北师大版数学选修2-1知识点总结经典带题

1、高二数学选修21知识点第一章常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 .真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆 命题.若原命题为“若p,则q"，它的逆命题为“若q,则p” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称 为原命题的否命题.若原

2、命题为“若p,则q"，则它的否命题为“若 p,则q” .5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定 和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 .其中一个命题称为原命题，另 一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p,则q"，则它的否命题为“若 q,则p” .6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若p q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.若p q,则p是q的充要条件（充分

3、必要条件）.8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q. 当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命 题时，p q是假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p q.当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题.对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作 p .若p是真命题，则 p必是假命题；若p是假命题，则 p必是真命题.9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表 示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对 中任意一

4、个x,有p x成立”，记作“ x , p x ” .短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在 中的一个x,使p x成立”，记作“ x , p x10、全称命题p : x , p x ,它的否定 p : x , p x .全称命题 的否定是特称命题.第二章圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点Fl , F2的距离之和等于常数（大于IF1F2I）的点的轨 迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形yJ G离.ty1标准方程22xy="

5、;1 a b 0 ab22y x"4 1 a b 0 a b范围a x a 且 b y bb x b 且 a y a顶点1a,0、2 a,01 0, b、2 0,b1 0, a、2 0,a1b,0、2 b,0轴长短轴的长 2b长轴的长 2 a隹百 八、八、F1c,0、F2 c,0F1 0, c、F2 0,c焦距 _F1F-2222 2c c a b对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率e ，"""b 0 e i a V a准线方程2 axc2 a yc13、设 是椭圆上任一点，点到Fi对应准线的距离为di,点 到F2对应准线的距离为d2,则5 5 e.di

6、d214、平面内与两个定点Fi , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|FiF2| ） 的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲 线的焦距.I5、双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形寺.sol 57K标准方程22-2-i a 0, b 0a b222- 2i a 0, b 0a b范围x a或 x a, y Ry a或 y a, x R顶点1a,0、2 a,0i 0, a >2 0,a轴长虚轴的长 2b实轴的长 2 a隹百 八、八、Fic,0、F2 c,0Fi 0, c > F2 0,c焦距|FiF2 2c c2 a2 b2对称性

7、关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率c b b2e Ji -2 e i a V a准线方程2 a x c2 a yc渐近线方程b y -x aay Tx16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.17、设 是双曲线上任一点，点到Fi对应准线的距离为di,点 到F2对应准线的距离为d2,则55 e .d1d218、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、 两点的线段 ，称为抛物线的“通径”，即|12P.20、抛物线的几何性质：标准方程2-y 2 pxP 02-y2 px

8、p 02-x 2 pyP 02-x2 pyP 0图形收Kk i-A顶点0,0对称轴x轴y轴隹百 八、八、F -, 02F会。F04F 0, J准线方程P x 2x-P2py一2py 一2离心率e1范围x 0x 0y 0y 0第三章空间向量与立体几何22、空间向量的概念:1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.3向量"的大小称为向量的模（或长度），记作uur .4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a.6方向相同且模

9、相等的向量称为相等向量.23、空间向量的加法和减法:1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间r r以同一点 为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C ,则以起uur r r点的对角线c就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四 边形法则.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点，作uur r uur r uur r ra , b ,则 a b .24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算.当 0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当。时，a为零向量，记为0. a的长度是a的长度的倍.25、

10、设，为实数，a, b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.rr分配律：a b a b ;结合律： a a .26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.r r r r r27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a, b b 0 , a/b的充要八，一 r r条件是存在实数，使a b .28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.29、向量共面定理：空间一点 位于平面C内的充要条件是存在有序实数对uuu uurx, y ,使 xuuruuuy C ;或对空间任一定点，有uiuruuirxuuiry C；或

11、若四点uuu uuur uur uurC共面，则 x y z C x30、已知两个非零向量uuur r在空间任取一点，作 auuurrb，则称为向量a, b的夹角，记作r ra,b .两个向量夹角的取值范围是:a,br0,31、对于两个非零向量a和br rr r，若a,b ,则向量a , b互相垂直，记作32、已知两个非零向量a和b, r r r rr r则a b cos a,b称为a , b的数量积，记作a ba b cos a,b .零向量与任何向量的数量积为r r r 、r, r 、，,33、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影rb cosr r ,一a,b的乘积.r34、若 ar

12、rb为非零向量，e为单位向量，则有ia cos a,e ；a b 0； 3 a br rb a与b同向r rb a与b反向r r4 cos a, b35、向量数乘积的运算律:a b b a；2rk是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量实数组x, y,zyj , zk为向量p在i，一1r r r rr,使得 p xi yj zk ,称 xi的分量.37、空间向量基本定理：若三个向量 a, b,r不共面，则对空间任一向量rr rr存在头数组x, y, z ,使得pxa yb zc .38、若三个向量a, b, r不共面，则所有空间向量组成的集合是r .,.p p xa yb zc,x, y,

13、z R.这个集合可看作是由向量a, J, r生成的,r r ra,b,c称为仝问的一个基底,b , 1称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.39、设0，02 , e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以0, 02, 03的公共起点为原点，分别以0 , 02 , 03的方向为xr轴，y轴，z轴的正方向建立仝可直角坐标系xyz .则对于仝|可任息一个向重p ,uuu r一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p.存在有序实r ir m irr数组x, y, z ,使得p xe y02 zq .把x , y, z称作向量p在单位正交基底1

14、rml irrr0i , 02 , Q下的坐标，记作p x, y,z .此时，向量p的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 x, y,z .rrrr40、设 axi,yi,zi, b'、的入，则 1 abx x2,yi丫2,0z.r r2 a bxi x2,yi 丫2,4 4 .c r3 a k, yi, zi .r r4ab x1x2 y1y2 4 z2 .r rr5若、b为非零向量，则ar r r r r r 若b 0,贝（Jab a bo2 z 乙 y X2 X1 o r b r a r bX2，yi丫2，4Z2 .22cos a,braraX1X2yy2Z1Z2222.

15、222XiyiZi , X2yZ2UULTXi,yiZ ,X2,y2,Z2 Md222X2 XiyyiZ2zi.yizi .以及一个定方向确定.点41、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点一，“，一 r 是直线i上一点，向量a表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点 有uuu t，这样点 和向量a不仅可以确定直线i的位置，还可以具体表示出直 线l上的任意一点.42、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直 线相交于点，它们的方向向量分别为a, b.为平面上任意一点，存在有uuu r rr r序实数对x, y ,使得 xayb,这样点 与向量a, b就确定了平面

16、的位 置.r 一.，一 r43、直线l垂直，取直线l的万向向量a,则向量a称为平面 的法向量.44、若空间不重合两条直线a, b的方向向量分别为则 a/br ra /br tra b R , a b a45、若直线a的方向向量为，一，r 的法向量为na/r r ra/n a46、若空间不重合的两个平面的法向量分别为则/r ra/ br r r aba47、设异面直线a , b的夹角为其夹角为coscosabr48、设直线l的方向向量为lr平面的法向量为n, l与所成的角为的夹角为ur49、设 niuu02是二面角cosr l r- lrnrn的两个面 ，ir的法向量，则向量Ruu出的夹角(或其

17、补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角的平面角为cosir uun n2 truu- n n2uuin50、点 与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模uur计算.51、在直线l上找一点,过定点且垂直于直线l的向量为n ,则定点 到直线l的距离为duuuuuucosuuu r n-i- n52、点是平面外一点r是平面 内的一定点，n为平面 的一个法向量,则点到平面的距离为duuuuur r cos , nuuu r n-r n综合检测题一、选择题：本 大题共12小题，每小题5分，共60分 选项中，只有一项是符合题目要求的。1.顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是在每小题给出的四个

18、A. y2 4xB.x2 4yC. y24x 或 x2 4yd. y24x 或 x24y2.以下四组向量中，互相平行的有a(3)ar(1,2,1),b (1, 2,3);)组.(8,4,r6),bA.r(0,1, 1),b (0,(4,2, 3); r3,3)；/ ,、 r(4) a ( 3,2,0) ,b (4, 3,3)B.C.D.四3.若平面的法向量为nir(3,2,1),平面 的法向量为n2 (2,0, 1),则平面与夹角的余弦是4.A.E14"l 5 k 12B.A.充分不必要条件C.充要条件5. “直线l与平面条件A.充要C.必要非充分6.在正方体ABCD值为A.叵10.

19、7010C.,70141 .sin 2 的2D.一噜B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件内无数条直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的(B.充分非必要D.既非充分又非必要ABiCiDi中，E是棱AiBi的中点，则AB与DiE所成角的余弦B 10C.7.已知两定点Fi(5,0) , F2( 5,0),曲线上的点F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为22L 19162B.162C.258.已知直线l过点P(i,0,-i),平行于向量2 y36ra2D. L252136过直线l与点M(i,2,3),则平面的法向量不可能是A. (i,-4,2)11B.(? 1,2)C. ( 1,1,42)

20、D. (0,-i,i)9.命题“若A.若a C.若a10 .已知椭圆b c,b c,210 m则a则a2 ym 2的逆否命题是B.若a D.若a1,若其长轴在y轴上.焦距为4 ,则m等于A. 4.B.5.C. 7.D.8.11.以下有四种说法，其中正确说法的个数为:(1) “m是实数”是“ m是有理数”的充分不必要条件;(2) “a b”是“a2 b2”的充要条件； “x 3”是“x2 2x 3 0”的必要不充分条件;(4) “ AI B B”是“ A”的必要不充分条件.A. 0个rr X212 o双曲线2 aB. 1个24 1 ( a 0, b bC. 2个D. 3个0)的左、右焦点分别是E, F2,过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为b. 75二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。13 .请你任意写出一个全称命题 ;其否命题为. rrrr 14 .已知向量 a(0,1,1) , b(4,1 , 0) , | ab|J29 且0,则=15 .已知点M (1, 1, 2),直线AB过原点O,且平行于向量(0, 2, 1), 则点M到直线AB的距离为16 .已知点P到点F (3,0)的距离比它到直线x 2的距离大1,则点P满足的 方程为.17 .命题”至少有一个偶数是素数”的否定为 .