  2 ûp4恒成立，求 m 的取值范围.x Î ê0,ú 上单调递增， f ¢(x) Î ê   -1,   ú ，【解】（1） f ¢( x) =2p- cos x 在é p ù 

44、3; 2 2 ùë  2 û               ëp p ûx  Î ç 0,   ÷ ， f ¢ (x ) = 0 .

45、当 x Î(0, x ), f ¢(x) < 0 ， f (x )递减；所以存在唯一02 øèæpö00x Î ç x ,÷ , f ¢( x) > 0 ， f (x )递增.当æ  p&

46、#160;öè 0 2 ømax= max í f (0),  f çè 2 øþ所以 f ( x)ì æ p öüî÷ý= 0 ， f ( x) £ 0,0 £

47、0;x £p2- sin x + m ç x -÷ ， g ¢¢( x) = - cos x + m（2） g¢(x) = 2xpæ   pö 2è 2 ø p8g¢ (x) £&

48、#160;0 ， g (x ) 在 x Î éê0,ùú 上单调递减，当 m ³ 0 时，pë  2 û= g ç ÷= ，满足题意 g ( x)minæ p ö pè 2 ø&#

49、160;4g¢ (x)在 x Î éê0,ùú 上单调递增，当 - 2p< m < 0 时，pë  2 û- 1 + m < 0 ， g¢¢ç÷ =g ¢¢(0) =2pæp 

50、46; 2è 2 ø p+ m > 0 ，x Î ç 0,÷ ， g¢¢(x )= 0.所以存在唯一1è  2 ø当 x Î(0, x ), g¢¢(x)< 0 ， g¢ (x 

51、) 递减；当 x Î ç x1,÷ , g¢¢(x ) > 0 ， g¢ (x ) 递增2è    øæp ö1æp ö12  m > 0 ， g  ¢ &#

52、230;ç÷ = 0 .所以存在唯一 x2 Î ç 0,÷ , g¢ (x2 ) = 0 .而 g ¢(0) = -p p ö                &

53、#160;  æ p öè 2 ø               è 2 ø当 x Î(0, x ), g¢(x) > 0 ， g (x )递增；当 x &

54、#206;ç x2 ,÷ , g¢(x) < 0, g(x) 递减.2è    øïï要 0 £ x £  时，g ( x) ³  恒成立，即 í        &

55、#160;        所以ï g çïî   è 2 ÷ø 4æp ö2ìpg (0) ³42p - 8pp2p - 8Þ m ³pæ p öp 224p 

56、2³£ m < 0当 m £ -  2p  时，  g ¢¢( x) £ 0 ，当 x Î ê0,ú ， g¢ (x ) 递减， g¢ ç ÷ = 0, 

57、g¢( x) ³ 0 g ( x) £ g ç÷ = 与题意矛盾 g ( x) 在 x Î ê0,ú 递增，, +¥÷综上： m 的取值范围为 êép ùæ p öë2 

58、ûè 2 øép ùæp öpë2 ûè 2 ø4é 2p - 8öë p 2øïì x = 3 + t cos aì x = 2m222在直角坐标系 xOy 中，直线 

59、l : í（ t 为参数）与曲线 C : íîï y = t sin aî y = 2m（ m 为参数）相交于不同的两点 A ， B .（1）当 a = p4时，求直线 l 与曲线 C 的普通方程；9（2）若 MA MB = 2&

60、#160;MA - MB ，其中 M( 3,0 )，求直线 l 的倾斜角.（【解】 1）当 a = p4时直线 l 的普通方程为：y = x- 3 ；曲线 C 的普通方程为 y 2 = 2 x ；D = 4cos 2 a + 8  3 sin

61、0;2 a > 0, t  + t  =  2cos asin 2 a      sin 2 aìïx = 3 + t cosa（2）将直线 l : í代入 y 2 = 2 x 得 sin

62、60;2 a × t 2 - 2cos a × t - 2 3 = 0ïî y = t sina-2 3, t t =121 22| MA| MB |= MA| - | MBÞ t t = 2 t + t Þ1 212-2 3   2cosa          3|= 2      , cosa |=sin2 a    sin2 a