函数的单调性与极值82405实用教案

1、2021-11-30一、函数(hnsh)的单调性从几何图形(jh t xng)上来分析abxyo)(xfy ),(ba都是锐角，即斜率 0)(tanxf是上升的 。),(ba如果曲线 在 内所有切线的倾斜角 时，那么曲线在第1页/共26页第一页，共27页。2021-11-30可见，函数(hnsh)的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当 时，曲线在 内是下降。 ),( ba0 )(tanxf我们(w men)有如下定理：第2页/共26页第二页，共27页。2021-11-30定理1 设函数 在 上连续，在区间),(ba)(xfy ba,内可导，（1）如果在 内 ，则 在),(ba0)(

2、 xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)( xf)(xf上单调减少。（2）如果在 内 ，则 在注意(zh y)： （1）将定理中的闭区间 换成其他各种区间定理的结论(jiln)仍成立。第3页/共26页第三页，共27页。2021-11-30单调增加的充分条件，而不是必要条件。（2）在 内， 只是 在 上),(ba0)( xf)(xf考察函数 3)(xxf，但等号只在个别处成立，（3）如果在区间 内0)( xf（或0)( xf）仍是单调增加（或单调减少）的。则函数 在 上考察函数 3)(xxf第4页/共26页第四页，共27页。2021-11-30例1 判定函数 的单调性。xxxf arcta

3、n)(解 的定义域是 。 ),(在区间 和 都有 ，只有当), 0(0)( xf0 x时， ，所以 在 内单调减少。0)0( f),(例2 求函数 的单调区间。xxxf3)(3解 的定义域是 ),(第5页/共26页第五页，共27页。2021-11-30令 ，得 ，0)( xf1, 1xx它们将定义域),(当 时，)1 , 1(x0)( xf当 时， 。) 1,(), 1 (x0)( xf所以 的单调增加区间是 和 ；单调递减区间是) 1,()1 ,1(例3 确定函数 的单调区间。23352353)(xxxf解 的定义域是),()1,(),(11 分成三个区间 第6页/共26页第六页，共27页。

4、2021-11-30令 ，得 ，又 处导数不存在，0)( xf1x0 x1x， 这两点将 分成三个区间，0 x),(列表分析 在各个区间的符号：)(xf 由表可知， 的单调增加区间为 和，单调减少区间为 。第7页/共26页第七页，共27页。2021-11-30二、函数(hnsh)的极值设函数 在点 的某邻域内有定义，0 x1 定义(dngy)（1）如果对该领域内的任意点 ，都有)(xxx)()(0 xfxf，则称 是 的极大值，称 是)(0 xf)(xf的极大值点。)(xf （2）如果对该领域内的任意点 ，都有)(xxx)()(0 xfxf，则称 是 的极小值，称)(0 xf)(xf是 的极小

5、值点。)(xf第8页/共26页第八页，共27页。2021-11-30函数的极大值和极小值统称(tngchng)为极值，极大值点和极小致点统称(tngchng)为极值点。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxyab第9页/共26页第九页，共27页。2021-11-302 极值存在(cnzi)的必要条件和充分条件定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点)(xf 处可导，且在点 取得极值，则 。0)(0 xf定理2指出：可导函数(hnsh)的极值点必定是驻点。0)(0 xf)(xf使 的点 称为函数 得驻点。反过来，驻点不一定是极值点。3)(xx

6、f考察函数另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。0 xxxf,)(考察函数第10页/共26页第十页，共27页。2021-11-30定理3（极值(j zh)的第一充分条件） 设函数)(xf在点 连续(linx)，且在点 的某一空心邻域内可导。 （1）如果在 内 ，在),(00 xx0)( xf),(00 xx内 ，则函数 在点 处取极大值 ；0)( xf)(xf)(0 xf（2）如果在 内 ，在),(00 xx0)( xf),(00 xx内 ，则函数 在点 处取极小值 ；0)( xf)(xf)(0 xf（3）如果 在 和 内不变 )(xf ),(00 xx),(00 xx号，则 在 处无极值。

7、 )(xf第11页/共26页第十一页，共27页。2021-11-30定理3即：设 在点 的某一空心邻域内可导，)(xf当 有小增大经过 时，如果 由正变负，x)(xf 则 是极大值点；如果 由负变正，)(xf 极小值点；如果则 是)(xf 不变号，则 不是极值点。例4 求函数 的极值。1093)(23xxxxf 解 的定义域是)(xf),(令 ，得驻点 。0)( xf3, 121xx当 时，11x0)( xf当 时，31x0)( xf第12页/共26页第十二页，共27页。2021-11-30当 时， 。3x0)( xf)(xf3x在 处取得极小值17)3(f例5 求函数 的极值。123)(32

8、xxxf 解 的定义域是)(xf),(令 ，得驻点 ，而 时 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 由定理3知， 在 处取得极大值 。 )(xf11x15) 1(f第13页/共26页第十三页，共27页。2021-11-30因此函数只可能(knng)在这两点取得极值，列表讨论如下：不存在(cnzi)由表可知， 在 处取得极大值 ， )(xf0 x1)0(f在 处取得极小值 。1x21)(xf函数 的图形如图123)(32xxxf第14页/共26页第十四页，共27页。2021-11-30 函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定(pndng)函数是否有极值。01x121y 定理4（

9、极值的第二充分条件） 设函数 在点处有二阶导数，且 ， ，则0)(0 xf0)(0 xf（1）如果 ，则 在 取得极大值；0)(0 xf（2）如果 ，则 在 取得极小值。0)(0 xf第15页/共26页第十五页，共27页。2021-11-30例6 求函数 的极值。22ln)(xxxf解 的定义域是),(),( 00 令 ，得到两个驻点 。0)( xf1, 121xx由定理4 可知， 都是 的极小值点，1, 121xx1) 1 () 1(ff为函数 的极小值。又第16页/共26页第十六页，共27页。2021-11-30 函数的极值(j zh)是局部性概念，而最值是一个全局性概念。 可以由驻点及导

10、数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的最大值，ba,ba,最小的就是函数 在 上的最小值。注意下述三种(sn zhn)情况：（1）如果 在 上是单调函数；ba,三、函数的最值1 闭区间a，b上的连续函数第17页/共26页第十七页，共27页。2021-11-30（2）如果连续函数 在某区间内只有一个极大)(xf（小）值，而无极小（大）值；（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例7 求函数 在区间41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值与最小值。解第

11、18页/共26页第十八页，共27页。2021-11-30比较可知， 在 上最大值为 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f为3) 1 (f例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa 0)( xf得驻点 : 令 ，.,1221 xx第19页/共26页第十九页，共27页。2021-11-30令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长

12、的 时，所做的方盒容积最大。v6ax 61ax方盒的容积(rngj)为：第20页/共26页第二十页，共27页。2021-11-30例10 制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，V怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器(rngq)的底面半径为 ，高为 ，则表面积为rhrS222所以(suy)令0S ， 得驻点 32Vr hrhrV2由已知得故第21页/共26页第二十一页，共27页。2021-11-30所以，所做容器的高和底直径(zhjng)相等时，所用材料最省。 例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 ，垂足 akm B到火车站C的铁路长为 ，要在BC段上选)(abbkm一点M向工厂修一条公路，

13、已知铁路与公路每公里运费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从A到C的运费最少？S有唯一(wi y)驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时第22页/共26页第二十二页，共27页。2021-11-30解 设 , 则xMC 设铁路、公路上每公里运费分别为 从A到,5 ,3kkC需要的总运费为 ，则y令 ，0 y得 （舍去）。因为abxabx43,4321第23页/共26页第二十三页，共27页。2021-11-301x是在区间0, b上的唯一驻点，而实际问题中存在最小值，因而 是最小值点，因此，M选在abx431离C点距离为 处时总运费最省。)(43kmab 例12工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百台）时，总成本（单位：万元）为C(x)=3+x，其销售收入 （单位：万元）为 ,问年产量x为25 . 05)(xxxR多少时，总利润L最大？解 利润(lrn)为第24页/共26页第二十四页，共27页。2021-11-30令 ，得驻点 。0)( xL4x的唯一极大值点，于是 （万元）是最大值，5)4(L即每年生产(shngchn)400台时，总利润最大，最大利润为5万元。01)4( L4x)(xL因为 ，所以 是函数 第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十