量子力学课件(曾谨言)第九章

1、第9章 力学量本征值问题的代数解法9. 1 谐振子的schrdinger 因式分解法9.2 9.2 角动量的本征值与本征态9.3 两个角动量的耦合, clebsch- gordan 系数一维谐振子的hamilton量可表为2221122hpx9.1 9.1 谐振子的谐振子的schrschrdinger dinger 因式分解法因式分解法一、hamilton量的代数表示采用自然单位则(1)2211,22hpx而基本对易式是令利用上述对易式，容易证明其逆为,x pi11(),(),22axipaxip1(),().22ixaapaa ,1.a a此时能量以 为单位 长度以 为单位 动量以 为单位

2、/将两算符的关系式代入谐振子的hamilton量其中1(),()22ixaapaa1122ha an.na a由于 ,nn而且在任何量子态 下( ,)(,)0na aaa 为正定厄米算符n221122hpx有证明: 设|n为 的本征态( n为正实数)，即n下面证明，若 的本征值为 ,则 的本征值 为(自然单位， )nnhne0,1,2,n ,n nn n利用 ,1a a及na a容易算出, ,n aan aa 因此, .n a na n 但上式,na nan nna nna n左1,0,1, 2,.2nenn二、hamilton量的本征值由此可得(1).na nna n这说明， 也是 的本征态

3、，相应本征值为 。|a n n(1)n 如此类推，从 的本征态 出发，逐次用 运算，可得出 的一系列本征态n|n an2|,|,|,na nan相应的本征值为,1,(2),.nnn因为 为正定厄米算子，其本征值为非负实数。n若设最小本征值为 ，相应的本征态为0n0n则00n na a n00a n此时即 是 的本征值为0的本征态,或 .此态记为 ，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为 .0nn00n |0/2000,na从 出发，逐次用 运算，可得出 的全部本征态.0n利用,n aa同样可以证明(1)nannan这说明 也是 的本征态，本征值为 .

4、ann(1)n 利用上式及00 0 ,n利用 ,1a a有11aaa an 由(1)nannan可知010naa 已知 是 的本征态，本征值是00n即 也是 的本征态，本征值是10an下面看 是否也是 的本征态，本征值是多少？20an2200naa a a220a0a a a a200aa na(1)0an a显然200aa a故 也是 的本征态，本征值是220an这样对本征态 本征值为n 本征值为 （自然单位）h所以， 可以成为上升算符， 可以称为下降算符。aa证毕。这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。2|0 ,|0 ,|0 ,aa1/2,3/2,5/2,0,1,2,利用归纳法可以证明（课下

5、证）： （即 ）的归一化本征态可表为nh1() 0 ,!nnan且满足1,2h nnn.nnn n 为什么？1() 0!nnan由得111()0(1)!nnan所以11|()|0!nanan1 |1nn11()|0(1)!nnan从而有|1|ann n而由|n na a nn n得1|a a nn nn所以|1an1|a a nn或|a a n|1an n上式作用任一左矢 ，有|m|m a a n|1m an n利用 ,1a a有1a aaa代入上式即|1|m aan|1m an n上式对任意m都成立，所以|1a n 1 |nn或|1 |1annn|a n |1n n 这就是下降和上升算符的定

6、义,很有用处。或|m aanm n |1m an n利用|1 |1annn上式变为|1|1|m a nnm n |m n n移项，得|1m a n |1 |mnn连同利用|1 |1annn|a n |1n n 以及1(),()22ixaapaa容易证明：11111(1),2(1)2n nn nn nn nn nn nxnnipnn拿第一式的证明为例。1. 坐标和动量算符的矩阵元计算三、升降算符的应用因为1()2xaa所以|n nxnx n,1,11(1)2n nn nnn1(1|1|1 )2nnnnnn 1(|1|1|1 )2nnnnn n 1(|)2nanna n 2. 能量本征态在坐标表象

7、中的表示|00a考虑基态 ，它满足|0即() 00 xip在坐标表象中，上式可以写为|00 xxip插入完备性关系d | | 1xxx 得d | |00 xxxip xx 已经知道| ( )xp xixxx dd ( )( )|00d xxxxiixxxx 令 ，代入前式可以得出1利用积分中函数的性质可得d|00d xxx0,|0( ),xxxx把并注意有0d( )0dxxx解出得220( ).xxe添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为21 420( ).xxe而坐标表象中激发态的波函数为1( )0 ,!nnxx nx an添上长度的自然单位由于1(),2axip1/可得11

8、dd2axx221 42211 d( ).d2!nxnnxxexn所以总之， schrdinger方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。对于r幂函数形式的中心势 ，只当 （coulomb势）或 (各向同性谐振子势)时，径向schrdinger方程才能因式分解.( )v r2( ) v rr( ) 1/v rr对于存在束缚态的一维势阱v(x)，只要基态能量 有限, 存在,则可定义相应的升降算符，并对hamilton量进行因式分解。0e0四、s-方程因式分解的条件前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。下面我们对角动量算符的本征值和本征

9、态作一般的讨论。9.2 9.2 角动量算符的本征值和本征态角动量算符的本征值和本征态如果算符 j，其三个分量 满足下列,xyzjjj对易关系,xyzyzxzxyjji jjji jjji j一、一般角动量算符的对易关系则以 作为三个分量的矢量算符 j称为角动量算符。,xyzjjj 上式称为角动量的基本对易式。 轨道角动量l,自旋角动量s以及总角动量 l+s=j 的各分量都满足此基本对易式。以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。 定义2222,xyzjjjj 利用角动量分量间的一般对易式容易证明：2,0, .jjx y z 定义i ,xyjjj 其逆表示为11()

10、,(),22ixyjjjjjj 可以证明：,zjjj 22,zzj jjjj2,zj jj jj 222()zj jj jjj(i )(i )(i )(i )xyxyxyxyj jj jjjjjjjjj2222iiiixyxxyyxyxxyyjj jj jjjj jj jj222()zjj222()xyjj 利用i ,xyjjj 有 所以j jj j222()zjj二、角动量本征值和本征态的代数解法 ,1.a a前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子

11、化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。1. 声子的概念2. 角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的声子产生和湮灭算符用 和 表示,并满足11,aa22,aa , ,0,1,2.iji jijija aa aaai j定义正定厄米算符111222,na ana a12,0,1,2,n n 其本征值分别为 和 ，1n2n它们分别表示两类声子的数目。12nn和的归一化共同本征态可表为12121212() ()0 .!nnaan nn n定义算符12211(),2xxja aa aj12211(),2yyja aa aji11221()2zzja aa aj),(21

12、21nn 由此定义角动量升降算符12(i ),xyjjja a21(i )() .xyjjja aj利用对易式 , ,0,1,2.iji jijija aa aaai j容易证明, ,jjijx y z 这正是角动量的基本对易式 。(1) , ,0,1,2.iji jijija aa aaai j因为所以12122112122121211,4ia a a aa a a aa a a aa a a a1221122111,(),()22ixyjja aa aa aa a211212211,4ia a a aa a a a21121,2ia a a a211221211,2iaa a aaa aa

13、11221i()2a aa a22111()2ia aa a212211211(00)2ia aaaaaa a izj21122112122121211,2ia aa aaa aaaaaaaaa a同理可证其它几个分量对易式。同样可证明关系式22221 ,22xyznnjjjj其中121122.nnna aa a其本征值为120,1, 2,nnn这样， 的本征值可表为 ，且2j(1)j j 0 , 1, 2 ,1 2, 3 2, 5 2,2nj即角动量量子数 j 只能取非负整数或半整数。121(),2zjnn21 ,22nnj12nnn、和 的共同本征态由前述可知， 是12n n但2(,)zj

14、j 的共同本征态，且12n n故也是212121212121,221,2znnj n nn nj n nnnn n考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将 该写为 ，并定义12n njm121211,.22jnnmnn现在的问题是，对于给定的12122,2jnnjnn即m可以取那些值？ 下面予以分析：10,1,2nj22 ,21,0njj,1,mjjj 即m可以取 这 个值。(,1, )jjj (21)j 而121211,.22jnnmnn的逆可表示为式12,njmnjm因而12121212() ()0!nnaan nn n可改写为12()()0 .()!()!j mj maajmjmjm相应地，

15、利用212121212121,2 21,2zn nj n nn nj n nnnn n可改写为12121211,22jnnmnnnnn式2(1),zjjmj jjmjjmm jm其中0 , 1, 2 ,1, .1 2, 3 2, 5 2,jmjjj 另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式(1)()1 .jjmjmjmjm提示：1.首先证明 是 的属于本征值 的本征函数；jjmzj1m2. 利用 本征值的非简并性，即zj|1jjmjm 得出 的值。9.3 9.3 两个角动量的耦合与两个角动量的耦合与cgcg系数系数前面我们讨论过两个具体角动量的耦合自旋与轨道角动量的耦合自旋与自旋角动量的耦合

16、jls 12sss下面讨论两个一般角动量的耦合一、两个角动量的耦合111222,i, , , .jjjjjijx y z 设 与 分别表示第一和第二粒子的角动量，即（取 ）1j2j1这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的：12,0, , .jjx y z 定义两个角动量之和12jjj利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明,ijjj 也可表成.jji j 二、 共同本征态（非耦合表象） 221122(,)zzjjjj设 的共同本征态记为 ，即211(,)zjj11j m(1)11111111211111(1),j mj mzj mj mj

17、jjjm类似地， 的共同本征态记为 222(,)zjj22j m22222222222222(1),.j mj mzj mj mjjjjm对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 来展开。1122(1)(2)j mj m1122(1)(2)j mj m即 可作为体系力学量完全集, 而 是它们的共同本征态。221122(,)zzjjjj以共同本征态 为基矢的表象称为非耦合表象。1122(1)(2)j mj m在给定 的情况下，12jj，1111122222,1,1,1,1,mjjjjmjjjj12(21)(21)jj1122(1)(2)j mj m所以 有 个

18、，即它们张开 维子空间。12(21)(21)jj三、 共同本征态（耦合表象） 考虑到2212122,0,0,0,0, , .jjjjjjjjx y z 也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ，即22212(,)zjjjj1 2(1,2)j j jm1 21 21 21 21 21 21 21 2211122222(1),(1),(1),.j j jmj j jmj j jmj j jmj j jmj j jmxj j jmj j jmjjjjjjjj jjm22212(,)zjjjj以共同本征态 为基矢的表象称为耦合表象，基矢简记为 。1 2(1,2)j j jm(1,2)jm问

19、题：当给定 ， 可取哪些值？基矢与 之间的关系如何？12, jjj(1,2)jm1122(1)(2)j mj m1. clebsch-gordan系数令11221211 22(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm上式的物理意义是明显的。四、两种耦合表象基矢之间的关系 cg系数我们将展开系数 称之为clebsch-gordan系数，简称cg系数。11 22j m j mjm显然cg系数是 维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换矩阵元。12(21)(21)jj考虑到12zzzjjj将上式两边分别作用到下式两边11221211 22(1,2)(1)(2)jmj

20、mj mm mj m j mjm有11221211 2212(1,2)()(1)(2)zjmzzj mj mm mjj m j mjmjj11221211 221(1)(2)j mj mm mj m j mjm m11222(1)(2)zj mj mj1122121211 22()(1)(2)j mj mm mmmj m j mjm11221211 221(1)(2)zj mj mm mj m j mjmj11222(1)(2)j mj mm因为(1,2)(1,2)zjmjmjm所以1122121211 22(1,2)()(1)(2),jmj mj mm mmmmj m j mjm将11221

21、211 22(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm代入上式左边，并移项得1122121211 22()(1)(2)0j mj mm mmmmj m j mjm由于 是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件1122j mj m对(1,2)zjmj1122121211 22()(1)(2)j mj mm mmmj m j mjm1211 22()0mmmj m j mjm而 是不能为0的11 22j m j mjm？所以只有120mmm即12mmm故在式11221211 22(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm的两个求和指标中，只

22、有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式1121111 21(1,2)(1)(2)jmj mj m mmj m j mmjm我们将展开系数 称之为clebsch-gordan系数，简称cg系数。11 22j m j mjm11221211 22(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm1121111 21(1,2)(1)(2).jmj mj m mmj m j mmjmcg系数有什么性质？根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。由前所述可知, cg系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。2. clebs

23、ch-gordan系数的性质1）clebsch-gordan系数的实数性如果相位选择适当, 就可以使cg系数成为实数。1121111 21(1,2)(1)(2)jmj mj m mmj m j mmjm及112111121(1,2)(1)(2).j mj mj mmmj mj mmj m在此情况下,有下两式代入正交归一关系(,)j mjmj jm m 有1121111 21,j mj mmmj m j mmj m1121111 21j mj m mj jm mmj m j mmjm111121112111 2111 21(,)m mj mj mmj mj m mjj mmj m j mmj m

24、j m j mmjm111111212111 2111 21(,)(,),m mj mj mj mmj m mjj mmj m j mmj mj m j mmjm或即当 时，给出mm利用波函数的正交归一性，显然有111111212111 2111 21(,)(,),m mj mj mj m mj m mjjj m j mmj mj m j mmjm111 2111 21.jjmj m j mmjmj m j mmjm由于cg系数是实数，所以由式11221211 22(1,2)(1)(2)jmj mj mm mj m j mjm取逆得11221211 22(1)(2)(1,2)j mj mjmj

25、mm mmj m j mjm上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件1sss将上式代入正交归一性关系112211221122(,)j mj mj mj mm mm m2）clebsch-gordan系数的幺正性1122121211 2211 22 (,)jmjmm mm mjjmmm mmm mmj m j mjmj m j mj m 当 时，上式进一步写为22mm1111 2111 21,m mjmj m j mmjmj m j mmjm或1122121211 2211 22jjmmm mm mjjmmm mmm mmj m j mjmj m j mj m 得上式正式cg系数幺正性的体现。三、j 的取值范围已经知道，给定 ，有12jj和1111122222,1,1,1,1,mjjjjmjjjj 即1 max12max2(), (),mjmj所以max12max12( )().mmmjjmax12.jjjj