第十节 闭区间上连续函数的性质

1、第十节第十节 闭区间上连续函数闭区间上连续函数的性质的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、介值定理二、介值定理三、小结三、小结一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0mi

2、n y, 1max y定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上

3、有界. .二、介值定理二、介值定理定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . 定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个

4、交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 aaf )( 及及 bbf )(, ,那末，对于那末，对于a与与b之间的任意一个数之间的任意一个数c，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得cf )( )(ba . .xyo)(xfy 几何解释几何解释:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(cxfx 设设,)(上连续上连续在在

5、则则bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)

6、1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxmm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理注意注意1闭区间；闭

7、区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数f(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且