椭圆经典练习题两套

1、椭圆练习题 1A 组基础过关一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2012· 厦门模拟 )已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()123A.2 B. 2 C. 2 D. 22解析由题意得 2a2 2ba 2b，又 a2b2c2bca 2ce 2 .答案B2(2012· 长沙调研)中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长

2、为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()x2y2x2y2x2y2x2y2A.81721B.81 9 1C.81451D.813611解析依题意知：2a18，a9,2c3×2a，c3，x2y2b2a2c281972，椭圆方程为81721.答案A3(2012· 长春模拟)椭圆 x24y21 的离心率为()3322A. 2 B.4 C. 2 D.3x2y213bc解析先将 x24y21 化为标准方程 1  

3、;1 1，则 a1， 2，  a2b2 2 .4c3离心率 ea 2 .答案Ax24(2012· 佛山月考)设 F1、F2 分别是椭圆 4 y21 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1PF2，则点 P 的横坐标为()82 6A1B.3 C2 2 D. 3x2解析由题意知，点 P 即为圆 x

4、2y23 与椭圆 4 y21 在第一象限的交点，解ìïx2y23，方程组íx2ïî 4 y21，2 6得点 P 的横坐标为 3 .答案D35(2011·惠州模拟)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 2 ，且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为()x2y2x2y2x

5、2y2x2y2A. 4  9 1B. 9  4 1C.36 9 1D. 9 361x2y2解析依题意设椭圆 G 的方程为a2b21(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12，2a12，a6，a2b233椭圆的离心率为 2 .a 2 ，36b236 2 .解得 b29，x2y2椭圆 G 的方程为：36 9 1.答案C二、填空题(每

6、小题 4 分，共 12 分)x2y26若椭圆25161 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2的距离是_解析由椭圆的定义可知，|PF1|PF2|2a，所以点 P 到其另一个焦点 F2 的距离为|PF2|2a|PF1|1064.答案47(2011·皖南八校联考)已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且满足|

7、PF1|2|PF2|，PF1F230°，则椭圆的离心率为_解析在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F12，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1| 3，2c3离心率 e2a 3 .答案338(2011·江西)若椭圆a2b21 的焦点在 x 轴上，过点ç1，2÷作圆 x2y21 的求得切点 Aç5，5÷，又 PF1PF2，  · 

8、60;1，得：c225，x2y2æ1öèø切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_1解析由题可设斜率存在的切线的方程为 y2k(x1)(k 为切线的斜率)，即 2kx2y2k10，|2k1|34k24由1，解得 k4，所以圆 x2y21 的一条切线方程为 3x4y50，æ34öèø易知另一切点 B(1,0)，则直线 AB 的方程为 y2

9、x2.令 y0 得右焦点为(1,0)，令 x0 得上顶点为(0,2)a2b2c25，x2y2故得所求椭圆方程为 5  4 1.x2y2答案5  4 1三、解答题(共 23 分)x2y29(11 分)已知点 P(3,4)是椭圆a2b21(ab0)上的一点，F1，F2 是椭圆的两焦点，若 PF1PF2.试求：(1)椭圆的方程；(2)1F2 的面积916解(1)P 点在椭圆上，a2 b2 1.

10、443c 3c又 a2b2c2，由得 a245，b220.x2y2椭圆方程为45201.1(2)PF1F22|F1F2|×45×420.10(12 分)(2011·陕西)如图，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴4上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|5|PD|.P 在圆上，x2ç4y÷225，即 C 的方程为251

11、61.x1 3   41(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；4(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的长度解(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，ìïxPx，由已知得í5ïîyP4y，æ5 öx2y2èø44(2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y5(x3)，设直线与&#

12、160;C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，4将直线方程 y5(x3)代入 C 的方程，得x2(x3)225251，即 x23x80.3 41，x222.ç125÷(x1x2)2  线 段 AB 的 长 度 为 |AB| 414125×41 5 .(x1x2)2(y1y2)2 æ 16öè  &

13、#160;  øB 级提高题一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)x2y21(2012· 丽水模拟)若 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆a2b21(ab0)上的一点， 1且PF1· PF20，tanPF1F22，则此椭圆的离心率为()P 为椭圆上一点且PF1· PF2c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设 P(x，y)，则PF1· PF2(cx，y)·

14、;5211A. 3 B. 3 C.3 D.22c5解析在 Rt1F2 中，设|PF2|1，则|PF2|2.|F1F2| 5，e2a 3 .答案Ax2y22(2011·汕头一模)已知椭圆 42 1 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若1PF2 为直角三角形，则这样的点 P 有()A3 个B4 个 C6 个D8 个解析当PF1F2 为直角时

15、，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有 2 个；同理当PF2F1 为直角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点 P 有 2 个故符合要求的点 P 有 6 个答案C二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)x2y23(2011·镇江调研)已知 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆a2b21(a

16、b0)的两个焦点，  (cx，y)x2c2y2c2c2b2将 y2b2a2x2 代入式解得 x2(3c2a2)a2，a  ë 3   2 û答案ê  ， 2 úcé 32ù又 x20，a2，2c2a23c2，e ê，ú.é 32ùë 3ûx2F1AF B24(

17、2011·浙江)设 F1，F2 分别为椭圆 3 y21 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上，若  5  ，则点 A 的坐标是_解析根据题意设 A 点坐标为(m，n)，B 点坐标为(c，d)F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(   2，0)、(   2，0)，可得F1A(m   2，n)，F2B(c 

18、60; 2，d)，  5  ，cm6   2，dn.点 A、B 都在椭圆上，m25535è       ø  ænöç1，2÷为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距设椭圆方程为4c23c21，将ç1，2÷代入，得 c21，故椭圆方程为 4  3 1.2æm6 2

19、öç÷23è  øn21，ç5÷21.解得 m0，n±1，故点 A 坐标为(0，±1)答案(0，±1)三、解答题(共 22 分)x2y25(10 分)(2011·大连模拟)设 A，B 分别为椭圆a2b21(ab0)的左，右顶点，æ3öèø(1)求椭圆的方程；(2)设 P(4，x)(x0)，若直线 AP，BP 分别与椭圆

20、相交异于 A，B 的点 M，N，求证：MBN 为钝角(1)解(1)依题意，得 a2c，b2a2c23c2，x2y2æ3öx2y2èø(2)证明由(1)，知 A(2,0)，B(2,0)，322设 M(x0，y0)，则2x02，y04(4x0)，由 P，A，M 三点共线，得 x 6y0x02， (x 2，y )，BPæç2，  6y0  ö÷

21、，BMx02øèx022离心率为2，且经过点 Mç1，2÷.(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，满足PA· PB00  0BM· BP2x 4 6y2 5(2x )0，00即MBP 为锐角，则MBN 为钝角6()(12 分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在 x 轴上

22、的椭圆 C 的1æ3öèø(1)求椭圆 C 的方程； PM2？若存在，求出直线 l1 的方程；若不存在，请说明理由解  (1)设椭圆 C 的方程为a b 1(ab0)，由题意得 íc1ïîa2，  yx2    22    21bìïa249 21，a2b2c

23、2，解得8k1(2k11)     16k2116k18又 x1x2      ，x1x2        ，因为PA· PBPM2，2·         4ú(1k21)    4，解得 k1±2.é

24、16k2116k188k1(2k11)  ù     44k15        134k2134k2134k21a24，b23.x2y2故椭圆 C 的方程为 4  3 1.11(2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为 yk1(x2)1，代入椭圆 C 的方程得，(34k21)x28k1(2k11)x16k2

25、16k180.因为直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以 8k1(2k11)24(34k21)(16k216k18)32(6k13)0，所以 k112.234k134k21 5即(x12)(x22)(y11)(y21)4，5所以(x12)·(x22)(1k21)|PM|24.52即x1x22(x1x2)4(1k1)4.所以êëû11因为 k12，所以 k12.1于是存在直线

26、 l1 满足条件，其方程为 y2x.【点评】解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略 0 这一隐含条件，结果会造成两解.3若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点 (   ,-   ) ，则椭圆方程是_。5椭圆练习题 2一、填空题1椭圆 2 x

27、60;2 + 3 y 2 = 6 的焦距为_。2如果方程 x 2 + my 2 = 2 表示焦点在 y 轴的椭圆，则 m 的取值范围是_。3224椭圆x 2  y 2+   = 1的焦距是 2，则 m 的值是_。m   45若椭圆长轴的长等于焦距的 4

28、0;倍，则这个椭圆的离心率为_。+   = 1上的一点， F1和 F2是焦点，若F1PF2=30°，则F1PF2 的面积6 P 是椭圆x 2  y 25   4等于_。7已知 P 是椭圆x2  y 2               

29、                  17+   = 1 上的一点，若 P 到椭圆右准线的距离是  ，则点 P 到左焦100  36             &#

30、160;                    2点的距离是_。8椭圆9椭圆x 2  y 2+   = 1 的点到左准线的距离为 5，则它到右焦点的距离为_。25  9x 2  y 2+   = 1&

31、#160;的中心到准线的距离是_。2   310中心在原点，准线方程为 x =±4，离心率为12的椭圆方程是_。11点 P 在椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上，则点 P 到直线 3x - 2 y - 16 = 0 的距离的最大值是_。12直线 y = x 

32、+ 1 被椭圆x 2  y 2+   = 1所截得的弦的中点坐标是_。4   213若椭圆x 2  y 2+   = 1 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_。36  914已知椭圆x 2  y 2+   = 1 内有一点 P(1,-1)

33、0;， F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点 M ，4   3使 | MP | +2 | MF | 之值为最小的 M 的坐标是_。二、解答题15已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 e = 12，短轴长为 6 ，求椭圆的方程+     =1 上两点，F2为椭圆的右焦点，若 AF  + 

34、BF  =a 29a 2516已知 A、B 为椭圆x 2  25 y 2                                   

35、;  82 2a ，AB中点到椭圆左准线的距离为 32，求该椭圆方程。x 2  y 217 一条变动的直线 l 与椭圆+=1 交于 P 、 Q 两点， M 是 l 上的动点，满足关系42MP × MQ = 2 若直线 l 在变动过程中始终保持其斜率等于 1求动点 M 的轨迹方程，

36、并说明曲线的形状。椭圆 2 参考答案一、填空题212(0,1)3x 2  y 2                      15+   = 1     4      &#

37、160;5        64(2 -10  6                      43)78 6         93   

38、60;  10   x   + y   = 1        116652 24   324 131312 (-   ,   )      13  x + 2 

39、y - 8 = 0        14（2 13 323-16， ）15由  í   e = =              ，椭圆的方程为：  += 1或   +

40、0;  = 1 .î   c   =   3a  2                              12  

41、9     12  9二、解答题b = 3ìì   a   = 2  3ïc1x 2y 2y 2x 2ïî a 2 - b 2 = c 25516设 A( x , y ) ， B(

42、 x , y ) ，Q e = 411228, 由焦半径公式有 a - ex + a - ex = a ，1 2 x + x =1212a 即 AB 中点横坐标为 1 a ，又左准线方程为 x = - 5 a ， 1 a + 5 a = 3 ，即4 4       4   4   2333     325a=1，椭圆方程为 x 2 +y 2 = 1 。917 设动点 M ( x, y) ，动直线