多元微积分自由探索

1、多元微积分自由探索杨科中国平安保险公司四川分公司,四川成都(610041)E-mail: more2006e摘 要：在球面坐标系,闭合参数曲面积分和三重积分的计算方法已经固有-以Ostrogradskii-Gauss公式为理论依据和验证准绳非闭合参数曲面,可运用Stokes公式, 将曲面积分和三重积分推广到任意参数曲面坐标系,实现任意参数曲面积分和任意空间区域三重积分; 同样,在极坐标系,闭合参数曲线积分和二重积分的计算方法也已经固有-以Green公式为理论依据和验证准绳, 将二重积分推广到任意平面坐标系, 实现任意平面区域二重积分.关键词：向量场 数量场 任意参数曲面积分 任意空间区域三重积

2、分 任意平面区域二重积分自由平面积 自由体积 自由曲面积中图分类号：O17引言通用数学分析教材所涉及的第一型曲面积分即数量场曲面积分和第二型曲面积分即向量场曲面积分的计算,多是采用投影法,其基本思路是将空间区域中的曲面积分,转化为某一坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的1 2. 示例及作图略3投影法的缺陷是明显的:第一,积分曲面在任一坐标平面的投影区域不能有重迭,这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面;在现实世界和工程领域更为普遍存在复杂参数曲面,投影法则无能为力;第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性,计算诸如"以三维坐标原点为中心的圆球体上侧.下侧.左侧.右侧曲面&

3、quot;类型的简单曲面积分,再乘以某一常数,得到整个曲面的积分值;在现实世界和工程领域更为普遍存在的不对称.不规则曲面,投影法计算非常繁琐,甚至不能计算;第三,因不同积分曲面的差异,投影的方向,投影的次数千差万别尤其是分面投影法.有100道题,就可能有100种投影方案.计算过程不可能标准化模块化,不利电子计算机编程;第四,不论积分曲面复杂程度,投影法实际计算过程普遍繁琐;第五,更为重要的是,在数学分析领域中至关重要的Ostrogradskii-Gauss公式,Stokes公式在某种意义上也包括Green公式,投影法几乎没有直接计算例证即使有,也是极个别的特例,没有代表性,如上例正方体外观的积

4、分'曲面' 3.通用数学分析教材的写法是:先用符号逻辑推理的方法证明了这三大公式的存在,然后是如何应用这三大公式简化计算;非常遗憾的是,没有这三大公式的丰富多彩绚丽的直接计算例证.在通用数学分析教材中,有球面坐标系向量场(或数量场)参数曲面积分,球体空间区域三重积分,极坐标系平面区域二重积分计算方法. 3 如下演示:A.通用数学分析教材中,球面坐标系向量场参数曲面积分Maple格式,以后相同4:> restart; #内存清空> with(plots):with(linalg): #加载绘图工具库和线性代数分析库> CS:=sin(u)*cos(v),sin(

5、u)*sin(v),cos(u); #定义参数球面CS> rgu:=0,Pi;> rgv:=0,2*Pi; #定义参数u,v取值范围>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=2000);g1:=%: 图1 引言部分 参数球面> V:=z,y,x; #定义积分向量场V> rgx:=-1,1;> rgy:=-1,1;> rgz:=-1,1; #定义作图范围> g2:=fieldplot3d(V,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM): #积分向量

6、场V作图> display(g1,g2); 图2 引言部分 参数球面和积分向量场> x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3: #将球面CS的参数表达式赋值于变量x,y,z>matrix(3,3,i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v);m:=rhs(%);#定义偏导数矩阵m,其目的,是计算球面CS的切平面法向量> det(m);

7、 #矩阵m求值> mn:=simplify(%); #表达式化简> A:=coeff(mn,i); #提取i项系数> B:=coeff(mn,j); #提取j项系数> C:=coeff(mn,k); #提取k项系数,A,B,C构成切平面法向量>Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 向量场V与切平面法向量A,B,C的空间点积在参数u,v取值范围内积分> value(%);> evalf(%);P388-389 3B.通用数学分析教材中,球体空间区域数量场三元函数三重积分3:> res

8、tart;> with(plots):with(linalg):> CS:=sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u); #定义参数球面CS> rgu:=0,Pi;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=2000);g1:=%: 图3 引言部分 参数球面> M3VF:=x2-y*z; #定义积分数量场三元函数M3VF> rgx:=-1,1;> rgy:=-1,1;> rgz:=-1,1;> g2:=implicitplot3d(M3

9、VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,numpoints=5000,color=cyan):> display(g1,g2); 图4 引言部分 球体空间区域和积分数量场三元函数> x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3: #通乘以r,将x,y,z轴方向上的球面面元系数转化为x,y,z轴方向上球体体元系数>matrix(3,3,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(x,v),Diff(y,r),Diff(y,u),Diff(y,v),Diff(z,r),Diff(z,u),Diff

10、(z,v)=matrix(3,3,diff(x,r),diff(x,u),diff(x,v),diff(y,r),diff(y,u),diff(y,v),diff(z,r),diff(z,u),diff(z,v);m:=rhs(%);#定义矩阵m,目的是获取球体体元系数的一般表达式 > det(m);> J:=simplify(%); # 球体体元系数J>Int(Int(Int(M3VF*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2); # 数量场三元函数与球体体元的乘积在参数r,u,v取值范围内积分> value(%);> evalf(%)

11、;P291-294,P312-3133C.通用数学分析教材中,极坐标系数量场二元函数闭合平面区域二重积分:> restart;> with(plots):with(linalg):> CO:=cos(t),sin(t); # 定义参数圆弧CO> rgt:=0,2*Pi;> plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,color=blue);g1:=%: 图5 引言部分 参数圆弧> M2VF:=(x-y)2/2+x/2-y/3; #定义积分数量场二元函数M2VF> rgx:=-1,1;> rgy:=-1,1;>g2:=implicitp

12、lot(M2VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,color=red,thickness=1,numpoints=3000): # 积分数量场二元函数M2VF等值线作图> display(g1,g2); #图形合并 图6 引言部分 参数圆弧圈围平面闭合区域与数量场二元函数等值面> COc:=subs(t=u,CO); #将参数圆CO表达式中的符号t换为u> x:=r*COc1;y:=r*COc2; #通乘以r,将x,y轴方向上的圆弧微元系数转化为x,y轴方向上的圆面微元系数> matrix(2,2,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(y,r

13、),Diff(y,u)=matrix(2,2,diff(x,r),diff(x,u),diff(y,r),diff(y,u);m:=rhs(%);> det(m);> J:=simplify(%); # 极坐标系平面面元系数J>Int(Int(M2VF*J,r=0.1),u=rgt1.rgt2); # 数量场二元函数M2VF与极坐标系平面面元的乘积在参数r,u取值范围内积分> value(%);> evalf(%);P249-2513通用数学分析教材存在下列问题:第一, 在球面坐标系内, 向量场闭合曲面积分与数量场三元函数闭合空间区域三重积分彼此孤立, 没有通过O

14、strogradskii-Gauss公式有机联系起来;第二, 向量场闭合曲面积分与数量场三元函数闭合空间区域三重积分局限于球面坐标系,没有扩展到自由参数曲面坐标系;第三, 在极坐标系内, 向量场环路积分与数量场二元函数闭合平面区域二重积分彼此孤立, 没有通过Green公式有机联系起来;第四, 数量场二元函数闭合平面区域二重积分局限于极坐标系, 没有扩展到自由平面坐标系.1.任意参数曲面坐标系中的Green,Ostrogradskii-Gauss,Stokes公式 1.1 Stokes公式的直接计算例证Stokes公式表明,向量场V在某一开放曲面CS上的闭合曲线边界CL上的环路曲线积分等于向量场

15、V的旋度cV在曲面CS上的第二型曲面积分.> restart; #内存清空 Maple计算/作图格式,以后相同4> with(plots):with(linalg): #加载绘图工具库和线性代数分析库> CS:=cos(u)+sin(5*v)/5,sin(v),sin(u-v)+cos(3*u)/3;#定义任意积分曲面CS表达式> rgu:=0,Pi/2;> rgv:=0,2*Pi; #定义参数u,v取值范围>Plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=2000);g1:=%: #参数曲面CS作图 图1 任意参数曲

16、面非闭合> CL:=sin(5*t)/5,sin(t),cos(t); #定义闭合曲线CL表达式> rgt:=0,2*Pi; #定义闭合曲线CL表达式参数t的取值范围>spacecurve(CL,t=rgt1.rgt2,thickness=2,color=red):g2:=%: #闭合曲线CL作图,其结果赋值g2,待用> V:=x*z,x+y*z,(x/3-y/2)3; #定义向量场V表达式> rgx:=-1,2;> rgy:=-3/2,3/2;> rgz:=-3/2,3/2; #定义向量场V的空间作图范围>g3:=fieldplot3d(V,x

17、=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=6,6,6): #向量场V作图,其结果赋值g3,待用> cV:=curl(V,x,y,z);#计算向量场V的旋度cV>g4:=fieldplot3d(cV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=6,6,6): #旋度cV作图,其结果赋值g4,待用> display(g1,g2,g3,g4); #合并图形图2 任意参数曲

18、面非闭合及其边界线 积分向量场及其旋度> x:=CL1:y:=CL2:z:=CL3: #将闭合曲线CL的参数表达式赋值于变量x,y,z>Int(V1*Diff(x,t)+V2*Diff(y,t)+V3*Diff(z,t),t=rgt1.rgt2);#向量场V对闭合曲线cL的环路曲线积分#根据Stokes公式,其积分值应该等于向量场V的旋度cV在曲面CS上的第二型曲面积分> value(%);> x:='x':y:='y':z:='z': #变量x,y,z复位> x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3:#将开放曲面C

19、S的参数表达式赋值于变量x,y,z>matrix(3,3,i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v);m:=rhs(%);#定义偏导数矩阵m,其目的,是求曲面CS的切平面法向量> det(m); #矩阵m求值> mn:=simplify(%); #表达式化简> A:=coeff(mn,i); #提取i项系数> B:=coeff

20、(mn,j); #提取j项系数 > C:=coeff(mn,k); #提取k项系数;A,B,C构成切平面法向量>Int(Int(cV1*A+cV2*B+cV3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);#旋度cV与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分> value(%);其结果,正好等于前面的向量场V对闭合曲线cL的环路曲线积分值任意参数曲面坐标中Stokes公式的数值积分例证及反例略1.2 Ostrogradskii-Gauss公式的直接计算例证Ostrogradskii-Gauss公式表明,向量场V在某一闭合曲面CS上的曲面积分

21、等于向量场V的散度diV在闭合曲面CS所圈围的空间区域中的三重积分.> restart;> with(plots):with(linalg):Ø CS:=2*sin(u)*cos(v)+sin(5*u)/5,2*sin(u)*sin(v),cos(u)+sin(5*v)/5+sin(2*u); #定义曲面CS> rgu:=0,Pi;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=3000);g1:=%: 图3 任意参数曲面闭合> V:=x*y,x-y*z,z3; #定义任意空间向

22、量场V> rgx:=-2,2;> rgy:=-2,2;> rgz:=-2,2;>g2:=fieldplot3d(V,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,arrows=SLIM):> diverge(V,x,y,z);# 计算空间向量场V的散度Div为一三元函数> diV:=%;>g3:=implicitplot3d(diV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,color=cyan):#散度三元函数Div等值面作图> display(g1,g2,

23、g3); 图4 任意参数曲面闭合 积分向量场及其散度等值面> x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3:>matrix(3,3,i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v);m1:=rhs(%);> det(m1);> mn:=simplify(%);> A:=coeff(mn,i);> B:=coeff(mn,j);&g

24、t; C:=coeff(mn,k);>Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);#空间向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分> value(%);> evalf(%);> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3:#通乘以r,将x,y,z轴方向上的面积微元系数转化为x,y,z轴方向上的体积微元系数>matrix(3,3,Diff(x,r),Diff(x,u),D

25、iff(x,v),Diff(y,r),Diff(y,u),Diff(y,v),Diff(z,r),Diff(z,u),Diff(z,v)=matrix(3,3,diff(x,r),diff(x,u),diff(x,v),diff(y,r),diff(y,u),diff(y,v),diff(z,r),diff(z,u),diff(z,v);m2:=rhs(%);#定义矩阵m2,目的是获取空间体积微元系数的一般表达式> det(m2);> J:=simplify(%); #空间体积微元系数的一般表达式>Int(Int(Int(diV*J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v

26、=rgv1.rgv2);> #散度diV与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分> value(%);> evalf(%);正好等于前面的闭合曲面积分值任意参数曲面坐标中Ostrogradskii-Gauss公式的数值积分例证及反例略1.3 Green公式的直接计算例证Green公式表明,平面向量场在某一平面闭合曲线上的环路积分,等于该平面向量场按特定的方式求导以后所得的数量函数(二元函数)在该闭合曲线所圈围的平面区域内的二重积分.> restart;> with(plots):with(linalg):>CO:=cos(t-1)+sin(5

27、*t-1)/5,-t*sin(t); #定义平面闭合曲线CO> rgt:=0,2*Pi;>plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,color=blue,numpoints=1000);g1:=%: 图5 任意参数曲线闭合> PV:=-x2+y3,(x+y)2; #定义平面向量场PV> rgx:=-7/2,7/2;> rgy:=-2,5; #定义平面向量场PV作图范围>g2:=fieldplot(PV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,arrows=SLIM,color=blue): #平面向量场PV作图>Diff(PV2,x)-

28、Diff(PV1,y); #对平面向量场PV求导,其结果为二元(数量)函数dPV> dPV:=value(%);>g3:=implicitplot(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,color=red,thickness=1,numpoints=3000):#二元(数量)函数dPV作图>display(g1,g2,g3); #平面闭合曲线CO,平面向量场PV,二元函数dPV,三图合并 图6 任意参数曲线闭合 积分向量场及其微分函数等值线>plot3d(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2); #二元函数dPV的空间直观 图7 积分

29、向量场的微分函数二元函数的空间直观> x:=CO1;y:=CO2;>Int(PV1*Diff(x,t)+PV2*Diff(y,t),t=rgt1.rgt2); #平面向量场PV在平面闭合曲线CO上的环路积分> value(%);> evalf(%);> x:='x':y:='y':> COc:=subs(t=u,CO); #将曲线CO表达式中的符号t换为u> x:=r*COc1;y:=r*COc2;#通乘以r,将x,y轴方向上的曲线微元系数转化为x,y轴方向上的面积微元系数>matrix(2,2,Diff(x,r)

30、,Diff(x,u),Diff(y,r),Diff(y,u)=matrix(2,2,diff(x,r),diff(x,u),diff(y,r),diff(y,u);m:=rhs(%);#定义矩阵m,目的是获取平面面积微元系数的一般表达式> det(m);> J:=simplify(%); #平面面积微元系数的一般表达式> Int(Int(dPV*J,r=0.1),u=rgt1.rgt2);#二元函数dPV与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分> value(%);> evalf(%);正好等于前面的平面闭合曲线积分值任意平面坐标中Green公式的数值

31、积分例证及反例略2从极坐标系.球面坐标系到任意坐标系2.1 空间向量场任意参数曲面积分的实现如果第一部分Stokes公式和Ostrogradskii-Gauss公式关于向量场曲面积分的计算方法成立,那么我们抛开'旋度cV与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分',而换上'任一向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分'-这样的空间向量场曲面积分计算方法也同时成立.> restart;> with(plots):with(linalg):>CS:=v*(5/6+cos(u)/2)*co

32、s(v),v*(5/6+cos(u)/2)*sin(v),v*sin(u)/2; #定义积分曲面CS> rgu:=0,2*Pi;> rgv:=0,5*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=5000,color=pink);g1:=%:图8 任意参数曲面> V:=-x,x*y,z2; #定义任意空间向量场V> rgx:=-20,20;> rgy:=-20,20;> rgz:=-20,20;>g2:=fieldplot3d(V,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rg

33、z2,arrows=SLIM):> display(g1,g2); 图9 任意参数曲面及积分向量场> x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3:>matrix(3,3,i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v);m:=rhs(%);> det(m);> mn:=simplify(%);> A:=coeff(mn,i);&

34、gt; B:=coeff(mn,j);> C:=coeff(mn,k);>Int(Int(V1*A+V2*B+V3*C,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);#任意空间向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分> value(%);> evalf(%);2.2空间数量场三元函数任意参数曲面积分的实现如果第一部分Stokes公式和Ostrogradskii-Gauss公式关于向量场曲面积分的计算方法成立,关于'任一向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分'的第二型曲面积分方

35、法也成立,根据第一型曲面积分(即数量场曲面积分)与第二型曲面积分即向量场曲面积分之间的对应关系,我们抛开'任一向量场V与曲面CS的切平面法向量A,B,C的空间点积关于曲面参数u,v的积分',而换上'任一数量场三元函数与曲面CS的切平面法向量的模sqrt(A2+B2+C2)的数量积关于曲面参数u,v的积分',这样的空间数量场曲面积分计算方法也同时成立。> restart;> with(plots):with(linalg):>CS:=1/u+sin(u)+cos(u/2),sin(u/2)*cos(v),sin(u/2)*sin(v); #定义积

36、分曲面CS> rgu:=2/7,2*Pi;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,color=cyan,numpoints=2000);g1:=%:图10 任意参数曲面> M3VF:=sin(2*x+2*y)-z-1; #定义任一数量场三元函数M3VF> rgx:=-5/2,13/2;> rgy:=-4,4;> rgz:=-4,4;>g2:=implicitplot3d(M3VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,num

37、points=5000):> display(g1,g2); 图11 任意参数曲面及积分数量场三元函数等值面> x:=CS1:y:=CS2:z:=CS3:>matrix(3,3,i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)=matrix(3,3,i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v);m:=rhs(%);> det(m);> mn:=simplify(%);> A:=coeff(mn

38、,i);> B:=coeff(mn,j);> C:=coeff(mn,k);> N:=sqrt(A2+B2+C2);#切平面法向量A,B,C求模> Int(Int(M3VF*N,u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);#任一数量场三元函数M3VF与曲面CS的切平面法向量的模sqrt(A2+B2+C2)的数量积关于曲面参数u,v的积分> evalf(%);在大多数情况下，数量场曲面积分没有解析解，而只有数值解2.3空间数量场三元函数任意空间区域三重积分的实现如果第一部份Ostrogradskii-Gauss公式关于散度在任意闭合参数曲面圈围的空间区域内的

39、三重积分的计算方法成立,那么我们抛开'散度diV与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分',而换上'任一数量场三元函数与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分'-这样的空间数量场三重积分计算方法也同时成立.> restart;> with(plots):with(linalg):>CS:=u+sin(9*u-v)/5+cos(2*u),2*sin(u)*cos(v),2*sin(u)*sin(v);> rgu:=0,Pi;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,

40、v=rgv1.rgv2,numpoints=3000);g1:=%: 图12 任意参数曲面闭合> M3VF:=cos(x*z-y)/(2+sin(x);> rgx:=0,5;> rgy:=-5/2,5/2;> rgz:=-5/2,5/2;>g2:=implicitplot3d(M3VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,z=rgz1.rgz2,style=wireframe,numpoints=5000,color=cyan):> display(g1,g2); 图13 任意参数曲面闭合及积分数量场三元函数等值面> x:=r*CS1:y:

41、=r*CS2:z:=r*CS3:>matrix(3,3,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(x,v),Diff(y,r),Diff(y,u),Diff(y,v),Diff(z,r),Diff(z,u),Diff(z,v)=matrix(3,3,diff(x,r),diff(x,u),diff(x,v),diff(y,r),diff(y,u),diff(y,v),diff(z,r),diff(z,u),diff(z,v);m:=rhs(%);> det(m);> J:=simplify(%);>Int(Int(Int(M3VF*J,r=0.1),u=rgu1

42、.rgu2),v=rgv1.rgv2);> evalf(%);2.4平面数量场二元函数任意平面区域二重积分的实现如果第一部份Green公式关于数量函数(二元函数)在任意闭合参数曲面上的二重积分的计算方法成立,那么我们抛开'平面向量场按特定的方式求导以后所得的数量函数(二元函数)dPV与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分',而换上'任一数量函数(二元函数)与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分'-这样的平面数量场二重积分计算方法也同时成立。> restart;> with(plots):with(linalg):&g

43、t; CO:=cos(t-1/2)+sin(5*t-2)/5,t*sin(t)-cos(2*t)/3;> rgt:=0,2*Pi;> plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,color=blue);g1:=%: 图14 任意参数曲线闭合> M2VF:=(x+y)2-x3;> rgx:=-7/2,7/2;> rgy:=-5,2;>g2:=implicitplot(M2VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,color=red,thickness=1,numpoints=3000):> display(g1,g2); 图15 任意参

44、数曲线闭合及积分数量场二元函数等值线> plot3d(M2VF,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2);图16 积分数量场二元函数的空间直观> COc:=subs(t=u,CO);> x:=r*COc1;y:=r*COc2;>matrix(2,2,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(y,r),Diff(y,u)=matrix(2,2,diff(x,r),diff(x,u),diff(y,r),diff(y,u);m:=rhs(%);> det(m);> J:=simplify(%);> Int(Int(M2VF*J,r=0.1)

45、,u=rgt1.rgt2);> value(%);> evalf(%);3自由平面积 自由体积 自由曲面积3.1 自由平面积的计算如果'任一数量函数(二元函数)与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分'的计算方法成立,那么我们抛开'任一数量函数(二元函数)与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分',而换上'常数1与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分',根据二重积分的基本应用方法,这样一种自由平面积计算方法也同时成立.> restart;> with(linalg):>CO:=e

46、xp(cos(t-2)+sin(3*t-2)/3),sin(t)+sin(3*t-2)+cos(5*t)/7;> rgt:=0,2*Pi;> plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,color=blue); 图17 任意平面区域> COc:=subs(t=u,CO);> x:=r*COc1;y:=r*COc2;>matrix(2,2,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(y,r),Diff(y,u)=matrix(2,2,diff(x,r),diff(x,u),diff(y,r),diff(y,u);m:=rhs(%);> det(m)

47、;> J:=simplify(%);> Int(Int(J,r=0.1),u=rgt1.rgt2);#常数1与平面面积微元的乘积在变量r,u取值范围内的二重积分> abs(evalf(%);3.2 自由体积的计算如果'任一数量场三元函数与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分'的计算方法成立,那么我们抛开'任一数量场三元函数与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分',而换上'常数1与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分',根据三重积分的基本应用方法,这样一种自由空间体积计算方法也

48、同时成立.> restart;> with(linalg):>CS:=u+cos(3*u2-v)/9,2*sin(u)*cos(v),2*sin(u)*sin(v);> rgu:=0,Pi;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=3000); 图18 任意空间区域> x:=r*CS1:y:=r*CS2:z:=r*CS3:>matrix(3,3,Diff(x,r),Diff(x,u),Diff(x,v),Diff(y,r),Diff(y,u),Diff(y,v),Diff

49、(z,r),Diff(z,u),Diff(z,v)=matrix(3,3,diff(x,r),diff(x,u),diff(x,v),diff(y,r),diff(y,u),diff(y,v),diff(z,r),diff(z,u),diff(z,v);m:=rhs(%);> det(m);> J:=simplify(%);>Int(Int(Int(J,r=0.1),u=rgu1.rgu2),v=rgv1.rgv2);#常数1与空间体积微元的乘积在变量r,u,v取值范围内的三重积分> value(%);> abs(evalf(%);3.3 自由曲面积的计算如果&#

50、39;任一数量场M3Vf与曲面CS的切平面法向量A,B,C的模sqrt(A2+B2+C2)的乘积关于曲面参数u,v的积分'的计算方法成立,那么我们抛开'任一数量场M3Vf与曲面CS的切平面法向量A,B,C的模sqrt(A2+B2+C2)的乘积关于曲面参数u,v的积分',而换上'常数1与曲面CS的切平面法向量A,B,C的模sqrt(A2+B2+C2)的乘积关于曲面参数u,v的积分',根据曲面积分的基本应用方法,这样一种自由参数曲面的面积计算方法也同时成立. >restart;> with(linalg):>CS:=2*cos(u)*sin(v)+cos(4*u)/2,Pi*sin(u)+cos(v),cos(v)+cos(2*v);> rgu:=Pi/5+sin(5*v)/8,4*Pi/9-sin(3*v)/3;> rgv:=0,2*Pi;>plot3d(CS,u=rgu1.rgu2,v=rgv1.rgv2,numpoints=2000); 图19 任意参数曲面区域>