函数展开成幂级数48625实用教案

1、1一、泰勒(ti l)级数上节例题(lt)存在幂级数在其收敛(shulin)域内以f(x)为和函数问题问题:1.如果能展开, 是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第1页/共27页第一页，共28页。2n阶泰勒阶泰勒(ti l)公式公式若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 , )(xf0 x1n则在该其中(qzhng)( 在 x 与 之间)0 x称为(chn wi)拉格朗日余项 .此式称为 的 阶泰勒公式阶泰勒公式 , )(xfn邻域内有 :第2页/共27页第二页，共28页。3如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 , )(xf0 x则称下)(00 xxxf200)(!2)

2、(xxxf 为 的泰勒级数泰勒级数 . )(xf列级数(j sh)当 时, 泰勒级数变为 .00 x称为(chn wi)麦克劳林级数 .第3页/共27页第三页，共28页。4待解决待解决(jiju)的问题的问题 :1) 对此级数, 它的收敛(shulin)域是什么 ？2) 在收敛(shulin)域上 , 和函数是否为麦克劳林级数麦克劳林级数)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(第4页/共27页第四页，共28页。5定理定理(dngl) 1各阶导数(do sh), 设函数 在点 的某一邻域 内具有0 x)(xf)(0 x则条件条件(tiojin)是

3、是)(xf的泰勒公式中的余项满足证明证明:令)(0 xx在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要第5页/共27页第五页，共28页。6定理定理(dngl)2若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是)(xf唯一的唯一的 , 且与它的麦克劳林级数且与它的麦克劳林级数(j sh)相同相同.证证: 设则在收敛(shulin)区间内显然结论成立 .第6页/共27页第六页，共28页。7二二. 函数函数(hnsh)展开成幂级展开成幂级数数1. 直接直接(zhji)展展开法开法由上述泰勒级数理论(lln)可知 , )(xf第一步第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步第二步 写出麦克劳林级数 ,

4、 并求出其收敛半径 R ;第三步第三步 判别在收敛区间是否内为0 .函数展开成幂级数的步骤如下 :第7页/共27页第七页，共28页。8例例1. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 级数的收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项有故xenxnxxx!1!31!21132( 在 0 与 x 之间 )第8页/共27页第八页，共28页。9)2sin(2) 12sin(kk例例2. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: )()(xfn级数(j sh)的收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项有! ) 1( n1nx

5、),(xn0第9页/共27页第九页，共28页。10类似类似(li s)可可推出推出),(x),(x第10页/共27页第十页，共28页。11例例3. 将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其中m 为任意(rny)常数 . 解解: 容易求出 于是由于因此, 对任意常数级数在开区间内收敛 .m , 第11页/共27页第十一页，共28页。12为了避免研究余项为了避免研究余项 , 设此级数设此级数(j sh)的的和函数为和函数为 推导(tudo)第12页/共27页第十二页，共28页。13由此得由此得 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(称为(chn wi)二项展

6、开式 .说明说明(shumng)：1 . 在处的收敛性与有关(yugun) . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理二项式定理.第13页/共27页第十三页，共28页。14对应m,21,211的二项展开式分别为)11(x2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x第14页/共27页第十四页，共28页。152. 间接间接(jin ji)展开法展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质(xngzh), 将所给函数展开成 幂级数. 例例4. 将函数将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解解: 把 x 换成

7、 , 得2x)11(x第15页/共27页第十五页，共28页。16例例5. 将函数将函数(hnsh)(xf展开(zhn ki)成 x 的幂级数 .解解: 从 0 到 x 积分(jfn)上式右端的幂级数在 收敛 ,1x而 在 有)1ln(x1x定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛1x区间为.11x利用此题可得第16页/共27页第十六页，共28页。17,! )()(nnnnxn21121221),(x第17页/共27页第十七页，共28页。18第18页/共27页第十八页，共28页。19第19页/共27页第十九页，共28页。20例例8. 将将展成(zhn chn)解解: 的幂级数.

8、 1第20页/共27页第二十页，共28页。21例例9. 将将展成(zhn chn) 的幂级数. 解解: 11第21页/共27页第二十一页，共28页。22:解解第22页/共27页第二十二页，共28页。23内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .2. 常用函数的幂级数展开式1xx2!21x第23页/共27页第二十三页，共28页。24x11当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x第24页/共27页第二十四页，共28页。25作业(zuy)11-4 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第25页/共27页第二十五页，共28页。26)()1 (xFxxm返回返回(fnhu)第26页/共27页第二十六页，共28页。27感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结1。第2页/共27页。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。2) 在收敛域上 , 和函数是否为。的泰勒公式中的余项满足。唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.。第三步 判别在收敛