圆锥曲线中的最值和范围问题

1、圆锥曲线中的最值和范围问题1已知双曲线x 2  y 2-a 2 b 2= 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A.( 1,2)B. (1,2)C.2, +¥)D.(2,+)2 P 是双曲线x2  y 2-   = 1

2、 的右支上一点，M、N 分别是圆(x5)2y24 和(x5)2y219  16上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A. 6B.7C.8D.93抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是()A4           7          8B   

3、;       C              D 33           5          54已知双曲线x2  y 2-2a

4、0;  b2= 1,(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 、F ，点 P 在双曲线的右支1 2(A)  422  2上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（ ）57(B)(C) 2(D)33325已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(

5、x ,y2)两点，则 y12+y22的最小值是.y 26设椭圆方程为 x 2 += 1 ，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，4ruuu1 uuuruuur1 1点 P 满足 OP =( OA + OB) ，点 N 的坐标为 ( , ) ，当 l 绕点

6、0;M 旋转时，求（1）动点 P 的ruuu轨迹方程；（2） | NP | 的最小值与最大值.2   3【范例 1】已知动点 P 与双曲线x 2  y 2-   = 1 的两个焦点 F 、F 的距离之和为定值，且1 2cosÐF1PF2 的最小值为 - 19（）求动点 P 的轨迹

7、方程；（）若已知 D(0,3)，M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM = l DN ，求实数l的取值范围1【范例 2】给定点 A(-2,2)，已知 B 是椭圆取得最小值时，试求 B 点的坐标。Fx2  y 2                 

8、0;         5+   = 1 上的动点， 是右焦点，当 AB +  BF25 16                         

9、0; 3           【范例 3】已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动，Q 点在椭圆大值。x29+ y 2 = 1 上移动,试求|PQ|的最uuur                 

10、;   uuuruuur uuur【范例 4】已知OFQ 的面积为 2 6 ， OF × FQ = m（1）设 6 £ m £ 4 6 ，求ÐOFQ 正切值的取值范围；（2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图），6| OF |= c, m&#

11、160;= (- 1)c 2 当 | OQ | 取得最小值时，4求此双曲线的方程。2自我提升1设 AB 是过椭圆x 2  y 2+2a   b 2= 1(a > b > 0) 中心的弦，椭圆的左焦点为 F(-c，0)，则 F AB 的1面积最大为（）AbcBabCacDb22已知 A（3，2）、B

12、（4，0），P 是椭圆x 2  y 2+   = 1 上一点，则|PA|PB|的最大值为（  ）25  9A10B 10 - 5C 10 + 5D 10 + 2 53已知双曲线x2  y 2-   = 1 ，过其右焦点 F 的直线 l 交双

13、曲线于 AB，若|AB|=5，则直线 l 有（ ）16  95        （D）  11A1 条B2 条C3 条D4 条4已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点，设 P 到此抛物线的准线的距离为 d1, 到直线 x+2y+10=0 的距离为 d2,则 d1+d2 

14、的最小值为（）A5B4C 11 55+   = 1 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i=1，2，3，），使5设 F 是椭圆x 2  y 27   6|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围为_6抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为_7如图，

15、已知 A、B 是椭圆x2  y 2+   = 1 的两个顶点，16  9上，又 A、B 两点分别在抛物线及椭圆上，且 AB/x 轴，C、D 是椭圆上两点，且分别在 AB 两侧，则四边形 ABCD面积的最大值是_x2y 28如图 3，抛物线 y2=4x 的一段与椭圆+= 1 的一段围成封闭图形，点 N（1，0）在 x&#

16、160;轴43y求NAB 的周长 l 的取值范围。ABON图 3x9求实数 m 的取值范围，使抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称10已知 A（2，0），B（2，0），动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别为 kPA 和 kPB，且满足 kPAkPB=t3(t0 且 t1).（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）当 t0&

17、#160;时，曲线 C 的两焦点为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 Q 使得F1QF2=120O，求 t的取值范围答案1已知双曲线x 2  y 2-a 2 b 2= 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2)B. (1,

18、2)C.2, +¥)D.(2,+)2 P 是双曲线x2  y 2-   = 1 的右支上一点，M、N 分别是圆(x5)2y24 和(x5)2y219  16上的点，则|PM|PN|的最大值为（ B）A. 6B.7C.8D.93抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )A4     &#

19、160;          7             8B             C            

20、0;    D 33                5             54已知双曲线x2  y 2-2a   b2= 1,(a > 0, b&#

21、160;> 0) 的左、右焦点分别为 F 、F ，点 P 在双曲线的右支1 2(A)  46设椭圆方程为 x   += 1 ，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，22  2的解.  将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，ïx 2 +   

22、60;      ïï   1      4 + k所以 íï y  + y   =     .ï14 + k上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（B）57(B)(C) 

23、;2(D)33325已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x ,y2)两点，则 y12+y22的最小值是32.y 224ruuu1 uuuruuur1 1点 P 满足 OP =( OA + OB) ，点 N 的坐标为 ( , ) ，当 l 绕点 M 旋转时，求（1）动点 P

24、0;的ruuu轨迹方程；（2） | NP | 的最小值与最大值.【专家解答】（1）法 1：直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1.记 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点 A、B 的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组ì y = kx + 1ïíy 2= 1î4

25、ì2kx + x =-,22822x  + xy  + y1- k4于是 OP =(OA + OB) = (12 ,12 ) = (,).2224 + k 2 4 + k 24设点 P 的坐标为(x,y), 则ïï  4 + k&

26、#239; y =  4 .íîï4 + k 2ì - kx =     ,2消去参数 k 得 4x2+y2-y=0    4                 

27、     4444         x  - xx =12 ,2并且 í y =12 ,        将代入并整理得 4x2+y2-y=0   2ï   x =  x&

28、#160; - xî( y -   ) 22（2）由点 P 的轨迹方程知 x 2 £  ,即 -  £ x £. 所以当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0解法二：设点 P 的坐标为(x,y)，因&

29、#160;A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以y 2y 2x 2 +1 = 1,x 2 +2 = 1.121得 x 2 - x 2 +( y 2 - y 2 ) = 0 ，12121所以 ( x - x )( x + x ) +(

30、0;y - y )( y + y ) = 0.121212121y - y当 x ¹ x 时，有 x + x +( y + y ) ×12 = 0.12121212ìx + xïïïy + yïï y 

31、;- 1y - y12 .12当 x1=x2 时，点 A、B 的坐标为（0，2）、（0，2），这时点 P 的坐标为1x 2（0，0）也满足，所以点 P 的轨迹方程为+= 1.111641111644111117| NP |2 = ( x - ) 2 + ( y - ) 2 = ( x

32、60;- ) 2 +- 4 x 2 = -3( x + ) 2 +2224612， | NP | 取得最小值，最小值为故当 x = 11 441当 x =-时， | NP | 取得最大值，最大值为6216.2   3【范例 1】已知动点 P 与双曲线x 2&#

33、160; y 2-   = 1 的两个焦点 F 、F 的距离之和为定值，且1 25cosÐF1PF2 的最小值为 -  19（）求动点 P 的轨迹方程；（）若已知 D(0,3)，M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM = l DN ，求实数l的取值范围2讲解()由题意 c2=5设|PF1|+|PF |=2a（&

34、#160;a >5 ），由余弦定理, 得2 | PF  | × | PF  |      | PF  | × | PF  | PF |2 + | PF |2 - | F F |22a 2

35、0;- 101212cos ÐF PF =- 11212122又 | PF | · | PF |£ ( | PF1 | + | PF2 |12) 2 = a 2 ，2当且仅当|PF1|=|PF |时，|PF1|PF2| 取最大值，此时 cosÐF1PF2 取最小值2a&

36、#160;2 - 10a 2- 1，令2a 2 - 10      1- 1 = - ，a 2 9解得 a2=9，Q c =5 ，b2=4，故所求 P 的轨迹方程为x 2  y 2+   = 1 .9   4（）设 N(

37、s,t)，M(x,y)，则由 DM = l DN ，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，故 x=ls，y=3+l(t-3).M、N 在动点 P 的轨迹上，s 2  t 2 (ls) 2  (lt + 3 - 3l) 2+   = 1 且     + 

38、60;         = 1 ，9   4 9        4(lt + 3 - 3l) 2 - l2t 213l - 5= 1 - l2 ，解得 t =消去 s 可得，46l13l&#

39、160;- 51又|t|£2， |£ 2 ，解得£ l £ 5 ，6l51故实数l的取值范围是 ,5 5【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等【范例 2】给定点 A(-2,2)，已知 B 是椭圆取得最小值时，试求 B 点的坐标。Fx2  y 2   

40、                        5+   = 1 上的动点， 是右焦点，当 AB +  BF25 16           

41、                33解析：因为椭圆的 e =，所以 AB +55          1       1BF = AB +  BF ，而 BF&#

42、160;为动点 B 到左准线3          e        e的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点 B，使得它到 A 点和左准线的距离之和最小，过点 B 作l 的垂线，垂点为 N，过 A 作此准线的垂线，垂点为 M，由椭圆定义| BF | BF |5=

43、 e Þ| BN |=| BF | BN |e3于是 AB + 5 BF =| AB | + | BN |³| AN |³ AM 为定值36其中，当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立，此时 B 为 (-5 32, 2)所以，当 A

44、B +53BF 取得最小值时，B 点坐标为 (-5 32, 2)【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。           【范例 3】已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动，Q 点在椭圆x29+ y 2 = 1 上移动,试求|PQ|的最只要

45、求|O1Q|的最大值.设 Q(x，y)，则|O1Q|2=  x2+(y-4)2将代入得|O1Q|2=  9(1-y2)+(y-4)2  = -8 ç y + ÷  + 27大值。解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2)æ1&

46、#160;ö2è2 ø1因为 Q 在椭圆上移动，所以- 1£y£1，故当 y =时， OQ= 3 321max此时 PQ= 3 3 + 1uuur                    uuurmax【点晴】1

47、.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。uuur uuur【范例 4】已知OFQ 的面积为 2 6 ， OF × FQ = m（1）设 6 £ m £ 4 6 ，求ÐOFQ 正切值的取值范围；6FQ|（2）设以 O 为

48、中心， 为焦点的双曲线经过点 （如图），OF |= c, m = (- 1)c 2 当 | OQ |4取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设ÐOFQ =quuur  uuurï   × | OF | × | FQ | sin q = 2 &#

49、160;6uuuruuurì| OF | × | FQ | cos(p - q ) = mïí 1î 2Þ tan q = -4 6mx2  y 2a 2  b2Q6 £ m £ 4 6-4 £

50、60;tan q £ -1（2）设所求的双曲线方程为uuur-= 1( a > 0, b > 0), Q( x , y ), 则FQ = ( x - c, y )1111 Sr1 uuu2DOFQ = | OF | × | y1 |=&#

51、160;2 6 ， y1 = ±4 6cuuur uuuruuur uuur又 OF × FQ = m ， OF × FQ = (c,0) × ( x - c, y ) = ( x - c) × c =

52、0;(111764- 1) c 26                    963c24                     c  &#

53、160;8uuur| x =c,  OQ |=x2 + y 2 =+³ 12.1112uuur当且仅当 c=4 时， | OQ | 最小，此时 Q 的坐标是 ( 6, 6) 或 ( 6, - 6)ì 6  6ïîb2 = 12ïï

54、-= 1ìa2 = 4 í a2b2Þíîïa2 + b2 = 16，所求方程为x2  y 2-   = 1.4  12【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。自我提升1设 AB 是过椭圆x

55、0;2  y 2+2a   b 2= 1(a > b > 0) 中心的弦，椭圆的左焦点为 F(-c，0)，则 F AB1的面积最大为（A）AbcBabCacDb22已知 A（3，2）、B（4，0），P 是椭圆x 2  y 2+   = 1 上一点，则|PA|PB|的最大值为25  9（C）A10B

56、 10 - 5C 10 + 5D 10 + 2 53已知双曲线x2  y 2-   = 1 ，过其右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 AB，若|AB|=5，则直线 l16  95        （D）  11有（ B ）

57、A1 条B2 条C3 条D4 条4已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点，设 P 到此抛物线的准线的距离为 d1, 到直线 x+2y+10=0的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为（ C）A5B4C 11 55+   = 1 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i=1，2，3，），5设 F 

58、;是椭圆x 2  y 27   6-  16抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为_ (，1）使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围为_1,0) È (0, .1010127如图，已知 A、B 是椭圆x2  y 2+   =&

59、#160;1 的两个顶点，16  9C、D 是椭圆上两点，且分别在 AB 两侧，则四边形 ABCD面积的最大值是_12 28如图 3，抛物线 y2=4x 的一段与椭圆x2  y 2+   = 1 的一段围成封闭图形，点4   38N（1，0）在 x 轴上，又 A、B 两点分别在抛物线及椭圆上，且 AB/x 轴，求

60、60; NAB的周长 l 的取值范围。解：易知 N 为抛物线 y2=4x 的焦点，又为椭圆的右焦点，抛物线的准线 l1：x=-1，椭圆的右准线 l2：x=4，过 A 作 ACl1 于 C，过 B 作 BDl2 于 D，AB则 C、A、B、D 在同一条与 x 轴平行的直线上。由 í x2  y 2 &

61、#160;，得抛物线与椭圆的交点 M 的横坐标 x =ì y 2 = 4 xïî 43ï  + = 123O  N图x  < l < 4 ，即 l 的取值范围为（  ，4）ïî y 2 = x所以 y =&#

62、160;-  ，所以 M 的坐标为 ç    , - ÷ ，M 在抛物线内，5  æ   m ö2(     )则有  > ç- ÷  ，得 -  10 < m <

63、;   10 且 m¹0，综上所述， m Î  -  10,   10x=-my+b，与方程 y2=x 联立，得 y2+my-b=0    (*) 所以y1+y2=  -m，即 y = -æ 5  m ö又因为中点 M 在直线&#

64、160;y=m(x-3)上，所以得 M 的坐标为 ç, -è 22 ø1而|BN|=e|BD|= |BD|,|AN|=|AC|2NAB 的周长 l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|11=|BC|+ |BD|=|BC|+|BD|- |BD|2211=|CD|- |BD|=5-|BD|22215Q 4 - 2 <| BD |< 4 -，即1&#

65、160;<| BD |<3231010339求实数 m 的取值范围，使抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称解法 1：设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称，A，B 中点 M(x,y)，则当 m=0 时，有直线 y=0，显然存在点关于它对称。ïì y 2 = xy - y111当 m&

66、#185;0 时， í 11 Þ12 =-x - xy + y2 ym221212mæ 5m ö2è 22 ø2è2 ø解法 2：设两点为 A(x1，y1),B(x2，y2)，它们的中点为 M(x，y)，两个对称点连线的方程为m，2÷5m2又因为中点 M 在直线 x=-my+b上， b =-，22对于 (*) ，有D=m2+4b=10-m2>0，所以 - 10 < m < 10 。10已知 A（2，0），B（2，0），动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别为 kPA 和 kPB，且满足kPAkPB=t (t0 且 t1).（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；9（）当 t