截长补短法例题

1、截长补短法例1.已知，如图1-1 ，在四边形ABCD中， BC AB， AD=DC， BD平分 ABC.求证： BAD + BCD=180° .分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法” 来实现 .证明：过点D作 DE垂直 BA的延长线于点E，作 DFBC于点 F，如图 1-2 BD平分 ABC， DE=DF，A在 Rt ADE与 Rt CDF中，DDEDFBEADCDC A图 1-1 RtADE Rt CDF( HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=1

2、80°， BAD+ DCF=180°，B图 1-2即 BAD+ BCD=180°例2.已知，如图 3-1 ， 1= 2， P为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD. 求证： BAP+BCP=180°.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，DFC即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 3-2AN 1= 2，且 PDBC， PE=PD，在 Rt BPE与 Rt BPD中，PEPDBPBP RtBP

3、E Rt BPD( HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE即DC=BE- AB=AE.P12BDC图 3-1EANP12BDC图 3-2精选文库在 Rt APE与 Rt CPD中,PEPDPEAPDCAEDC RtAPE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=180° , BAP+BCP=180°例3.如图 2-1 ， AD BC，点 E 在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用 “截长补短法” 中的“截长” ，

4、即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD上截取 CF=BC，如图 2-2DA在 FCE与 BCE中，CFCBEFCEBCECECECB FCE BCE（ SAS） , 2= 1.图 2-1又 AD BC， ADC+BCD=180°， DCE+ CDE=90°， 2+ 3=90°， 1+4=90°， 3=4.D在 FDE与 ADE中，AFDEADEDEDE4 3FE 2134C FDE ADE（ ASA）， DF=DA，B图 2-2 CD=DF+CF， CD=AD+BC.

5、-2精选文库例4.已知：如图 4-1 ，在 ABC中， C 2 B， 1 2.A求证： AB=AC+CD.12分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC至 E 使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）BDC图 4-1延长到，使= ，则，如图 4-2ACEDC CECDECEDA ACB 2 E， ACB 2 B， B E，在 ABD与 AED中 ,12BDC图 4-21 2BEEADAD ABD AED（ AAS） , AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截长法）在 AB上截取 AF=AC，如图 4-3A在与中 ,12AFDACDFAFAC1 2 AD ADBDC图 4-3 AFD ACD