第2章连续时间系统的时域分析

1、第二章第二章连续时间系统连续时间系统的时域分析的时域分析本章的主要讲授内容本章的主要讲授内容1、微分方程的建立和求解、微分方程的建立和求解2、起始点的跳变、起始点的跳变从从0+到到0-状态的转换状态的转换3、自由响应和强迫响应、自由响应和强迫响应4、零输入响应和零状态响应、零输入响应和零状态响应5、冲激响应和阶跃响应、冲激响应和阶跃响应6 、卷积、卷积7 、卷积的性质、卷积的性质8 、用算子符号表示微分方程、用算子符号表示微分方程第一节第一节引言引言一、连续时间系统分析方法一、连续时间系统分析方法连续时间系统连续时间系统连续时间信号输出连续时间信号输出数学数学模型模型输入输入输出法输出法或端口

2、描述法或端口描述法输入激励信号（输入激励信号（t的函数）的函数）连续时间信号输入连续时间信号输入输出响应信号（输出响应信号（t的函数）的函数）高阶微分方程高阶微分方程（t及及t的导数）的导数）系统分析的任务系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。二、时域分析法二、时域分析法时域法：不通过任何变换，直接时域法：不通过任何变换，直接求解求解系统的系统的微分微分、积分、积分方程方程。系统的分析与计算全部在时域内进行。系统的分析与计算全部在时域内进行。时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域时域分析法优点：直观，物理概念清楚

3、，是学习各种变换域分析方法的基础。分析方法的基础。目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典的方法重新得到广泛的关注和应用。的方法重新得到广泛的关注和应用。三、时域分析法手段三、时域分析法手段时域分析法有两种：时域分析法有两种：一种一种经典法经典法直接求解微分方程；直接求解微分方程；另一种是另一种是卷积法卷积法；即已知系统的单位冲激响应，；即已知系统的单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积积分。将冲激响应与输入激励信号进行卷积积分。1、经典法、经典法经典法求微分方程：求齐次解和特解。经典法求微分方程：求齐次解和特解。经典法着

4、重说明物理意义。经典法着重说明物理意义。建立自由响应和强迫响应、零输入响应和零状态响建立自由响应和强迫响应、零输入响应和零状态响应概念。它使线性系统分析在理论上更完善，为解应概念。它使线性系统分析在理论上更完善，为解决实际问题带来方便。决实际问题带来方便。2、卷积法、卷积法卷积法：用卷积积分卷积法：用卷积积分只能求到只能求到系统的系统的零状态响应零状态响应。零输入响。零输入响应仍要用经典法求得。应仍要用经典法求得。卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本方法。是近代计算分析系统的强有力工具。方法。是近代计算分析系统的强有力工具。卷

5、积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它把变换域分析赋清晰的物理概念。把变换域分析赋清晰的物理概念。3、算子符号法、算子符号法微分方程的算子符号表示法：微分方程的算子符号表示法：它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。第二节第二节系统数学模型系统数学模型- 微分方程式的建立微分方程式的建立一、微分方程的建立线性时不变系统线性时不变系统数学模型建立线性常系数微分方程线性常系数微分方程具体系统物理模型具体系统物理模

6、型也即：按照元件的约束特性及系统结构的约束特性常系数微分方程常系数微分方程例例2-1)(tvciLiRiRLC) (tisRLC并联电路如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压v(t)与激励源is(t)间的关系。解：把v(t)作为变量，根据元件的电压电流关系有：电阻：)(1)(tvRtiR电感：tLdvLti)(1)(电容：)()(tvdtdCtic)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS将上三式化简得：根据基尔霍夫电流定律有：)()()()(titititiSLRC第三节 用时域经典法求解微分方程v1.微分方程表达式微分方程表达式( )( )e tr t设n阶复杂

7、系统激励信号为，响应信号为1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n阶微分方程为v、微分方程的经典法全解形式、微分方程的经典法全解形式:e(t)注自由项 为代入方程右端化简后的函数式则由时域经典法求解可得其完全解为)(tr)(trh)(trp 齐次解齐次解即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。 由方程右端为零构成的齐次方程而定；)(trh 特解)(trp根据方程右端激励构成的“自由项”而定。101CCC0nnn即特征方程为 v、齐

8、次方程的求解、齐次方程的求解0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCnnnnnn齐次方程为：齐次方程的解为：tAetr)(tAe或函数的线性组合。将其解代入齐次方程：解得此方程的n个根：n,21称为微分方程的特征根。v（1）特征根的求解）特征根的求解v（2）特征根的情况分析）特征根的情况分析nititntthineAeAeAeAtr12121)( (1) 特征根各不相同（无重根）（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为则相应于1的k阶重根，有k项：kitikitkkkketAeAtAtAtA11221111)()(其中常数A1,A2,An由初始条件决定。 () 特征

9、根（有重根）（有重根）的情况下，如1是方程的k阶重根，即：1210122110)()(kniiknnnnnCCCCCCv例例2-3)()(12)(16)(7)(2233tetrtrdtdtrdtdtrdtd求如下所示的微分方程的齐次解。ttheAeAtAtr33221)()(齐次解为：特征根：3),(221重根解：系统的特征方程为012167230)3()2(2因式分解：其中A1，A2，A3为待定系数。v4、微分方程的特解、微分方程的特解微分方程的特解特解rp(t)的函数形式与激励信号激励信号的形式有关有关。将激励激励e(t)代入方程式的右端，化简化简后右端函数式称为“自由项自由项”。通过观察

10、自由项观察自由项的函数形式，试选特解函数式试选特解函数式。代入方程代入方程，求得求得特解函数式中的待定系数待定系数。即求出特解rp(t)。v（1）求特解的步骤）求特解的步骤v（2）几种典型激励信号对应特解的形式）几种典型激励信号对应特解的形式激励函数e(t)响应函数r(t)的特解E（常数）B（常数）cos(wt)sin(wt)pt1121ppppBtBtBtBtetBe)sin()cos(21wtBwtB)cos( wtettp)sin( wtettp)sin()()cos()(1111wteDtDtDwteBtBtBtppptppp若表中的特解与齐次解重复特解与齐次解重复，则应在特解中增加一

11、项：t倍乘倍乘表中特解。表中特解。v例例2-4给定微分方程式)()()(3)(2)(22tedttdetrtrdtdtrdtd;)() 1 (2tte已知：;)()2(tete分别求两种情况下此方程的特解。3221)(BtBtBtrp为使等式两端平衡，设特解函数式：为使等式两端平衡，设特解函数式：2)(ttett22代入方程右端，得到：解:(1)将321,BBB为待定系数，将此式代入方程：ttBBBtBBtB2)322()34(323212121等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：032223413321211BBBBBB2710,92,31321BBB联立解得：27109231)(2tt

12、trp特解为：tpBetr)(tete)(时，设特解为：解:(2)当B为待定系数，将此式代入方程：3132BeeBeBeBettttt特解：tpetr31)(系统方程的完全解：titipheeAtrtrtri31)()()(21为待定系数，由边界条件决定。iA第四节第四节起始点的跳变从起始点的跳变从0-到到0+状状态的转换态的转换v一、响应区间一、响应区间在系统分析中，定义：响应区间响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。一般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：t0v二、起始状态二、起始状态系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：称为系统的起始状态起始状态，简

13、称0-状态.)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。由于受激励的影响，这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化。系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。v三、初始条件三、初始条件确定系统完全响应：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励信号情况求出0+的状态。初始条件初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi式中为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一

14、组状态确定的。iA0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：储能元件的储能情况或状态当无冲激电流或阶跃电压强迫作用于 时或当无冲激电压或阶跃电流强迫作用实际电路的初始条件于 时或状态00t 决定一般系统：微分方程右端自由项函数式中有无状态的初始条（）及状态件其导数有无跳变v四、初始条件的求取四、初始条件的求取 v五、冲激函数匹配法五、冲激函数匹配法 冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t) 及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导

15、数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr冲激函数匹配法步骤：函数只匹配(t)及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。（1）先从最高阶项开始匹配；）先从最高阶项开始匹配； 匹配从方程左端r(k)(t)的最高阶项开始，首先使方程右端函数最高阶次项得到匹配。（2）最高阶项匹配好后对低阶项的影响；）最高阶项匹配好后对低阶项的影响； 每次匹配方程低阶函数项时，如果方程左端所有同阶次函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端r(k)(t)最高阶项中补偿。（3）匹配低阶项。）匹配低阶项。已匹配好的高阶次函数项系数不变。( )33()(dr tr tdtt设某系

16、统方程(0 )(0 )9rr ( )13dr tdt（ ）法：由方程平衡知必含( )3 ( )r tt含( )9 ( )dr ttdt 方程平衡还含v例子例子 v举例举例2 2：v解：(0 )tv如图所示电路，t0t0图形右移图形右移；t0t0图形左移图形左移。（）两信号重叠部分相乘（）两信号重叠部分相乘e(e( )h(t- )h(t- ););（）完成相乘后图形的积分。（）完成相乘后图形的积分。dthethtety)()()(*)()(v举例举例2.102.10)()(ete或01211或t)()(hth或021或t)(h021（）反折（）反折（）平移（左移到与另一信号没有重合（）平移（左移

17、到与另一信号没有重合后，再右移。后，再右移。)(th0t1（）相乘（）相乘1( )2at 0)(*)(thte)(e0t1)(th21121)(ta121)(tb)(e0t1)(th211231)(tc16343)(211)(*)(121tdtthte121)(tb16144)(211)(*)(221tdtthtet)(e0t1)(th211231)(tc)(e0t1te3)()(th211323)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtette3)(0)(*)(thte（4）相加：以上各图中的）相加：以上各图中的阴影面积阴影面积，即为，即

18、为相乘积分相乘积分的结果的结果。最后，若以。最后，若以t为横坐标，将与为横坐标，将与t对应积分值描对应积分值描成曲线，就是卷积积分成曲线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。函数图像。)(*)(thte023169t)(th211161523卷积积分结果第八节第八节卷积的性质卷积的性质v卷积性质卷积性质1221( )( )( )( )f tftftf t（1）交换律：1231213( )( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t（2）分配律：卷积性质可以使卷积运算简化。卷积性质可以使卷积运算简化。作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些作为一种数

19、学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号分析中有重要作用。性质在信号分析中有重要作用。v1.1.卷积代数卷积代数证明交换律 tftf21 d)()(21 tff d)()(12 tff，令令 t dd: ，则则卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置与倒置与倒置 积分面积与积分面积与t无关。无关。 1f 2f一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或 (t)。 tftf21 tftf12 )()()()(21ththtetr串联系统123123( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf

20、t（3）结合律：e(t) h1(t) h2(t) r(t) h1(t) e(t) r(t) h2(t) 12( )( )( )( )r te th th t并联系统122112( )( )( )( )( )( )f tftfdtf tf tfdtddtddtt（4）微分性：适于高阶微分）121212( )( )( )( )( )( )tttdfff tfffdtd（5）积分性：适于多重积分）v2.2.卷积的微分与积分卷积的微分与积分微积分性质的证明 d)(d)(ddd)(d)(d)(dhttftthfttg d)()()(thftg两端对两端对t 求导求导 即即)()()()()(thtfth

21、tftg 已知已知交换律交换律( )()121)2( )( )( )( )( )( )ijijf tf tftftftft（6）微积分性：设则( 1)1212( 1)(2)12( 4)( 2)12( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f tf tftftftftftftftft如00( )( )( )( )()f tf tf ttttf tt（7）冲激性：( )( )( )( )00( )( )( )( )()()(00kkkkf ttftf tttfttkk时为导数阶次，时为积分次数）( 1)( )()tf tfu ttfd（8）阶跃性：v3.3.与冲激函数或阶跃函数的

22、卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积v举例举例2.11:2.11: 1212f ( )(1)( )(1)f ( )(1),f ( ) f ( )ttu tu ttu ttt已知，求（微积分性）解：dt)(df)(f)(f)(f2121tdttt) 1() 1()()1 (tduut) 1()1 ()1 (10tddtt2201(1)22ttt221( )1(1)22(1)tttu ttu tt 212211(1)2112(2)2tftfttu tttu t )2(24) 1(2122tuttut（卷积的冲激性）v举例举例2.12:2.12: 如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应 -1 0

23、 1 t -1 e(t) 1 -1 0 1 2 t -1 h(t) 1 121)(tutute 221)(tututthv解：微积分性）()()()()(tdhdttdethte121)(ttdttdettduudh)2()(21)(0212ttdd )2()2()(412tututut21( )( )(1)21( )(2)(2)4e th ttttu tu tu t)2() 1()2()(41) 1()2(21)2()(412122tuttututttuttututt（卷积的分配律）) 1()2() 1()2()(4121)2(21)2()(41)()(22ttuttututttuttutu

24、tthte（卷积的交换律）)3()3() 1(1412323212141)()(22tutututtutututthte（卷积的冲激性）323141123141431212141)(22tttttttrzsv举例举例2.13: 2.13: )2()()()()()()() 1 ()()()()()()(222111thtetrtrtrtrthtetrtrtrtrzizszizizszi解：)()()(r)()()(2)(r)()(2211trttttetuttuteLTIzite求系统的零输入响应系统已知产生产生)()()()()(2)-(1)2121thtetetrtr得由)()()()()

25、(2thttuttuet2( )( )( )( )ttu tthdh te解：( )( )( )2( )2( )tth th tttu tee两边求导得etththt2)()(0时，)()(),()(tuthtuAtheetpth方程解为（卷积的阶跃、冲激性）(0 )(0 )10hhA 解：由方程平衡得)()(tuthet即)()()(tutthmnet又22( )( )( )( )zir tr te th t2( )( )r th t)()()()(tuttuteett作业vP84，2-13，2-14，2-16， 2-28v总结总结本章主要讲授的内容有：连续时间系统的时域分析1、微分方程的建

26、立和求解2、起始点的跳变从0+到0-状态的转换3、零输入响应和零状态响应4、冲激响应和阶跃响应5 、卷积6 、卷积的性质v1.微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解求解系统的微分微分、积分方程方程。连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。( )( )e tr t设n阶复杂系统激励信号为，响应信号为1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n阶微分方程为v微分方程的微分方程的

27、经典法经典法全解形式全解形式:e(t)注自由项 为代入方程右端化简后的函数式)(tr)(trh)(trp其中齐次解即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。由方程右端为零构成的齐次方程而定；)(trh其中特解)(trp根据方程右端激励构成的“自由项”而定。强迫响应自由响应v2、起始点的跳变从0+到0-状态的转换系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：称为系统的起始状态起始状态，简称0-状态.)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始状态起始状态初始条件初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11r

28、dtdrrrrnn)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi它确定系统完全响应的系数：v冲激函数匹配法冲激函数匹配法 冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t) 及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr101CCC0innnlk如和 分别为特征方程的 个单根和一个 次重根( )zir t其中由激励为零构成齐次方程零输入响应齐次方程的而定即由求出特征根特征方程再列写解(无外加激励作用而仅考

29、虑起始状态产生的响应)(k)(k)ziz1i1r(r ( )0 )r(0 )irkjjjlktiiziijtAB tBAee则其中系数 、 由初始条件而定v3.零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。( )()( )zszzszspshrrtrttrt 其中由初始态为零时的方程求解而定即零状态响应(无起始状态作用而仅考虑外加激励产生的响应)1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),(0( )()0nnzszszsnn zsnnmmmmmmkzshzsspzd rtdrtdrtCCCC rtdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdtrtrrt其中和分别为如下方程的齐次解和特解v零状态响应零状态响应 零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应。v系统全响应系统全响应系统全响应的表达式： 零状态响应零输入响应强迫响应自由响应nktzsknktziknktktBeAeAtBeAtrkkk111)()()(v4.冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 ( )h