北京理工大学工科数学分析常系数线性微分方程组实用教案

1、一一. . 微分方程微分方程(wi (wi fn fn chn)fn fn chn)组组微分方程组由几个微分方程组由几个(j )(j )微分方程联立而成微分方程联立而成的方程组的方程组 称为微分方程组称为微分方程组注意：这几个微分方程注意：这几个微分方程(wi fn fn chn)联立起来联立起来共同确定了几共同确定了几 个具有同一自变量的函数个具有同一自变量的函数第1页/共23页第一页，共24页。.程组程组阶方程可以化为一阶方阶方程可以化为一阶方一般一般 n0),()( nyyyyxF,1yy 记记,1个新的未知函数个新的未知函数再引进再引进 n)1(11312, nnyyyyyy:阶方程组

2、阶方程组个未知函数的一个未知函数的一为含有为含有于是高阶方程就可以化于是高阶方程就可以化n第2页/共23页第二页，共24页。 0),(2113221nnnnyyyyxFyyyyyy第3页/共23页第三页，共24页。 )()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111xfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdynnnnnnnnnnn一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)组：组：(1)第4页/共23页第四页，共24页。上的已知连续函数。上的已知连续函数。间间都是某区都是某区以及以及个未知函

3、数，个未知函数，为为其中其中Inixfnjixanyyyiijn, 2 , 1),(, 2 , 1,),(,21 ，则方程组为，则方程组为若若nixfi, 2 , 1, 0)( 第5页/共23页第五页，共24页。 nnnnnnnnnnyxayxayxadxdyyxayxayxadxdyyxayxayxadxdy)()()()()()()()()(22112222121212121111称为称为(chn wi)齐次线性方程组，否则称为齐次线性方程组，否则称为(chn wi)非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。第6页/共23页第六页，共24页。线性微分方程组解的存在线性微分方程组解的存在(cnzi

4、)唯一唯一性定理性定理一。一。满足初始条件，且解唯满足初始条件，且解唯上有一个解上有一个解在区间在区间方程组方程组条件：条件：则对于任意给定的初始则对于任意给定的初始上连续，上连续，都在区间都在区间若若)(,),(),()1(,)(,)(,)(, 2 , 1,),(),(221100002020101xyyxyyxyyIIxyxyyxyyxyInjixfxannnniij 第7页/共23页第七页，共24页。二二. .常系数微分方程常系数微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)chn)组的解法组的解法 常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个常系数线性微分方程组微分方程组中的每一

5、个(y )微分方程都是常系数线性微分方程叫做微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组 )()()(2211222221212112121111xfyayayadxdyxfyayayadxdyxfyayayadxdynnnnnnnnnnn第8页/共23页第八页，共24页。常系数常系数(xsh)线性微分方程组解法步骤线性微分方程组解法步骤:第一步第一步 用消元法消去其他未知函数用消元法消去其他未知函数 , 得到得到(d do)只含只含一个一个 函数的高阶方程函数的高阶方程 ;第二步第二步 求出此高阶方程求出此高阶方程(fngchng)的未知的未知函数函数 ;第三步

6、第三步 把求出的函数代入原方程组把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数任意常数的个数 = 未知函数个数未知函数个数一般通过一般通过求导求导得其它未知函数得其它未知函数 .如果通过积分求其它未知函数如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数则需要讨论任意常数的关系的关系.第9页/共23页第九页，共24页。步骤步骤(bzh(bzhu):u):从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数， 得到得到(d do)(d do)只含有一个未知函数的高阶常系数线只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分性微分

7、 方程方程解此高阶微分方程解此高阶微分方程, ,求出满足求出满足(mnz)(mnz)该方程的未知该方程的未知函数函数. .把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组, ,一般说来，不必经一般说来，不必经 过积分就可求出其余的未知函数过积分就可求出其余的未知函数第10页/共23页第十页，共24页。一般一般(ybn)常系数一阶线性齐次微分方程组，可常系数一阶线性齐次微分方程组，可用矩阵形式写出。用矩阵形式写出。,21 nxxxXAXX，,是对角阵是对角阵若若 Aiiiixa x 即即，,1,2,.iia tixcein 是上三角阵，是上三角阵，若若 Annxaxaxax12121111

8、nnxaxax22222 nnnnxax .总可以写出解总可以写出解第11页/共23页第十一页，共24页。则则逆逆线线性性变变换换对对一一般般矩矩阵阵，若若存存在在可可,TYXT ,YTX ATYYT YATTY)(1 .1为为约约当当标标准准型型ATT .的解的解是是AXXeAX .)(212级级数数解解 AXAXIeAX第12页/共23页第十二页，共24页。常系数一阶线性微分方程常系数一阶线性微分方程(wi fn fn chn)组一般形式：组一般形式：( )( )1112121222dxa xa yf tdtdya xa yf tdt第13页/共23页第十三页，共24页。;23. 1 yx

9、dtdyyxdtdx求求解解微微分分方方程程组组例例解：解：从从(2)(2)中解出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx yydtdydtdydtyd3)(21)(2122 ydtdy2521 0522 ydtyd第14页/共23页第十四页，共24页。irr5, 052, 12 tCtCty5sin5cos)(21 5cos55sin521)(11tCtCtx tCtC5sin215cos2121 tCCtCC5sin)5(215cos)5(211221 第15页/共23页第十五页，共24页。 1)0(, 0)0(2cos23. 2yxyxdtdytyxdtdx求求

10、解解非非齐齐次次线线性性方方程程组组例例解：解：从从(2)(2)中解出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx tyydtdydtdydtydcos2)(23)(2122 ydtdydtyd212122 tcos 第16页/共23页第十六页，共24页。tydtdydtydcos2222 1, 0122, 12 rrr,)(21*ttteCeCyty tBtAysincos* ttBtAcos2cos2sin2: 代入方程得代入方程得tysin* ttCCetytsin)()(21 )(tx)(21ydtdy )2()sin(cos21221tCCCettt . 1,

11、1:1)0(, 0)0(21 CCyx代代入入解解得得将将第17页/共23页第十七页，共24页。 txydtdxdtdxdtyddtxd305. 32222求求解解微微分分方方程程组组例例解：解：次，得次，得求导求导两边对两边对可对可对为了消去为了消去2)2(),(tty)3(03222233 dtxddtyddtxd3232(3)(1)450(4)d xd xdxdtdtdt 式式得得：.2, 0, 0543,2123irrrrr )sincos()()4(3221tCtCeCtxt 的的通通解解为为：第18页/共23页第十八页，共24页。代入代入(2)(2)式得：式得：txdtdxty 3

12、)(sin)(cos)(3322121tCCtCCetCt 第19页/共23页第十九页，共24页。例例4.4. 解微分方程解微分方程(wi fn fn chn)组组 textytx dddd220dddd22 ytxty解解: ,ddtD 记记则方程组可表为则方程组可表为teyDxD )1(20)1(2 yDxD(1)(2)用代数用代数(dish)方方法法消元自作消元自作 根据根据(gnj)解线性方程组的克莱姆法则解线性方程组的克莱姆法则, 有有1122 DDDD y012DeDt 第20页/共23页第二十页，共24页。即即teyDD )1(24其特征方程其特征方程: 0124 rr特征特征(

13、tzhng)根根:2512, 1 r2154 , 3 ir记记 记记 i (3),teAy 令令代入代入(3)可得可得 A1, 故得故得(3)的通解的通解(tngji): tttetCtCeCeCy sincos4321(4)求求 x :(2)D(1)得得teyDx 3teyDx 3)(213tteCeC tetCtC2)cossin(433 (5)(4),(5)联立即为原方程联立即为原方程(fngchng)的通解的通解. hwhw：p395 4(3,4),5(2,3).p395 4(3,4),5(2,3).第21页/共23页第二十一页，共24页。的的通通解解；求求)3(sin2cos)3(1.22 xxyxdxdyyx的通解；的通解；并由此求方程并由此求方程的通解的通解求求)1(tan,)()(2.2222 yxxyyxyxgxfyyx第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结一. 微分方程组。第2页/共23页