学案2同角三角函数的基本关系式及正余弦诱导公式

1、学案学案2 2 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 及正余弦的诱导公式及正余弦的诱导公式名师伴你行.考点一考点一考点二考点二考点三考点三名师伴你行.1.同角三角函数之间的三个基本关系式同角三角函数之间的三个基本关系式是是 ， ， .sin2+cos2= 1 tancot=1 coscossinsin tantan名师伴你行.2.正弦、余弦的诱导公式：正弦、余弦的诱导公式： - - + 2- Z Z) )k k2 2k k - -2 2 2 2 - -2 23 3 2 23 3- Sin sin - Sin - Sin sin cos - Cos - Cos - Sin cos c

2、os - Cos - Cos cos cos sin - Sin - Sin sin cos 名师伴你行.考点一考点一 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 【例【例1】（1）已知）已知sin= ,且且为第二象限角，求为第二象限角，求tan；（2）已知）已知sin= ，求，求tan；（3）已知）已知sin=m(m0,m1)，求，求tan.【分析】【分析】三个问题的区别有二：一是角三个问题的区别有二：一是角是否给出象限是否给出象限的问题；二是的问题；二是的正弦值是字母还是数值的问题的正弦值是字母还是数值的问题.3 31 13 31 1名师伴你行.【解析】【解析】（1）sin= ，为第

3、二象限角，为第二象限角，cos=tan= .（2）sin= 0,为第一或第二象限角为第一或第二象限角.当当为第一象限角时，为第一象限角时，cos= ,tan= ;当当为第二象限角时，由（为第二象限角时，由（1）知，）知，tan= .3 31 13 32 22 2) )3 31 1( (1 1s si in n1 12 22 24 42 23 31 13 32 22 2s si in n1 12 24 42 2coscos sinsin 4 42 2名师伴你行.（3）sin=m(m0,m1), cos= (当当为一、四象限角为一、四象限角时取正号，当时取正号，当为二、三象限角时取负号为二、三象限

4、角时取负号).当当为一、四象限角时为一、四象限角时,tan= ; 当当为二、三象限角时，为二、三象限角时，tan= .2 22 2m m1 1s si in n1 12 2m m1 1m m2 2m m1 1m m名师伴你行.【评析】【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分成三种情况：式求解，一般分成三种情况：（1）一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或）一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此

5、类情况只有一组终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解解.（2）一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所）一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上没有给出（如例），在的象限或终边落在哪个坐标轴上没有给出（如例），解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况求解情况求解.（3）一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，或用）一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，或用一个角的某一个三角函数值来表示这个

6、角的其他三角函一个角的某一个三角函数值来表示这个角的其他三角函数，此类情况需对字母进行讨论或对角数，此类情况需对字母进行讨论或对角所在的象限进行所在的象限进行讨论，并注意对分类标准适当选取，一般有两组解讨论，并注意对分类标准适当选取，一般有两组解.名师伴你行.对应演练对应演练已知已知为锐角，且为锐角，且 tan= ，求，求 的的值值.2 21 1c co os s2 2o os s2 2s ss si in n - -s si in n2 2 i in n2 2原式原式=因为因为为锐角，由为锐角，由tan= ,得得cos= ,所以原式所以原式= . .2 2c co os s1 12 2c c

7、o os sc co os sc co os s2 22 2c co os sc co os sc c1 1- -2 2c co os sc co os s2 22 2s si in ns si in nc cs si in n- -2 2s si in ns si in n2 22 22 21 15 52 245 5名师伴你行.考点二考点二 同角三角函数关系式的灵活应用同角三角函数关系式的灵活应用 【例【例2】已知已知sin+cos= (0),求求tan的值的值.3 32 2【分析】【分析】考虑考虑tan= ,从而由已知条件分别求出从而由已知条件分别求出sin和和cos,再由再由sin,co

8、s的值求出的值求出tan.主要考查同角主要考查同角三角函数的基本关系式的运用三角函数的基本关系式的运用.c co os ss si in n 名师伴你行.【解析】【解析】解法一：将已知等式两边平方，得解法一：将已知等式两边平方，得sincos=- , ,故故sin-cos= = . sin+cos= sin-cos= ,得得sin= ,cos= .tan= .18187 72 2coscos- -(sin(sin)2 234c co os s2 2s si in n- -1 13 32 23 34 46 62 246 62 247 72 24 4- -9 9- -c co os ss si i

9、n n解方程组解方程组名师伴你行.解法二解法二:由由sin+cos= ,且且sincos=- ,并注意到并注意到sin0,cos0,设以设以sin,cos为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为x2- x- =0，解得，解得x1=sin= ,x2=cos= .故故tan= .3 32 218187 76 62 243 32 218187 76 62 247 72 24 4- -9 9- -coscossinsin【评析】【评析】本题的解决必须先充分挖掘题目中的隐含条件，本题的解决必须先充分挖掘题目中的隐含条件，即即( ,),否则，容易产生多解否则，容易产生多解.另外，本题由另外，本题由sinc

10、os联系联系sin+cos和和sin-cos，从而构造方程，从而构造方程组，求解组，求解sin,cos的方法也值得注意的方法也值得注意.2 2名师伴你行.对应演练对应演练已知已知sin(+k)=-2cos(+k),kZ,求：求：. .coscos5 52 2sinsin4 41 1(2)(2); ;3sin3sin 5cos5cos2cos2cos- -4sin4sin (1)(1)2 22 2名师伴你行.sin(+k)=-2cos(+k),tan(+k)=-2,tan=-2.（1） （2）1 10 03 32 25 52 24 42 23 3t ta an n5 52 24 4t ta an

11、 n3 3s si in n 5 5c co os s2 2c co os s- -4 4s si in n . .2 25 57 71 14 45 52 21 11 1t ta an n5 52 2t ta an n4 41 1c co os ss si in nc co os s5 52 2s si in n4 41 1c co os s5 52 2s si in n4 41 12 22 22 22 22 22 22 22 2名师伴你行.考点三考点三 诱导公式的应用诱导公式的应用 【例【例3】化简化简tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-).【分析】【分析】灵活运

12、用诱导公式灵活运用诱导公式.名师伴你行.【评析】【评析】当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱导公式化简求值在联系，再利用诱导公式化简求值.【解析】【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)=tan(27-)tan(49-)tan90-(27-)tan90+(49-)=tan(27-)tan(49-)cot(27-)-cot(49-)=tan(27-)cot(27-)tan(49-)-cot(49-)=-1.名师伴你行.对应演练对应演练化简下列各式：化简下列各式：（1）（2）sin690sin150+

13、cos930cos(-870)+tan120tan1 050.; ;) )- -) )t ta an n( (3 3- -c co os s( ( ) )- -) )c co ot t( (- -) )t ta an n( (- -s si in n( (2 2 名师伴你行.（1）原式）原式（2）原式）原式=sin(720-30)sin(180-30)+cos(1 080-150)cos(720+150)+tan120tan(1 080-30)=-sin30sin30+cos150cos150+tan60tan30=; ;1 1c co os sc co ot ts si in nt ta an n) )( (c co os s- -c co ot t) )( (t ta an ns si in n- -2 23 34 43 34 41 11 1名师伴你行.1.运用诱导公式的重点在于函数名称与符号的正确判断和运用诱导公式的重点在于函数名称与符号的正确判断和使用，在运用同角关系的平方关系时，关键在于讨论角的使用，在运用同角关系的平方关系时，关键在于讨论角的范围范围.2.进行三角函数式的恒等变形，要善于观察题目特征，灵进行三角函数式的恒等变形，要善于观察题目特征，灵活选择公式，通过三角变换达到化异为同的目的活选择公式，通过三角变换达到化异为同的目的.3