第1章极限与函数的连续性单元自测题

1、第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题一一、1 1 xxff， （， （1x） ；） ；2 21；3 36e；4 432；5 523a；6 6 ),(。 二二、1 1、A A；2 2、A A; ; 3 3、C C； 4 4、B B; ; 5 5、C C; ; 6 6、C C。 三三、1 1、xxy1ln， （10 x） ；2 2、1；4 4、1；5 5、2ln8ln31a；6 6、3e；7 7、1x，0 x是第二是第二类间断点。类间断点。1x是第一类间断点。是第一类间断点。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题一、函数一、函数 1 1、区间和邻域、

2、区间和邻域 2 2、函数的定义、函数的定义 3 3、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性 4 4、复合函数、复合函数 5 5、反函数、反函数 6 6、基本初等函数、初等函数、基本初等函数、初等函数 二、极限二、极限 1 1、数列极限定义、性质：、数列极限定义、性质：Axnnlim。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题2 2、函数极限定义、性质：、函数极限定义、性质： 1 1）Axfx)(lim；Axfx)(lim；Axfx)(lim 2 2）Axfxx)(lim0；Axfxx)(lim0；Axfxx)(lim0 3 3

3、、无穷小、无穷大、无穷小、无穷大 1 1）无穷小：）无穷小：0)(lim0 xfxx 2 2）无穷大：）无穷大：)(lim0 xfxx 3 3）无穷小与无穷大的关系。）无穷小与无穷大的关系。 4 4、极限的运算法则：、极限的运算法则： 四则运算法则、无穷小的运算法则、无穷大的运算四则运算法则、无穷小的运算法则、无穷大的运算法则法则、复合函数的极限。、复合函数的极限。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题5 5、极限的存在准则、极限的存在准则：夹逼准则、单调有界原理：夹逼准则、单调有界原理 6 6、两个重要极限：、两个重要极限： 1 1）1sinlim0 xxx；1tan

4、lim0 xxx。 2 2）exxx)11 (lim；ennn)11 (lim；exxx10)1(lim。 7 7、无穷小的比较：等价无穷小、无穷小的比较：等价无穷小的替换的替换。 当当0 x时，时，常用等价无穷小：常用等价无穷小： xx sin， xx tan， 221cos1xx， xx arcsin， xx arctan，xx )1ln( ， xex1， xx1)1(。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题三、连续函数三、连续函数 1 1、连续性的概念：、连续性的概念：)()(lim00 xfxfxx。 2 2、连续函数的运算、连续函数的运算 3 3、初等函数的连

5、续性：初等函数在其定义区间内都、初等函数的连续性：初等函数在其定义区间内都是连续的。是连续的。 4 4、函数的间断点：第一类、第二类、函数的间断点：第一类、第二类 5 5、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理。理、介值定理、零点定理。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题一、一、 填空题：填空题： 1 1设设 xxxf11，则，则 xff)1( ,xx。 分析分析 xxxxxxfxfxff11111111， 且且1111xxx 1x。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题2

6、)0(limbababannnnn1。 解解 111limnnnnnbaba原式。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题3 3 xxx3021lim 6e。 解解 原式原式uuuxu601lim2 66101limeuuu。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题4 4 xxxx1sin2332lim2 32。 解解 原式原式3211sin2332lim111sin2332lim222xxxxxxxxxxxx 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题5 5 已知已知0 x时时11312 ax与与1cosx是等价无穷是等价无穷小，

7、则小，则a 23。 分析分析 1322131lim1cos11lim2203120axaxxaxxx， 解得解得 23a。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题6 6 函 数函 数 0,1sin,0, 0 ,0, e 1xxxxxxfx的 连 续 区 间 是的 连 续 区 间 是),(。 解解 当当0 x时，时，)( xf连续。当连续。当0 x时，时，)( xf连续。连续。 又因为又因为0lim)(lim100 xxxexf，01sinlim)(lim00 xxxfxx。 所以，当所以，当0 x时，函数时，函数)( xf连续。连续。 从而，函数从而，函数)( xf在在)

8、,(内连续。内连续。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题二、二、 选择题：选择题： 1 1、设函数设函数 xf的定义域是的定义域是1 , 0，210 a，则函数，则函数 axfxgaxf的定义域是（的定义域是（A A） 。） 。 （A A）aa 1 ,；（B B）aa 1 ,；（C C）aa 1 ,； (D) (D) aa 1 ,。 解解 1010axax axaaxa11， 由由210 a知，知，aa1210。所以，。所以，axa1。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题2 2、已知极限已知极限,0)2(lim2nknnn则则常数常数k（A

9、A） 。） 。 (A) (A) 1； (B) (B) 0； (C) (C) 1； (D) (D) 2。 解解 nknnknnn22n2n2lim)2(lim ,02)1(lim2nnnk 所以，所以，01k。从而，。从而，1k。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题3 3、若若Axfxx)(lim0，则，则下列选项中不正确的是下列选项中不正确的是（C C） 。） 。 (A) (A) Axf)(，其中，其中为无穷小为无穷小； (B) (B) )( xf在在0 x点可以无意义点可以无意义； (C) (C) )(0 xfA ； (D) (D) 若若0A， 则在， 则在0 x的

10、某一去心邻域内的某一去心邻域内0)(xf。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题4 4、当当0 x时，下列哪一个函数时，下列哪一个函数不不是其他函数的等是其他函数的等价无穷小（价无穷小（B B） 。） 。 (A) (A) 2sin x； (B) (B) 2cos1x； (C) (C) 21lnx； (D) (D) 1e xx。 解解 当当0 x时，时， 22sinxx；222)(21cos1xx； 221lnxx；21exxx。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题5 5、 设设函数函数 0),1ln(10,0,sinxxxxbxxaxxf在在点

11、点0 x处处连续，连续，则常数则常数ba,的值为的值为（C C） 。） 。 (A) (A) 0,0ba； (B) (B) 1, 1ba ； (C) (C) 1, 1ba； (D) (D) 1, 1ba。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题解解 由函数在点由函数在点0 x连续可知，连续可知， bfxfxfxx)0()(lim)(lim00。 而而1lim)1ln(1lim)(lim000 xxxxxfxxx， axaxxaxxfxxx000limsinlim)(lim 所以，所以，1 ba。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题6 6、 方程方程

12、014 xx至少有一个根的区间是 （至少有一个根的区间是 （C C） 。） 。 (A)(A)210，； (B) (B) 121，；(C) (C) 21，； (D) (D) 32，。 解解 设设1)(4xxxf，则，则 01)0(f，012121)21(4f， 01111)1(f，0122)2(4f，0133)3(4f 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题三三、计算下列各题：计算下列各题： 1 1、 求函数求函数1eexxy的反函数， 并求反函数的定义域。的反函数， 并求反函数的定义域。 解解 由由1eexxy可得可得 ，yyx1ln。 由由1e111e11e1eexxx

13、xxy可知，可知，10 y。 因此因此，所所求求反函数为反函数为xxy1ln， （10 x）. . 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题2 2、求极限求极限11limnnnn。 解解 原式原式11)11)(11(limnnnnnnnn 111112lim112limnnnnnnn。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题4 4、求极限求极限1311lim31xxx。 解解 原式原式)1)(1(311lim21xxxxx )1)(1(2lim221xxxxxx)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx 112lim21xxxx。 第一章极限与函数

14、的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题5 5、设设82limxxaxax，求常数，求常数a。 解解 因为因为 8)1 ()21 (lim2lim32aaaxxxxxeeexaxaaxax， 所以，所以， 8ln3 a，即得，即得2ln8ln31a 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题6 6、求极限求极限2120tan31limxxx。 解解 原式原式22022tan31lnlimtan31ln10limxxxxxxee 3tan3lim220eexxx。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题7 7、讨论函数讨论函数 1122xxxxxf的间

15、断点及其类型。的间断点及其类型。 解解 函数在函数在1, 1, 0 xxx处没有定义，因此处没有定义，因此1, 1, 0 xxx是是函数函数的的间断点，间断点， 因为因为1,0,)1()1(1,0,)1()1()(2222xxxxxxxxxxxxxf且且， 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题即即1,0,)1(11,0,)1(1)(xxxxxxxxxf且且， 在在1x处：处：)1(1lim)(lim11xxxfxx。 所以，所以，1x是第二类间断点。是第二类间断点。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题在在0 x处：处：)1(1lim)(lim00 xxxfxx。 所以，所以，0 x是第二类间断点。是第二类间断点。 在在1x处：处：21)1(1lim)(lim11xxxfxx。 所以，所以，1x是第一类间断点。是第一类间断点。 第一章极限与函数的连续性自测题第一章极限与函数的连续性自测题四、证明题：四、证明题： 设函数设函数)( xf在在,ba上连续，且上连续，且bxfa)(。证明。证明至少存在一点至少存在一点),(ba，使，使)(f。 证明证明