线性代数课件：3-4 齐次线性方程组解的性质

1、1解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质2,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21则上述方程组（则上述方程组（1）可写成）可写成.Ax0 1212111nnx,x,x 若若为方程为方程 的的0 Ax解，则解，则（2）3 121111nx 称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是方程，它也就是方程(2)的的解解4齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的

2、解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 5（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 证毕证毕.11,ssi iiksxxx=由以上两个性质可知，若是方程的 个解向量，则他们的线性组合仍是齐次线性方程组的解向量。6如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0 , 21 Axt 12(1),0;tAxh hh=L是的一组线性无关的解12 (2)0,.tAxh hh=L

3、的任一解都可由线性表示基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法7的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 8线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA900000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb n

4、rn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax10现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入., 100, 010, 00111依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,12 3. 系数矩阵的秩系数矩阵的秩+基础解系中解向量的个数基础解系中解向量的个数=未知量的个数未知量的个数说

5、明说明2基础解系不是唯一的基础解系不是唯一的.kkkxrnrn 22111若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 rn, 210 Ax.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 13例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A14 .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令x

6、x,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系15).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解16例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换17 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关

7、的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 10018所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 19例例3 3= ,( )(n),.npABOA Bmr Ar Bn+矩阵，且证明设分别是和证证111,0(),(,1,)(),pppjBABAAOA

8、AjpBbbbbbbb=。因此 的每个列向量都是齐次线性方程组Ax=由得0的解向量。1,( )( )BOr ABnr=+（）若则111(2),0,( ).nrpnrBrr ABhhbbhh-=若其中而 的列向量 ，都可则说明Ax=0有非零解。从而有以由线基础解系性表示。11,( ,)( )( )( )pnrrnr Ar Ar Bnbbhh-+=+由于“系数矩阵的秩基础解系中解向量的个数未知量的个数”所以r(B)=r(所以)。20 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 矩阵的秩的最基本的性质归纳起来有矩阵的秩的最基本的性质归纳起来有 (1) 0min,m nr Am n()( );TR AR A= (2) (3) 若若P、Q可逆可逆 ,则则 .ARPAQR21 (4) max(),()(|)( )( ),m nm pR AR BR A BR A