参数分离虽巧分类讨论不笨

1、参数分离虽巧，分类讨论不笨一遇到对于某个变量恒成立，求参数取值范围的问题，同学们总 是想到参数分离法，即将参数移到一边，变量移到另一边，然后应用 这样的结论：a f x或a f x包成立 a f x max或a f x min ,转 化为求函数f x在某个区间的最值问题。这方法虽巧，它直接明了， 击中要害，但对于复杂的函数求最值，就遇到了困难，那我们就应该 转换思路，用另一种方法一一分类讨论法来解决，它也不笨。下面举 几道高考题说明。例1、（2006年全国卷H）设函数f x x 1 ln x 1 ,若对所有 的x 0都有f x ax成立，求a的取值范围。分析：有大部分同学立刻想到分离参数，即转

2、化为a x 1 ln（x >恒成立，应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求不出陷入困境，解不下去。如果移项转化为f x ax 0恒成立，再应用导数，对a进 行讨论就简单了。解：令F x f x ax x 1 ln（x 1） ax,则 F' x In x 1 1 a（1） 若 a1 则 Qx 0 1nxi 1 1 In x 1 1a0 恒成0,增函数axax（2） 若a 1则由 Fx 0 x ea 1 1; F x 0 1xea11,故当x 0时F x F 0不恒成立即f x ax不恒成立。综合（1）、（2）,所以a的取值范围是例2、（2007年全国卷i理）设函数f x ex ex

3、（1） 求证f' x 2; （2）若对所有的x 0都有f x ax,求a的取值范围。分析：（1）略（2）由于x 0成立，当x 0时fx ax然后对 4求导，再求最值，这是最容易想到的方法，但解方 x程有困难；如果移项对a进行讨论，就豁然开朗了。解：（2）令 Fx f x ax 则 F'x f' x a ex e x aQx 0, ex ex 2当a 2时F'x 0即F x在0, 上为增函数，故Fx F 0又F0 0所以f x ax恒成立；当a 2时F x在0, 上有增有减，F x F 0不恒成立即f x ax不成立。综合以上可得：a的取值范围是a 2。例3、（2

4、010年新课标全国卷）设函数f x x ex 1 ax2（1） a。，求f x的单调区间；2（2）当x 0时f x 0,求a的取值范围。分析：（1）略（2） x 0时显然成立，当x 0时f x 0对右边求导，求极值但遇到了困难，如果应用分类讨论就迎刃而解了。解：当 x0 时 f x 0ex1ax 0 ,令 F x ex1 ax贝U F' xex a , Q x 0ex1当a 1时F' x 0即F x在0, 上是增函数，则F x F 0x Ina也即F x在D 当 a 1 时由 F' x 0 x lna;F' x 000, 上有增有减，F x 0不恒成立，f x

5、0也就不恒成立。综上a的取值范围是a 1总结：在解决实际问题时，我们总喜欢找点技巧很快解决，但有 时事与愿违寸步难行，由此还是规劝同学要从最基本常用的方法 考虑，不能总怕烦，有时可能并不烦，还有意想不到的效果呢！ 下面给出两道供大家练习：1、 已知函数f x ex ax 1 (a R且a为常数)若对所有的x 0都有f x f x ,求a的取值范围2、 已知函数f x x2 2ln x ,若f x 2bx在x 0,1内恒成x立，求b的取值范围。答案：1、a 12、1 b 1f (x)107.(全国I理 21)已知函数aln x bx 1x ,曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x 2y

6、 3 o。(i)求a、b的值;f (x)(n)如果当x 0,且x 1时，In x kx 1 x ,求k的取值范围。f'(x) 解：(I)zx 1 . (Inx) x(x 1)2bx ,由于直线x 2y 3 0的斜率为12 ,且过点(1，1),f (1) 1, b 1,解得a 1, b 1。f'(1)故(k 1)(x2 1)l1In x kf (x)(n)由(i)知" 1f(x)(-)x 1 x ,所以x '2(iii)设 k 1.此时 h (x) >0,而 h (1) =0,故当 x (1, + )时，h (x) >0,可得 1 xh (x) &l

7、t;0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为(-,09.(2009山东卷文)(本小题满分12分).一132已知函数f(x) - ax bx x 3淇中a 03(D 当a,b满足什么条件时，f (x)取得极值？(2)已知a 0,且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用a表示出b的取值范围解：(1)由已知得 f'(x) ax2 2bx 1,令 f'(x) 0 得 ax2 2bx 1 0, x22_(k 1)(x1)(k 1)(x1) 2x考虑函数 h(x) 21n x x (x °),则xf(x)要取得极值，方程ax 2bx 1 0必须有解，所以4b2 4a 0,即b2 a

8、,此时方程ax2 2bx 1 0的根为2b 4b2 4a bb2 a 2b4b2 4a b b2 ax1", x2-2aa2aa。22k(x 1) (x 1)(i)设 k 0,由x2知，当 x 1 时，h'(x) °。而 h(1) 0,故1 ，、 c2 h(x) 0当 x (0,1)时，h(x) °,可得 1 x；12当 x ( 1, +)时，h (x) <0,可得 1 x h (x) >0ln x kln x k从而当 x>0,且 x 1 时，f (x) - ( x 1 + x ) >0,即 f (x) > x 1 + x

9、.1( (ii)设 0<k<1.由于当 x (1,1 k )时，(k-1) (x2 +1) +2x>0,故 h (x) >0,而11" T ，一 一 -2h (1) =0,故当 x(1,1 k )时，h (x) >0,可得1 x h (x) <0,与题设矛盾。所以 f '(x) a(x x1 )(x x2)当a 0时，x(-8 ,x1)x 1(x1 ,x2)x2(x2, + oo)f'(x)十0一0十f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以f (x)在x i, x2处分别取得极大值和极小值当a 0时，x(-8 ,x2)x 2(x

10、2,x1)x1(x1 , + °°)f'(x)一0十0一f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以f (x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值综上，当a,b满足b2 a时，f(x)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f'(x) ax22bx 1 0在(0,1上恒成立.即b22 2xx (0,1恒成立,ax 1所以b (万元福、几ax仅 g(x)12x,g(x)22 2x22 21、a(x -) a2x2令 g'(x) 0 得 x1石或x1人丁 (舍去),，,1当a 1时,0 a1,当 x (0,时 g '(x)0

11、，g(x)ax21单调增函数；2x1,x (五,1时 g'(x)0，g(x)ax21 ., 一单调减函数， 2x所以当x ' 时，g(x)取得最大，最大值为g (，)aa所以b .a,1当0 a 1时，亍ax 11 ,此日g'(x) 0在区间(0,1恒成立，所以g(x) 一 在区间2 2x(0,1上单调递增，当x 1时g(x)最大,最大彳1为g(1)a 1, a 1，所以b 22a 1综上，当a 1时，b 、6; 当0 a 1时，b【命题立意】：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转

12、为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.1 3210.设函数 f(x) -x (1 a)x 4ax 24a,其中吊数 a>1(i )讨论f(x)的单调性；(n)若当x>0时,f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关 键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：(I) f (x) x2 2(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由a 1知，当x 2时，f (x) 0,故f(x)

13、在区间(，2)是增函数;当2 x 2a时，f (x) 0,故f(x)在区间(2,2a)是减函数;当x 2a时，f (x) 0,故f(x)在区间(2a,)是增函数。a 1 f(2a) 0, f(0) 0,综上，当a 1时，f (x)在区间(，2)和(2a,)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II )由(I)知，当x 0时，f (x)在x 2a或x 0处取得最小值。由假设知a 1,r 4即一a(a 3)(a 6) 0, 解得 1<a<6324a 0.故a的取值范围是(1,6)xf(x) 87.(安徽理16)设 1ax，其中a为正实数 (I)当a 3时，求f (x)的极值点;(n)

14、若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。本题考查导数的运算， 极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力解：对f (x)求导得f (x)2x1 ax axe22-(1 ax2)2a 4 f (x) 0,则4x2 8x 3 0,解得 x1 - ,x2(I)当 3,若2综合，可知+0-/极大值31xx2-所以，2是极小值点，2是极大值点.0+极小值/(II)若f(x)为 R上的单调函数，则 f (x)在R上不变号，结合与条件a>0,知2ax 2ax 1 0在R上恒成立，因此4a2 4a 4a(a 1)0，由此并结合a 0

15、,知0 a 1.88.(北京理18)已知函数f(x) (xxk)2e、求f (x)的单调区间;(2)若对 x (0 ，f(x)1e ,求k的取值范围。解：f/(x) 1(x2 kxk2)ek令 f/(x)0 得 x(2)当0时,0时,f(x)在(f(x)在(f(kk 0时，,k)和(k,)上递增，在(k，k)上递减;，k)和(1) e0时有(1)知f (x)在(0，k,)上递减，在(k, k)上递增e ；所以不可能对、f()上的最大值为x (0k) 4k,(01 f(x) 都有 e4k21k 02，故对x (0 ,)都有f(x)1e时，k的取值范围为1 2，0)112.(陕西理21)设函数f(

16、X)定义在(0, g(x) f (X) f (X)上f(1)f (x)导函数(1)求g(x)的单调区间和最小值；1g(一L ,-(2)讨论g(x)与x的大小关系;(3)是否存在x010|g(x) g(x0)| 一0 ,使得x对任意x0成立若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】(1)先求出原函数f(X),再求得g(x),然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论.1 f (x)【解】(1) . x, . f(

17、x) 1nx c (C为常数)，又 f(1) 0,所以 ln1 c 0,即c 0,1x 1x 1g(x) 1nx g(x) 二 0f (x) 1nx ；x ,x ,令g(x) 0 ,即 x ，解得 x 1,当x (0,1)时，g (x) 0, g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间；当x (1,)时，g (x) 0, g(x)是增函数，故区间在(1,)是函数g(x)的增区间；所以x 1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点, 所以g(x)的最小值是g(1) 1.1 g(-)1nx xx h(x) g(x)1g(-) 2ln x xh (x)(x 1)2当 x 1 时，h(1) 0g(x)x (0,1)U(1,)时,h(x)h (1) 0因此函数h(x)在(0,)内单调递减，当x 1 时，h(x)h(1)=0g(x)1g(_)x当 x 1 时，h(x) h(1)=0g(x)g(1) x(3)满足条件的x0不存在.证明如下:证法一假设存在x00|g(x)0,使g(x0)|x对任意x 0成立,In x即对任意x 0有g(x0) In x但对上述