专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用

1、专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用一、选择题1. (2017新课标n)若X - _2是函数f (x) =(x2 ax-1)ex的极值点，则f(x) =(x2 ax-1)eX 二的极小值为A. -1B . _2eC . 5e'D . 12. (2017浙江)函数y二f(x)的导函数y二f (x)的图像如图所示，则函数 y二f(x)的图像可能是3. (2016全国I)函数y =2x2 -e凶在-2,2的图像大致为4. （2015四川）如果函数7|-2八1f x =22m2x n8x1m_0 ,n_0 在区间单调递减，那么mn的最大值为81A. 16 B . 18 C . 25 D .2

2、5. （2015新课标n）设函数f （x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（-1） = 0，当X 0时,xf '(x) - f (x) ： 0，则使得f ( X) 0成立的x的取值范围是A 一：:,-HJ 0,1 B .-1,0 U 1,二C.-：,_1U-1,0D .0,1 U1, ：6. （2015新课标I）设函数f （x）二ex（2x1）ax a，其中a < 1，若存在唯一的整数 怡,使得f（xj 0，则a的取值范围是3 33 323e,3 C . 2?4)D .自）7. （2014新课标n）若函数 f（x）二kx-l nx在区间（1,匸：）单调递增，则k的取值范围是A

3、.-二，-2B-:-,-1 1 C . 2心 i； D .1：& （ 2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切）已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A. yC.y1 3x21 3x4y Jx3x2-2x429. （ 2014新课标H）设函数f x二3s“韦?.若存在f x的极值点x0满足10.11.12.x）2 川fX。：|.m2,A.：；：-匚片 一6 一 6,：C.-：，-2 一. 2,:则m的取值范围是一匚片-4. i 4,-：，-1 一 1,：（2014陕西）如图，某飞行器在 4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离

4、10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为-5-2A地面跑道A.yC.y133x x 125533x - x125（2014辽宁）围是A. -5,-3（2014湖南）A. ex2 -e5123.y x1253.y =1254x531x x5当x -2,1时，不等式若 0 ：捲：X2: 1，则In x2 Tn % Bax3 -x2X2X1e 2 e14x0恒成立，则实数 a的取值范D . 一4,-3In x2 -1n x13. （2014江西）在同一直角坐标系中，函数（a er）的图像不.可.能.的是=ax2-x -与2y = a2x3 _ 2 ax2 x a14

5、. （2013新课标n）已知函数f x = x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是Axo R, f X。=0B. 函数y = f x的图像是中心对称图形C. 若xd是f x的极小值点，贝y f x在区间-：,x（）单调递减D. 若xd是f x的极值点，则f ' x0 =015. （2013四川）设函数f （x） rex x-a （ a，R, e为自然对数的底数），若曲线y =si nx上存在点 (xo, yo)使得f(f(yo) = y°，则a的取值范围是A. 1,e B . e-1,1 C . 1, e 1 D . eJ -1, e 116. (2013福建)设函数f(

6、x)的定义域为R, xo(x°=O)是f(x)的极大值点，以下结论一 定正确的是A.R, f(x)岂 f(xo)B. -xo 是 f(-x)的极小值点C. -x0是- f (x)的极小值点D . -x0是- f(-x)的极小值点1 217 . (2012辽宁)函数y= x -In X的单调递减区间为2A. ( 1,1B . (0,1C . 1,+: )D . (0,+ ：)18 . (2012 陕西)设函数 f(x) =xex，贝UA. x =1为f （x）的极大值点B . X = 1为f （x）的极小值点C. x - _1为f (x)的极大值点D. X = _1为f (x)的极小值

7、点19. (2011 福建)若 a 0, b .0,且函数 f(x) =4x-ax2-2bx 2在x = 1 处有极值，则ab的最大值等于A. 2B. 3C . 6D. 920. (2011 浙江)设函数 f x = ax2 bx c a,b, R，若 x = -1 为函数 f x ex 的一个极值点，则下列图象不可能为y = f x的图象是A21. (2011 湖南)设直线 x=t 与函数 f(x) = x2, g(x)=lnx的图像分别交于点M,N ,D则当MN达到最小时t的值为1A. 1B.-2二、填空题322. (2015安徽)设x ax 0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次

8、方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号) a = -3,b = -3 : a = -3,b=2 : a - -3,b2 : a=0,b=2 ； a =1,b =2 .23. (2015四川)已知函数f(x)=2x, g(x)=x2+ax (其中a R).对于不相等的实数f(X1)-f(X2)g(xj g(X2)x-(, x2，设m, n，现有如下命题：Xr _X2捲 _ x2 对于任意不相等的实数 x1, x2，都有m； 对于任意的a及任意不相等的实数 x1, x2，都有n；对于任意的a，存在不相等的实数 x1, x2，使得m - -n .其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).&q

9、uot;O,OcxWl24. (2015江苏)已知函数 f(x)=|lnx|, g(x)=2，则方程X24|2,x>1| f (x) g(x) 1实根的个数为.25. ( 2011广东)函数f (X)= X3X2 +1在x=处取得极小值.三、解答题126. (2018全国卷I )已知函数f (x) x a lnx .x(1) 讨论f (x)的单调性；若f (x)存在两个极值点xnx2，证明：f (xj 一 f (x2): a - 2 .Xr _ x227. (2018 全国卷 n )已知函数 f (x) =ex - ax2.(1) 若 a =1，证明：当 x > 0 时，f (x)

10、 > 1 ；(2) 若f (x)在(0,：)只有一个零点，求a .228. (2018 全国卷川)已知函数 f (x) = (2 x ax )ln(1 x) -2x .(1)若 a = 0，证明：当 一1 ： x ： 0 时，f (x) : 0 ；当 x 0 时，f (x) 0 ；若x = 0是f (x)的极大值点，求a .29 . (2018北京)设函数 f(X)二ax2 -(4a 1)x 4a 3ex.(1) 若曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行，求a ；(2) 若f (x)在x =2处取得极小值，求 a的取值范围.30 . (2018 天津)已知函数 f(x)

11、 =ax, g(x)=logax，其中 a 1 .(1) 求函数h(x)二f(x)-xlna的单调区间；(2) 若曲线y二f (x)在点(xn f (X1)处的切线与曲线 y =g(x)在点(X2,g(x2)处的切线平行，证明2ln ln aX1 g(x2)=ln a(3)证明当a > ee时，存在直线l，使I是曲线y = f (x)的切线，也是曲线y二g(x)的 切线.31. (2018江苏)记f (x), g (x)分别为函数f (x), g(x)的导函数.若存在x0三R，满足 f(x°)=g(xo)且 f (xo)=g (xo)，则称 x为函数 f (x)与 g(x)的一

12、个“ S点”.(1)证明：函数f(x)二x与g(x) = x2 2x-2不存在“ S点”；2若函数f(X)二ax -1与g(x) = In X存在“ S点”，求实数a的值；bex_(3)已知函数f (x) - -x a , g(x).对任意a 0，判断是否存在 b 0，使x函数f (x)与g(x)在区间(0, ：)内存在“ S点”，并说明理由.32. (2018 浙江)已知函数 f(x)=_xl n x .(1) 若 f (x)在 x =为,x2(捲=x2)处导数相等，证明：f(xj - f (x2) 8-81 n 2 ；(2) 若a < 3-4In 2，证明：对于任意 k . 0 ,直

13、线y=kx a与曲线y= f(x)有唯一 公共点.33. (2017 新课标 I)已知函数f (x) =ae2x (a-2)ex-x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有两个零点，求a的取值范围.34. (2017 新课标 n)已知函数f (x)二 ax2 - ax - xlnx，且 f (x) > 0 .(1) 求 a ；(2) 证明：f (x)存在唯一的极大值点 x0，且e f (x0) ： 2° .35. (2017新课标川)已知函数f(x)=x-1-al nx .(1) 若 f (x) > 0，求 a 的值；111(2) 设m为整数，且对于任意正

14、整数n , (1)(12)(1 n) "： m，求m的最小222值.36. (2017 浙江)已知函数 f (x) =(x - 2x-1)e(x > ).2(I)求f (x)的导函数；1(n)求f(x)在区间,：)上的取值范围.2_3237. ( 2017江苏)已知函数 f(x)二x ax bx 1 (a 0,bR)有极值，且导函数 (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2) 证明：b2 3a ；(3) 若f (x) , f (x)这两个函数的所有极值之和不小于丄，求a的取值范围.238. (2

15、017天津)设Z ,已知定义在R上的函数f (x) =2x4 3x3 -3x2 -6x a在区间(1,2)内有一个零点 怡,g(x)为f (x)的导函数.(I)求g(x)的单调区间；(n)设 m 1, x0J(x0,2,函数 h(x) = g(x)(m - 灯 - f (m) ，求证：h(m)h(x()v0 ；(川)求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且-1,x0J(x0,2,q满足|卫_x°|一丄.q Aq39.( 2017 山东)已知函数 f x =x2 2cosx , g x =ex cosx-sin x，2x-2，其中e =2.71828 |I是自然对数的底

16、数.(I)求曲线y=f x在点(二，f (二)处的切线方程；(n)令h(x)二g(x) -af(x) (a R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值 时求出极值.2x 140. (2016 年山东)已知 f(x)二axT nx2 , a R .x(I)讨论f (x)的单调性；(II )当a =1时，证明f(x)> f' x 对于任意的x，1,2 1成立.41. (2016 年四川)设函数 f (x) = ax2 - a -1n x，其中 a R.(I)讨论f (x)的单调性；1 d(II )确定a的所有可能取值，使得f(x)e1公在区间(1厂：)内恒成立(e=2.718x

17、为自然对数的底数).42. (2016 年天津)设函数 f(x)=(x用axb, xw R ,其中 a,b R(I) 求f (x)的单调区间；(II) 若 f (x)存在极值点 x0,且 f (xj = f (x0)，其中 = x0，求证：x1 2x-3 ；1(川)设a>0，函数g(x)=| f (x)|，求证：g(x)在区间1,1上的最大值不小于 一.443. (2016年全国I )已知函数f (x) =(x-2)ex a(x-1)2有两个零点.(I )求a的取值范围；(II )设x1 , x?是f (x)的两个零点，证明：x( x2 ： 2 .44. (2016 年全国 n )x 2

18、 x(I) 讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x 0时，(x-2)ex x 2 0 ；x +2x(II) 证明：当a 0,1)时，函数g x =e一(x 0)有最小值.设g x的最小值x为h(a)，求函数h(a)的值域.45. (2016 年全国川)设函数 f (x) = : cos2x C - 1)(cosx 1)，其中芒 > 0 ,(I)求 f (x)；(n)求 A ；(川)证明 |f (x)| < 2A .46. (2016 年浙江高考)已知 a > 3，函数 F(x) = min2| x-1|,x2-2ax 4a-2，其中min p,q=P，P w qq, p &

19、gt; q(I)求使得等式F(x) = x2 -2ax 4a -2成立的x的取值范围;(II ) (i ) 求 F(x)的最小值 m(a)；(ii )求F(x)在区间0,6上的最大值 M(a).47. (2016 江苏)已知函数 f x =ax bx a . 0,b .0,a=1,b=1 .(1) 设 a =2 , b J .2 求方程f x =2的根； 若对于任意x. R，不等式f 2x > mf x -6恒成立，求实数 m的最大值；(2) 若0 ：a ：1 , b 1，函数g x =f x -2有且只有1个零点，求ab的值.48. (2015 新课标 n)设函数 f(x) =emx

20、x2 - mx .(i )证明：f (x)在(©0)单调递减，在(0, ：)单调递增；(n )若对于任意为,x2 -1,1，都有| f (xj - f (x2) | < e -1，求m的取值范围.49. (2015 山东)设函数 f (x) =ln(x 1) a(x2 -x)，其中 a R .(i)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(n)若-x 0 , f (x) > 0成立，求a的取值范围.50. (2015湖南)已知a0,函数f (x) = eax si nx(x0,=).记xn为f (x)的从小到大的第n(nN*)个极值点.证明：(1)数列f (xn)是等

21、比数列；1 *(2)若a > ，则对一切n空N , Xn£|f(Xn)|恒成立. e2 -151. (2014新课标n)已知函数f (xx3x2 ax 2，曲线y二f (x)在点(0, 2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(i)求 a；(n)证明：当k <1时，曲线y = f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.e*252. (2014山东)设函数f x二-y-k( ln x) ( k为常数，e=2.71828川是自然对数xx的底数).(I)当k乞0时，求函数f x的单调区间；(n)若函数f x在0,2内存在两个极值点，求 k的取值范围.1 _ a 253. (2014

22、 新课标 I)设函数 f x 二 a In xx- bx a = 1，曲线 y = f (x)在点(1,f(1)处的切线斜率为0.(I)求 b；a(n)若存在 冷_1,使得f x0，求a的取值范围.a -1X 154. (2014山东)设函数f (x) = aln x ，其中a为常数.x+1(I)若a = 0，求曲线y = f (x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)讨论函数 f (x)的单调性.155. (2014 广东)已知函数 f (x)X3 X2 ax 1(a R).3(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当a <0时，试讨论是否存在 x(0,-J(-,1)，使得f(x&#

23、176;)= f (丄).2 2 256. (2014江苏)已知函数f(x)二ex - e"，其中e是自然对数的底数.(I)证明：f (x)是R上的偶函数；(n)若关于x的不等式mf(x) < e m-1在(0,；)上恒成立，求实数m的取值范围； (川)已知正数a满足：存在x0 1,；)，使得f (x0) ：a(-x； 3x0)成立.试比较ea 与ae4的大小，并证明你的结论.57. (2013 新课标I)已知函数 f (x) =ex(ax b)-x2-4x，曲线 y = f (x)在点(0, f(0) 处切线方程为y = 4x 4 .(I)求a, b的值；(n)讨论f(x)的

24、单调性，并求f(x)的极大值.58. (2013新课标n)已知函数f(x)=x2e：(I)求f (x)的极小值和极大值;(n)当曲线y二f (x)的切线丨的斜率为负数时，求丨在x轴上截距的取值范围. a59. (2013福建)已知函数f(x)=x-1 飞(a- R , e为自然对数的底数).e(I)若曲线y = f (x)在点(1, f(l)处的切线平行于x轴，求a的值；(n)求函数f (x)的极值；(川)当a =1的值时，若直线|：y=kx1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大 值.60. (2013 天津)已知函数 f(x)=x2lnx .(I)求函数f (x)的单调区间；(n) 证明

25、：对任意的t 0，存在唯一的s，使t = f(s).(川)设(n)中所确定的s关于t的函数为s = g(t),证明：当t e2时，有S直丿.5 lnt 261. (2013 江苏)设函数 f(x)=l nx-ax , g(x)=ex-ax，其中 a 为实数.(I)若f (x)在(1, ：)上是单调减函数，且 g(x)在(1厂：)上有最小值，求a的取值 范围；(n)若g (x)在(-1, ：)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论.62. (2012 新课标)设函数 f(x)二 ex-ax-2.(I)求f (x)的单调区间；(n)若a =1, k为整数，且当x 0时，(x - k) f (x) x 1 0，求